УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к пункту ☞ КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ, существенно используется материал из раздела ☞ ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


Уравнение деления круга

— это уравнение z^n-1=0, рассматриваемое относительно комплексной переменной z_{}. Его корнями являются корни n_{}-й степени из 1_{}:

\varepsilon_k = \cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi k}{n} \quad npu \quad k\in \{0,1,\dots,n-1\} \ .

При n\ge 2 полином z^n-1 приводим над множеством целых чисел.

П

Пример.

\begin{array}{lcl} z^2-1 & \equiv & (z-1)(z+1) \ ; \\ z^3-1 & \equiv & (z-1)(z^2+z+1)\ ; \\ z^9-1 & \equiv & (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1) \ ; \\ z^{17}-1 & \equiv & (z-1)(z^{16}+z^{15}+z^{14}+z^{13}+z^{12}+z^{11}+z^{10}+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1) \ ; \\ z^{18}-1 & \equiv & (z-1)(z+1)(z^2+z+1)(z^2-z+1)(z^6+z^3+1)(z^6-z^3+1) \ ; \\ z^{25}-1 & \equiv & (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)(z^{20}+z^{15}+z^{10}+z^5+1) \ . \end{array}

Нас интересуют сомножители этих разложений. Обратим внимание, что коэффициенты этих сомножителей находятся во множестве \{-1,\ 0,\ 1 \}.

Т

Теорема. Для любого n\in \mathbb N существует полином X_n(z) с целыми коэффициентами, корнями которого являются все первообразные корни степени n_{} из 1_{} и только такие корни.

Доказательство. Любой корень n_{}-й степени из 1_{}, не являющийся первообразным корнем n_{}-й степени, должен быть корнем меньшей степени из 1_{}, т.е. удовлетворять уравнению z^{d_1}-1=0, где число d_1\in \mathbb N является делителем числа n_{}. Кроме того, при таком d_{1} любой корень z^{d_1}-1 будет корнем z^n-1. Но тогда второй полином должен делиться на первый:

f_{nd_1}(z)=\frac{z^n-1}{z^{d_1}-1} \ .

Поскольку коэффициенты делимого и делителя — целые, то коэффициенты f_{nd_1}(z) — рациональные. Более того, поскольку старшие коэффициенты делимого и делителя равны 1_{}, то эти коэффициенты — целые (см. упражнение ☞ЗДЕСЬ ), т.е. f_{nd_1}(z) \in \mathbb Z[x] и старший коэффициент f_{nd_1}(z) тоже равен 1_{}. Рассмотрим любой другой делитель d_{2} числа n_{}. Либо среди корней z^{d_2}-1 нет корней, совпадающих с корнями f_{nd_1}(z), либо они есть. Но тогда все такие корни являются корнями наибольшего общего делителя полиномов f_{nd_1}(z) и z^{d_2}-1: \operatorname{HOD}(f_{nd_1}(z),z^{d_2}-1). Поскольку вычисление \operatorname{HOD} двух полиномов производится по алгоритму Евклида только с использованием элементарных алгебраических операций (+,-,\times,\div) над коэффициентами полиномов, то указанный \operatorname{HOD} может быть построен во множестве \mathbb Q[z] полиномов с рациональными коэффициентами. На самом деле, этот \operatorname{HOD} можно найти и среди полиномов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным 1_{}. Но тогда и полином

f_{nd_1d_2}(z)=\frac{f_{nd_1}(z)}{\operatorname{HOD}(f_{nd_1}(z),z^{d_2}-1)}

— тоже полином с целыми коэффициентами. Продолжаем процесс в том же направлении. Поскольку число делителей n_{} — конечно, то за конечное число шагов мы придем к полиному, который не имеет корней среди уравнений вида z^d-1=1 при d< n. Он и будет искомым полиномом X_n(z) и, по построению, его коэффициенты будут целыми.

П

Пример. Найти X_6(z).

Решение. Если d_1=3, то

f_{63}(z)=\frac{z^6-1}{z^3-1} \equiv z^3+1 \ .

Если d_2=2, то \operatorname{HOD}(f_{63}(z),z^{2}-1) \equiv z+1 и

f_{632}(z)=\frac{z^3+1}{z+1} \equiv z^2-z+1 \ .

Имеется еще делитель d_3=1 числа 6_{}, но легко проверить, что корень полинома z-1 был исключен на предыдущих этапах.

Ответ. X_6(z) = z^2-z+1.

=>

Cтепень полинома X_n(z) равна значению функции Эйлера от числа n_{}: \deg X_n(z) = \phi (n).

Т

Теорема. Полином X_n(z) вычисляется по следующей формуле:

X_n(z) \equiv \frac{\displaystyle \prod_{d_{_1}}(z^{d_{_1}}-1)}{\displaystyle \prod_{d_{_2}}(z^{d_{_2}}-1)} \ ,

где произведение в числителе берется по всем таким делителям d_{1} числа n_{}, что частное n/d_1 равно произведению четного числа различных простых чисел (сюда также относится случай d_1=n ), а произведение в знаменателе берется по всем таким делителям d_{2} числа n_{}, что частное n/d_2 равно произведению нечетного числа различных простых чисел.

П

Пример.

X_{60}(z)\equiv \frac{(z^{60}-1)(z^{10}-1)(z^6-1)(z^4-1)}{(z^{30}-1)(z^{20}-1)(z^{12}-1)(z^{2}-1)} \equiv

Деля множители, стоящие один над другим, получим:

\equiv \frac{(z^{30}+1)(z^2+1)}{(z^{10}+1)(z^{6}+1)} \equiv \frac{z^{20}-z^{10}+1}{z^4-z^2+1}\equiv z^{16}+z^{14}-z^{10}-z^8-z^6+z^2+1 \ .

=>

Для простого числа p_{}:

X_p(z)\equiv \frac{z^p-1}{z-1}\equiv z^{p-1}+z^{p-2}+\dots+z+1 \ ;

для числа n=2\, p при простом p_{}>2:

X_{2p}(z)\equiv \frac{(z^{2p}-1)(z-1)}{(z^p-1)(z^2-1)} \equiv \frac{z^p+1}{z+1}\equiv z^{p-1}-z^{p-2}+z^{p-3}-\dots+ z^2-z+1 \ .

П

Пример. Таблица полиномов X_n(z)

\begin{array}{l|l} n & X_n(z) \\ \hline 4 & z^2+1 \\ 8 & z^4+1 \\ 9 & z^6+z^3+1 \\ 12 & z^4-z^2+1 \\ 15 & z^8-z^7+z^5-z^4+z^3-z+1 \\ 16 & z^8 +1 \\ 18 & z^6-z^3+1 \\ 20 & z^8-z^6+z^4-z^2+1 \\ \hline 57 & z^{36}-z^{35}+z^{33}-z^{32}+z^{30}-z^{29}+z^{27}-z^{26}+z^{24}-z^{23}+z^{21}-z^{20}+ \\ & +z^{18}-z^{16}+z^{15}-z^{13}+z^{12}-z^{10}+z^9-z^7+z^6-z^4+z^3-z+1 \\ \hline 60 & z^{16}+z^{14}-z^{10}-z^8-z^6+z^2+1 \end{array}

Т

Теорема. Полином X_n(z) неприводим над множеством целых чисел.

Т

Теорема. При n\ge 2 полином z^n-1 раскладывается в произведение

z^n-1 \equiv \prod_{d} X_d(z)

где умножение производится по всем индексам d_{} , являющимися делителями числа n_{}.

=>

\displaystyle \sum_{d} \phi(d) = n; здесь суммирование производится по всем индексам d_{}, являющимся делителями числа n_{}.

П

Пример. Для n=30 имеем:

\phi(1)+\phi(2)+\phi(3)+\phi(5)+\phi(6)+\phi(10)+\phi(15)+\phi(30)=1+1+2+4+2+4+8+8=30 \ .

Источник.

Чеботарев Н. Основы теории Галуа. Часть I. М.-Л.ОНТИ.1934

2013/04/01 17:05 редактировал au