УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Комплексные числа

Алгебра — это наука о решении уравнений. Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел \mathbb N_{}, то уравнение 5+x=3 решений не имеет. Дополнив множество \mathbb N_{} нулем и отрицательными числами, мы добиваемся того, что во множестве \mathbb Z_{} целых чисел любое уравнение a+x=b получает решение, причем единственное. Но вот уравнение 2\cdot x=3 решений снова не имеет… Снова дополняем множество \mathbb Z_{} дробными числами до множества \mathbb Q_{} рациональных чисел. В этом множестве будет существовать единственное решение уравнения a\cdot x=b если только a_{}\ne 0. Но вот уравнение x^2-2=0 решений в \mathbb Q_{} не имеет. Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными, мы получаем решение — в вещественных числах \mathbb R_{} — и этого уравнения, но, однако же, не любого квадратного! Так, не существует вещественного числа, удовлетворяющего уравнению x^2+1=0.

Задача. Расширить множество вещественных чисел так, чтобы в этом расширении уравнение x^2+1=0 имело решение.

Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

1. {\mathfrak a}_1+{\mathfrak a}_2={\mathfrak a}_2+{\mathfrak a}_1;

2. ({\mathfrak a}_1+{\mathfrak a}_2)+{\mathfrak a}_3={\mathfrak a}_1+({\mathfrak a}_2 +{\mathfrak a}_3);

3. {\mathfrak a}_1\cdot {\mathfrak a}_2={\mathfrak a}_2\cdot {\mathfrak a}_1;

4. ({\mathfrak a}_1\cdot {\mathfrak a}_2)\cdot {\mathfrak a}_3={\mathfrak a}_1\cdot ({\mathfrak a}_2\cdot {\mathfrak a}_3);

5. ({\mathfrak a}_1+{\mathfrak a}_2)\cdot {\mathfrak a}_3={\mathfrak a}_1\cdot {\mathfrak a}_3+ {\mathfrak a}_2\cdot {\mathfrak a}_3;

6. существует нейтральный элемент {\mathfrak o} относительно сложения: {\mathfrak a}+{\mathfrak o}={\mathfrak a};

7. существует нейтральный элемент {\mathfrak e} относительно умножения: {\mathfrak a}\cdot {\mathfrak e}={\mathfrak a}.

Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел {\mathfrak a}, {\mathfrak a}_1,{\mathfrak a}_2,{\mathfrak a}_3.

Определение

Комплéксным1) числом называется упорядоченная пара вещественных чисел z=(a,b). Аксиоматически вводятся понятие равенства комплексных чисел, а также правила действий над ними.

Два комплексных числа z_1=(a,b) и z_2=(c,d) называются равными: z_1=z_2 тогда и только тогда, когда a=c и b=d. В противном случае они называюся неравными.

?

Доказать, что

\left(2,\, \sqrt{12} \right)=\left(\frac{1}{2} \sqrt{7+4\sqrt{3}}+ \frac{1}{2} \sqrt{7-4\sqrt{3}},\, 2\sqrt{3} \right) \ .

Суммой комплексных чисел z_1=(a,b) и z_2=(c,d) называется комплексное число

z_3=z_1+z_2 = (a+c,b+d) \ .
П

Пример. (1,-1)+(2,1)=(3,0), (0,1)+(1,0)=\qquad \qquad , (3,2)+(-3,-2)=\qquad .

Произведением комплексных чисел z_1=(a,b) и z_2=(c,d) называется комплексное число

z_4=z_1\cdot z_2 = (ac-bd,\ ad+bc) \ .
§

Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют \times_{}; часто его вовсе опускают: z_1\cdot z_2 = z_1\times z_2 = z_1z_2.

П

Пример. (2,3)\cdot (1,2)=(-4,7), (1,-1)\cdot(1,1)= \qquad , (0,1)\cdot(0,1)=\qquad .

В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно искусственным. Ответ на вопрос

Что послужило основанием для такого правила умножения?

будет дан НИЖЕ. А пока убедимся, что даже введенное таким «неестественным» способом, оно, тем не менее, сохранит те свойства операций над числами вещественными, которые упомянуты выше. Имеем, например:

z_1\cdot z_2=(ac-bd,\ ad+bc),\ z_2\cdot z_1=(ca-db,\, da+cb) \ \Rightarrow \ z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1 \ .

Остальные свойства проверяются аналогично.

Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.

Разностью комплексных чисел z_1 и z_2 называется число z_5 такое, что z_2+z_5=z_1. Этот факт записывают: z_5 = z_1-z_2.

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть z_1=(a,b), z_2=(c,d), z_5=(x,y), тогда

(c,d)+(x,y)=(a,b) \ \iff \ c+x=a,\ d+y=b \ \iff \ x=a-c,\ y=b-d \ ,

т.е. (a,b)-(c,d)=(a-c,\, b-d). В частности,

(a,b)-(a,b)=(0,0) \quad или \quad (a,b)+(0,0)=(a,b)

для любого комплексного числа. Таким образом, комплексное число (0,0) играет для сложения ту же роль, что для вещественных чисел играл нуль .

Частным комплексных чисел z_1 и z_2 называется число z_6 такое, что z_2\cdot z_6=z_1. Этот факт записывают:

z_6= z_1\colon z_2 \quad или \ z_6 = z_1\big/ z_2 \ .

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть z_1=(a,b), z_2=(c,d), z_6=(x,y), тогда

(c,d)\cdot (x,y)=(a,b) \ \iff \ \left\{\begin{array}{c} cx-dy=a, \\ dx+cy=b \end{array} \right. \ \iff \ \left\{\begin{array}{c} (c^2+d^2)x=(ac+bd), \\ (c^2+d^2)y=(bc-ad). \end{array} \right.

Таким образом, необходимым условием существования частного является c^2+d^2\ne 0 т.е. z_2\ne (0,0). При выполнении этого условия, частное будет единственно и определяется формулой:

(a,b) \colon (c,d) =\left( \frac{ac+bd}{c^2+d^2} \, ,\ \frac{bc-ad}{c^2+d^2} \right) \ .

Запомнить и применять эту формулу довольно сложно, но, как мы вскоре увидим, в этом и нет необходимости.

А пока что заметим, что введенные на множестве комплексных чисел операции полностью подчиняются указанной в начале раздела системе аксиом 1 - 7 чисел вещественных. Нейтральный элемент относительно сложения совпадает с числом (0,0), а относительно умножения — с числом (1,0):

(a,b)\cdot (x,y)=(a,b)\ \iff \ \left\{ \begin{array}{l} a\,x-b\,y=a, \\ b\,x+a\,y=b, \end{array} \right. \ \iff \ \left\{ \begin{array}{l} \left(a^2+b^2 \right)x=\left(a^2+b^2 \right), \\ \left(a^2+b^2 \right)y=0 \end{array} \right. \qquad \Rightarrow y=0,\, x=1 \ .

Каждое комплексное число может быть представлено в виде

z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) \ ,

т.е. в виде комбинации комплексных чисел вида (a,0) — с нулевой второй компонентой, и одного специального числа (0,1). За последним закрепляется обозначение2)

\mathbf i = (0,1) \ .

Следует заметить, что множество комплексных чисел, имеющих нулевую вторую компоненту

\left\{ (a,0) \mid a\in \mathbb R \right\}

обладает свойством замкнутости относительно операций сложения и умножения. Замкнутость понимается в том смысле, что сумма и произведение чисел с нулевой второй компонентой снова будет числом с нулевой второй компонентой; то же справедливо и для разности и произведения:

(a,0)+(b,0)=(a+b,0),\ (a,0)-(b,0)=(a-b,0),
\ (a,0)\cdot(b,0)=(ab,0) \ , (a,0)\colon (b,0)= \left( \frac{a}{b} ,0 \right) \ ( npu \ b\ne 0) .

Как легко видеть, первые компоненты под действием таких операций ведут себя в точности как обычные вещественные числа (с сохранением системы аксиом 1 - 7 ). Исходя из этого обстоятельства, производится отождествление комплексного числа (a,0) с вещественным числом a_{}. Результатом этого является следующая нормальная форма записи комплексного числа

(a,b)=a+ b \mathbf i = a+ \mathbf i b \ npu \quad \{a,b \} \subset \mathbb R \ .

Для числа \mathbf i получаем одно определяющее равенство:

\mathbf i^2=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1 \ .

Из соображений упрощения записи, договорились число 0+\mathbf i b записывать просто в виде \mathbf i b, а числа a+\mathbf i 1 и a-\mathbf i 1 записывать в виде a+\mathbf i и a-\mathbf i.

Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме, можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных чисел:

(a+\mathbf i \, b)(c+ \mathbf i \, d)=ac + \mathbf i\, ad+ \mathbf i\, bc+ \mathbf i^2 bd \ ,

а затем воспользоваться равенством \mathbf i^2 = -1:

= (ac-bd)+\mathbf i \, (ad+bc) \ .

Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.

Если n_{} — целое число, то число

z^n = \left\{ \begin{array}{cl} \overbrace{z\times \dots \times z}^{n} \ & npu \ n>0, \\ 1 \ & npu \ n=0, z\ne 0, \\ 1/z^{-n} \ & npu \ n<0, z\ne 0 \end{array} \right.

называется \mathbf n-й степенью числа z_{}.

Для вычисления z^n при n>1 и z=a+ \mathbf i\, b можно применить формулу бинома Ньютона:

\left(a+ \mathbf i\, b \right)^n =a^n+C_n^1 a^{n-1}b\mathbf i+C_n^2 a^{n-2}b^2\mathbf i^2 +C_n^3 a^{n-3}b^3\mathbf i^3+C_n^4 a^{n-4}b^4\mathbf i^4+\dots+b^n \mathbf i^n

(здесь C_n^k означает биномиальный коэффициент ); и для приведения этого числа к нормальной форме, нам потребуется вычислить степени \mathbf i. Получаем последовательно:

\mathbf i^2=-1,\ \mathbf i^3=\mathbf i^2\mathbf i=-\mathbf i,\ \mathbf i^4=1,\ \mathbf i^5=\mathbf i, \dots

и понятно, что последовательность оказывается циклической с периодом 4_{}. Окончательно:

\left(a+ \mathbf i\, b \right)^n =\left(a^n- C_n^2 a^{n-2}b^2 +C_n^4 a^{n-4}b^4 - \dots \right) + \mathbf i \left(C_n^1 a^{n-1}b-C_n^3 a^{n-3}b^3+ \dots \right) \ .
П

Пример. Найти нормальную форму числа (1+\mathbf i )^3.

Решение. Разложение по формуле бинома дает (1+\mathbf i)^3= (1-3) +\mathbf i (3-1) =-2+2\mathbf i.

П

Пример. Найти нормальную форму числа

\frac{(3+2\mathbf i )^2(1-3\mathbf i )}{(3+\mathbf i )^2(1+2\mathbf i )}+\frac{1+\mathbf i }{1-\mathbf i } \ .

Решение.

(3+2\mathbf i)^2=5+12 \mathbf i \ , (5+12 \mathbf i)(1-3\mathbf i)=5-15\mathbf i+12\mathbf i-36\mathbf i^2=41-3\mathbf i \ ,
(3+\mathbf i)^2=8+6\mathbf i \ ,\ (8+6\mathbf i)(1+2\mathbf i)=8+16\mathbf i +6\mathbf i +12\mathbf i^2=-4+22 \mathbf i \ .

Для вычисления частного (41-3\mathbf i)/(-4+22\mathbf i) воспользуемся следующим приемом: домножим и числитель и знаменатель дроби на число (-4-22 \mathbf i). Получим

\frac{(41-3\mathbf i)(-4-22 \mathbf i)}{(-4+22 \mathbf i)(-4-22 \mathbf i)}= \frac{-164-902 \mathbf i +12 \mathbf i +66 \mathbf i^2}{16+88\mathbf i - 88 \mathbf i - 484 \mathbf i^2}= \frac{-230-890 \mathbf i}{500} =-\frac{23}{50} -\frac{89}{50} \mathbf i \ .

Аналогично:

\frac{1+\mathbf i}{1-\mathbf i}=\frac{(1+\mathbf i)^2}{(1-\mathbf i)(1+\mathbf i)}=\frac{2\mathbf i}{2}=\mathbf i \ .

Ответ. -\frac{23}{50} -\frac{39}{50} \mathbf i.

Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.

Число a-\mathbf i b называется числом, комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) числу z=a+\mathbf i b. Оно обозначается \overline{z}. Сама операция нахождения \overline{z} называется комплексным сопряжением.

П

Пример. \overline{-2-2\mathbf i}=-2+2\mathbf i,\ \overline{3\mathbf i}=-3\mathbf i,\ \overline{4}=4.

?

Доказать, что а) \overline{\overline{z}}=z; б) \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}; в) \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}.

Легко установить, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел будет числом вещественным:

{}_{} при z= a+ \mathbf i b имеем: z+\overline{z}=2a,\ z \cdot \overline{z}=a^2+b^2 \ .

На последнем свойстве и основан прием вычисления частного двух чисел z_1/z_2. Именно, эта дробь домножается на число, сопряженное к знаменателю:

\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{z_2 \overline{z_2}} \ ;

при перемножении в знаменателе образуется вещественное число:

=\frac{(a+\mathbf i b)(c-\mathbf i d)}{c^2+d^2} \ ,

и, таким образом, операцию деления сводим к операции умножения:

=\frac{(ac+bd)+ \mathbf i (bc-ad)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \mathbf i \frac{bc-ad}{c^2+d^2} \ .

Для комплексного числа, представленного в нормальной форме z=a+\mathbf i b, число a называется вещественной частью и обозначается \mathfrak{Re}(z), число b_{} называется мнимой частью3) и обозначается \mathfrak{Im} (z). Таким образом, z=\mathfrak{Re}(z) +\mathbf i \mathfrak{Im}(z). Число \mathbf i называется мнимой единицей. Число z\ne 0, имеющее ненулевую мнимую часть: \mathfrak{Im}(z) \ne 0, называется мнимым числом, а число z, имеющее нулевую вещественную часть: \mathfrak{Re}(z)=0, называется чисто мнимым.

Аксиому равенства комплексных чисел можно записать теперь в виде:

z_1=z_2 \quad \iff \quad \mathfrak{Re}(z_1)=\mathfrak{Re} (z_2),\ \mathfrak{Im} (z_1)=\mathfrak{Im} (z_2) \ .
?

Найти вещественное число x_{}, удовлетворяющее уравнению

(1+ \mathbf i)x^3+(1+2\, \mathbf i)x^2- (1+4\,\mathbf i)x - 1+ \mathbf i = 0 \ .

?

Верно ли равенство \mathfrak{Re}(z_1z_2)= \mathfrak{Re}(z_1) \mathfrak{Re}(z_2)?

Множество всех комплексных чисел с определенными выше операциями обозначается \mathbb C_{} . Отождествление комплексного числа z_{}, у которого \mathfrak{Im} (z)=0, с вещественным числом \mathfrak{Re}(z) позволяет говорить, что множество \mathbb C_{} включает в себя множество вещественных чисел \mathbb R_{}: \mathbb R_{} \subset \mathbb C_{}.

§

Комплексные числа «наследуют» все привычные нам свойства чисел вещественных, кроме одного: их нельзя сравнивать в смысле отношений >_{} или <: неравенство 1+7\mathbf i>3-2\mathbf i так же бессмысленно, как и 1+7\mathbf i<3-2\mathbf i.

Геометрическая интерпретация

Определение комплексного числа как упорядоченной пары вещественных чисел напоминает определение вектора на плоскости. Если на плоскости (x,y) задана декартова прямоугольная система координат, то задание точки {\mathbf A} ее координатами x=a,y=b однозначно определяет вектор, имеющий начало в начале координат {\mathbf O} (x=0,y=0), а конец — в точке {\mathbf A}. Такое соответствие

\vec{\mathbf OA} \ \longleftrightarrow \ (a,b) \ \longleftrightarrow \ z=a+\mathbf i \, b

позволяет дать интерпретацию комплексного числа как вектора на плоскости. Сама эта плоскость называется комплексной плоскостью, ось абсцисс на ней — вещественной осью (на ней располагаются вещественные числа), ось ординат мнимой осью (на ней располагаются чисто мнимые числа).

?

Изобразить на комплексной плоскости а) число (-z); б) число \overline{z}.

Определения равенства и суммы (разности) векторов и комплексных чисел оказываются идентичными: сумма комплексных чисел определяет вектор на плоскости, равный сумме векторов, соответствующих слагаемым (по какому бы способу — параллелограмма или треугольника — она ни вычислялась).

Подмеченная аналогия между алгебраическим объектом и геометрическим прекращается как только мы попытаемся установить соответствие между операциями умножения. В самом деле, согласно введенному в предыдущем пункте определению, произведение комплексных чисел есть снова комплексное число, т.е. — в нашей геометрической интерпретации — вектор. Вспомним, что скалярное произведение векторов определяется как число вещественное, т.е. является скаляром4).

Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной и углом, образованным вектором с полярной осью.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Для числа z=a+\mathbf i \, b его модулем (или абсолютной величиной) называется неотрицательное вещественное число обозначаемое |z|, определяемое как

|z|=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{z\, \overline{z}} \ ;

при этом корень квадратный в правой части понимается как корень арифметический, т.е. как единственное неотрицательное вещественное число, квадрат которого равен a^2+b^2.

Геометрическая интерпретация модуля комплексного числа очевидна: это длина вектора, этим числом порождаемого. В случае когда \mathfrak{Im} (z) =0 введенное определение модуля соответствует определению модуля вещественного числа: |z|=|a|.

Аргументом комплексного числа z=a+\mathbf i \, b\ne 0 называется величина угла5), образованного на комплексной плоскости вектором \vec{\mathbf OA} с вещественной осью. При этом, для однозначности определения, договоримся, что угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале [0,2\, \pi[ если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа 0_{} не определяется. Будем обозначать аргумент числа z_{} через \operatorname{arg}\, (z). Для определения \operatorname{arg}\, (z) мы имеем две формулы:

\cos \left( \operatorname{arg}\, (z) \right) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \ , \ \sin \left( \operatorname{arg}\, (z) \right) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \ ,

которые позволяют однозначно восстановить6) угол в интервале [0, 2\, \pi[.

Итак, комплексное число z\ne 0, наряду со своей нормальной формой z=a+\mathbf i \, b, может быть представлено еще и в форме

z= \rho \left(\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) npu \ \rho\ge 0,\ 0 \le \varphi < 2\, \pi \ .

Последняя называется тригонометрической формой комплексного числа.

П

Пример. Найти тригонометрическую форму комплексных чисел

а) -4 ; б) \mathbf i ; в) -6\,\mathbf i ; г) -1+\mathbf i; д) \frac{1}{2}-\mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2}; е) -2+\mathbf i .

Решение.

\begin{array}{c|c|c|c|c} z & |z| & \cos &\operatorname{sign} (\sin ) & \operatorname{arg}(z) \\ \hline -4=-4+0\mathbf i\ & 4 & -1 & & \pi \\ \mathbf i=0+1\mathbf i\ & \sqrt{0+1}=1 & 0 & >0 & \pi/2 \\ -6\,\mathbf i=0-6\,\mathbf i \ & \sqrt{0+36}=6 & 0 &<0 & 3\pi/2\\ -1+\mathbf i=-1+1\mathbf i \ & \sqrt{1+1}=\sqrt{2}& -\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle{\sqrt{2}}}=-\frac{\scriptstyle{\sqrt{2}}}{\scriptstyle 2} & >0 & 3\pi/4 \\ \frac{1}{2}-\mathbf i \frac{\scriptstyle{\sqrt{3}}}{\scriptstyle 2} \ & \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1\ & \frac{1}{2} & <0 & 5\pi/3 \\ -2+\mathbf i & \sqrt{4+1}=\sqrt{5} & \scriptstyle{-2}/{\scriptstyle \sqrt{5}}& >0 & \arccos \left(-\scriptstyle{2}/\scriptstyle{\sqrt{5}} \right) \approx \\ & & & & \approx 2.67794 \end{array}

Ответ. а) 4\left(\cos \pi + \mathbf i \, \sin \pi \right); б) \cos \pi/2 + \mathbf i \, \sin \pi/2; в) 6\left(\cos 3\pi/2 + \mathbf i \, \sin 3\pi/2 \right); г) \sqrt{2} \left(\cos 3\pi/4 + \mathbf i \, \sin 3\pi/4 \right);

д) \cos 5\pi/3 + \mathbf i \, \sin 5\pi/3;

е) \sqrt{5} \left\{\cos \left( \arccos \left( -\scriptstyle{2}/\scriptstyle{\sqrt{5}} \right) \right) +\mathbf i \sin \left( \arccos \left(-\scriptstyle{2}/\scriptstyle{\sqrt{5}} \right) \right) \right\} \approx 2.23606 \left( \cos 2.67794 + \mathbf i \sin 2.67794 \right).

?

Пусть z=a+\mathbf i \, b. Выразить а) \operatorname{arg} (-z) ; б) \operatorname{arg} (\overline{z}) в) \operatorname{arg} (1/z); г) \operatorname{arg} (b+\mathbf i\, a) через \operatorname{arg} (z).

§

В дальнейшем, мы иногда будем пренебрегать требованием, чтобы в тригонометрической форме аргумент соответствовал интервалу [0, 2\, \pi[, т.е. будем допускать неоднозначность в определении \operatorname{arg} (z).

С учетом этого допущения, сформулируем следующий критерий равенства чисел z_{1} и z_{2}, представленных в тригонометрической форме.

Т

Теорема. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы различаются на целое кратное числа 2\, \pi или, если использовать терминологию из теории чисел, сравнимы по модулю 2\, \pi:

\rho_1 \left(\cos \varphi_1 + \mathbf i \, \sin \varphi_1 \right)= \rho_2 \left(\cos \varphi_2 + \mathbf i \, \sin \varphi_2 \right) \quad \iff \quad \rho_1=\rho_2 , \ \varphi_1 \equiv \varphi_2 \pmod{2\, \pi} \ .

Доказательство следует из аксиомы равенства комплексных чисел.

§

В каждом разделе математики имеется исторически сложившаяся система названий и обозначений, при этом иногда одни и те же слова или символы в разных разделах обозначают совершенно не связанные по смыслу объекты. В частности, это относится к слову «модуль»: если в разделе МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА оно означает натуральное число M_{}, по отношению к которому сравниваются два других целых числа (одинаковы ли у них остатки при делении на M_{}), то в теории комплексных чисел оно закреплено за другим понятием. К сожалению,:-| в настоящем разделе приходится использовать оба этих определения; хорошо хоть обозначения у них разные…

§

В противоположность предыдущему замечанию — удобное обозначение почему бы не тиражировать?;-) В разделе МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА сравнимость понималась по отношению к натуральному числу и формально вводилось через операцию деления на модуль; мы же использовали в только что приведенной теореме обобщение этого понятия: \varphi_1 \equiv \varphi_2 \pmod{2\, \pi}, основанное на свойстве разности двух чисел \varphi_1 - \varphi_2 быть целым кратным (иррационального!) числа 2\, \pi. В дальнейшем мы заимствуем и другое полезное обозначение из теории чисел: \varphi_1 = \varphi \pmod{2\, \pi} означает, что угол \varphi_1 — это «загнанный в интервал» [0,\ 2\, \pi[ угол \varphi, т.е. \varphi_1 отличается от \varphi_{} на целое кратное числа 2\, \pi и, при этом, \varphi_1 \in [0,\ 2\, \pi[.

Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию правилам их умножения и деления.

Т

Теорема. Имеет место равенство:

\rho_1 \left(\cos \varphi_1 + \mathbf i \, \sin \varphi_1 \right) \cdot \rho_2 \left(\cos \varphi_2 + \mathbf i \, \sin \varphi_2 \right)=
= \rho_1 \rho_2 \left(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathbf i \, \sin (\varphi_1+\varphi_2) \right)\ ;

иными словами: при перемножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываются аргументы (по модулю 2\, \pi):

\left| z_1\cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right| \ ,\ \operatorname{arg} (z_1 \cdot z_2)= \operatorname{arg} (z_1) + \operatorname{arg} (z_2) \pmod{2\, \pi} \ .

Доказательство.

z_1z_2=\rho_1 \rho_2\big(\left[\cos \varphi_1\cos \varphi_2 - \sin \varphi_1\sin \varphi_2 \right] + \mathbf i \, \left[\cos \varphi_1\sin \varphi_2 + \sin \varphi_1\cos \varphi_2 \right] \big) =
=\rho_1 \rho_2\left(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathbf i \, \sin (\varphi_1+\varphi_2) \right) \ .

§

7) Переписав равенство для модуля произведения из последней теоремы для нормальной формы записи комплексных чисел, получаем совершенно вещественное равенство (фактически, если рассматривать входящие в это равенство параметры как переменные величины — тождество для полиномов от нескольких переменных ):

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 \ ,

иными словами: произведение суммы квадратов на сумму квадратов есть снова сумма двух квадратов. Существуют ли подобные тождества с большим, чем 2_{} числом квадратов? Ответ оказывается положительным: подобные тождества для 4_{}-х квадратов были получены Эйлером (см. ☞ ЗДЕСЬ ), а для 8_{}-ми квадратов — Кэли. Доказано, что других случаев быть не может. Эта задача тесно связана с понятием гиперкомплексных чисел, т.е. многомерных аналогов комплексных чисел.

=>

Справедлива формула

\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2 }\left(\cos (\varphi_1-\varphi_2) + \mathbf i \, \sin (\varphi_1-\varphi_2) \right) \quad npu \ z_2 \ne 0 \ .

=>

Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:

\prod_{j=1}^n z_j= \prod_{j=1}^n \rho_j \left(\cos \sum_{j=1}^n \varphi_j + \mathbf i \, \sin \sum_{j=1}^n \varphi_j \right) \ .

В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к одной замечательной формуле —

Формула Муавра

Т

Теорема. Для любого целого n справедлива формула Муавра:

\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n = \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi \ .

Доказательство для положительных n следует из результата предыдущего пункта. При n=0 формула фактически является формальным определением нулевой степени комплексного числа. Для отрицательного показателя n=-m, m\in \mathbb N справедливость формулы доказывается сведением к уже рассмотренному случаю положительного показателя:

\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^{n}= \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^{-m}=
=\frac{1}{\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^{m}} = \frac{1}{\cos m\varphi + \mathbf i \, \sin m\varphi}= \frac{\cos m\varphi - \mathbf i \, \sin m\varphi }{\cos^2 m\varphi + \sin^2 m\varphi } =
=\cos m\varphi - \mathbf i \, \sin m\varphi= \cos (- m\varphi) + \mathbf i \, \sin (- m\varphi)=\cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi \ .

=>

Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:

\left[ \rho \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right) \right]^n = \rho^n \left( \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n \varphi \right) \ npu \ \forall \ \rho \ne 0 \ u \ n\in \mathbb Z \ .

П

Пример. Вычислить

\left[\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left(\sqrt{3} - \mathbf i \, \sqrt{5} \right) \right]^{117} \ .

Решение. С одной стороны, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона — мы получим точный ответ, хотя и дорогой ценой… Если же нас интересует приближенное значение, то его можно получить по формуле Муавра, предварительно представив число в тригонометрической форме:

\left| z \right| = 1, \ \cos (\operatorname{arg} (z)) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 0.61237, \ \sin (\operatorname{arg} (z)) <0 \qquad \Rightarrow
\Rightarrow \qquad \operatorname{arg} (z) = 2\pi - \arccos \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \right) \approx 5.37144 \ .

Применяем формулу Муавра:

z^{117}\approx \cos \left( 117 \times \operatorname{arg} (z) \right) + \mathbf i \, \sin \left( 117 \times \operatorname{arg} (z) \right)

и отбрасываем целое кратное 2 \pi_{ }:

117 \times \operatorname{arg} (z) \approx 0.14077 + 200 \pi \quad \Rightarrow \quad z^{117}\approx \cos 0.14077 + \mathbf i \, \sin 0.14077 \ .

Ответ.

\frac{\sqrt{2}}{2^{60}} \left[466022392183308159\, \sqrt{3}+ \mathbf i \, 51153470739918917\, \sqrt{5} \right] \ \approx \ 0.99010 + \mathbf i \, 0.14030 \ .
?

Вычислить а) \left(\sqrt{3}+ \mathbf i \, \right)^n ; б) \left[ \sin \varphi_1 - \sin \varphi_2 + \mathbf i \, \left( \cos \varphi_1 - \cos \varphi_2 \right) \right]^n.

И

Биографические заметки о Муавре ЗДЕСЬ

Неравенства для модуля

Т

Теорема. Справедливо неравенство треугольника:

\left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1\right| + \left| z_2\right| \ .

Доказательство. Имеем:

\left| z_1 + z_2 \right|^2=\left( z_1 + z_2 \right)\overline{\left( z_1 + z_2 \right)}= \left( z_1 + z_2 \right)\left( \overline{z_1} + \overline{z_2} \right)= z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2}+ \overline{z_1}z_2+ z_2 \overline{z_2}=
=\rho_1^2 + \rho_2^2 +\rho_1 \rho_2 \left( \cos \varphi_1 + \mathbf i \sin \varphi_1 \right)\left( \cos \varphi_2 - \mathbf i \sin \varphi_2 \right) +
+ \rho_1 \rho_2 \left( \cos \varphi_1 - \mathbf i \sin \varphi_1 \right)\left( \cos \varphi_2 + \mathbf i \sin \varphi_2 \right)=
=\rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 \left(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2+ \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \right)=
=\rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) \le \rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 = \left( \rho_1 +\rho_2 \right)^2

поскольку \left| \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) \right|\le 1. Извлекая корень (арифметический), получаем доказываемое неравенство.

?

При каких условиях на z_{1} и z_{2} неравенство треугольника превращается в равенство?

=>

\displaystyle \left| \sum_{j=1}^n z_j \right| \le \sum_{j=1}^n |z_j |.

=>

\displaystyle \left| z_1 + z_2 \right| \ge \big| | z_1 | - | z_2 | \big| \ , \ \left| z_1 - z_2 \right| \ge \big| | z_1 | - | z_2 | \big|.

?

Доказать «равенство параллелограмма»: |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 при \{z_1, z_2 \} \subset \mathbb C.

Выведение тригонометрических формул

Сумма синусов (косинусов)

Задача. Найти компактное выражение для

B= \sin \varphi + \sin 2\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi \ .

Для пояснения такой постановки сошлемся на известные выпускнику школы формулы, выражающие суммы арифметической и геометрической прогрессий:

a+(a+d)+\dots+(a+(n-1)d)=\frac{(2a+(n-1)d)n}{2} \ ,
a+aq+\dots+aq^{n-1} =a\frac{q^n-1}{q-1} \quad npu \ q\ne 1 \ .

О подобных формулах говорят, что соответствующие суммы «свернулись».

Поставленную задачу будем решать путем ее усложнения. Попробуем одновременно с указанной суммой свернуть и сумму

A= \cos \varphi + \cos 2\, \varphi + \dots + \cos n\, \varphi \ .

Для этого составим выражение

A+ \mathbf i B= \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) + \left( \cos 2\, \varphi + \mathbf i \sin 2\,\varphi \right) + \dots + \left( \cos n\, \varphi + \mathbf i \sin n\, \varphi \right)=

на основании формулы Муавра:

=\left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) + \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)^2 + \dots + \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)^n \ .

Введем новую переменную: z= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi. Тогда последняя сумма оказывается суммой геометрической прогрессии:

A+ \mathbf i B =z+z^2+\dots +z^n =\frac{z^{n+1} - z}{z-1} \quad npu \ z\ne 1 \ .

Возвращаемся к исходной переменной \varphi:

A+ \mathbf i\, B =\frac{\left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)^{n+1} - \left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)} {\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi-1} \ \ npu\ \varphi \ne 2\, \pi k \ , \ k\in \mathbb Z \ .

(последнее условие можно записать в виде \varphi \not\equiv 0 \pmod{2\, \pi}) и снова применяем формулу Муавра, только теперь уже «в обратном направлении»:

A+ \mathbf i\, B = \frac{\left(\cos (n+1)\, \varphi + \mathbf i\, \sin (n+1)\, \varphi \right) - \left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)} {\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi-1}

при \varphi \not\equiv 0 \pmod{2\, \pi}. Искомое выражение для B получится если мы вычислим мнимую часть дроби, стоящей в правой части. Мы сейчас сделаем это, только предварительно слегка преобразуем числитель и знаменатель с использованием известных тригонометрических формул:

\cos \alpha - \cos \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta }{2} \, \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \quad , \quad \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta }{2} \, \sin \frac{ \alpha - \beta}{2} \ .

Итак, числитель правой части формулы равен

\left(\cos (n+1)\, \varphi - \cos \, \varphi \right) + \mathbf i \, \left(\sin (n+1)\, \varphi - \sin \, \varphi \right)=
=-2\, \sin \frac{(n+2)\, \varphi}{2} \, \sin \frac{n\, \varphi}{2} + 2\, \mathbf i\, \cos \frac{(n+2)\, \varphi}{2} \, \sin \frac{n\, \varphi}{2}=
=2\, \mathbf i\, \sin \frac{n\, \varphi}{2} \left(\cos \frac{(n+2)\, \varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{(n+2)\, \varphi}{2} \right) \ ;

а знаменатель:

(\cos \varphi -1) + \mathbf i\, \sin \varphi =-2\, \sin^2 \frac{\varphi}{2} + 2\, \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}{2} \, \cos \frac{\varphi}{2} =2\, \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}{2} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}{2} \right) \ .

Следовательно,

A+ \mathbf i\, B = \frac{\sin \displaystyle \frac{n\, \varphi}{2} }{\sin \displaystyle \frac{\varphi}{2} } \cdot \frac{\displaystyle \cos \frac{(n+2)\, \varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{(n+2)\, \varphi}{2}} {\displaystyle \cos \frac{\varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}{2}}=

ко второй дроби применяем формулу деления чисел, представленных в тригонометрической форме:

= \frac{\sin \displaystyle \frac{n\, \varphi}{2} }{\sin \displaystyle \frac{\varphi}{2} } \left(\cos \frac{(n+1)\, \varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{(n+1)\, \varphi}{2} \right) \ ,

и вычислить мнимую часть этого выражения не составляет труда. Окончательно имеем:

\sin \varphi + \sin 2\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi = \frac{\sin \displaystyle \frac{n}{2} \, \varphi \, \sin \displaystyle \frac{n+1}{2} \, \varphi } {\sin \displaystyle \frac{1}{2} \, \varphi} \ npu \ \varphi \not\equiv 0 \pmod{2\, \pi} \ .

В качестве «бонуса» мы получили и аналогичную формулу для косинусов:

\cos \varphi + \cos 2\, \varphi + \dots + \cos n\, \varphi = \frac{\sin \displaystyle \frac{2\,n+1}{2} \, \varphi}{2 \sin \displaystyle \frac{1}{2} \, \varphi} - \frac{1}{2} \ .
§

После того, как искомая формула выведена, не составляет труда доказать ее другим способом — без применения аппарата комплексных чисел. В самом деле, домножим левую ее часть на \sin \varphi/2:

\sin \varphi \cdot \sin \frac{1}{2} \, \varphi + \sin 2\, \varphi \cdot \sin \frac{1}{2} \, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi \cdot \sin \frac{1}{2} \, \varphi =

и преобразуем каждое произведение в разность косинусов:

=\frac{1}{2} \left(\cos \frac{3}{2} \, \varphi - \cos \frac{1}{2} \, \varphi + \cos \frac{5}{2} \, \varphi - \cos \frac{3}{2} \, \varphi + \dots + \cos \left( n + \frac{1}{2} \right) \, \varphi - \cos \left( n - \frac{1}{2} \right) \, \varphi \right) =

все слагаемые, кроме двух, сокращаются:

=\frac{1}{2} \left(\cos \left( n + \frac{1}{2} \right) \, \varphi - \cos \frac{1}{2} \, \varphi \right) = \sin \displaystyle \frac{n}{2} \, \varphi \, \sin \displaystyle \frac{n+1}{2} \, \varphi \ ,

и мы получили числитель дроби, стоящей в правой части выведенной формулы. В чем же заключалась польза от комплексных чисел, если доказать формулу можно и без их использования? — Да в том, что эти числа позволили нам вывести эту формулу, т.е. дали возможность угадать неизвестный путь к истине.

?

Свернуть сумму

\cos \varphi + \cos 3\, \varphi + \dots + \cos (2n-1)\varphi \ .

ОтветЗДЕСЬ

§

Применение формулы суммы косинусов: см. ☞ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Синус и косинус кратного угла

Задача. Найти общую формулу, выражающую \cos n \varphi через \cos \varphi и \sin \varphi.

Из школьного курса алгебры известна такая формула для n_{}=2: \cos 2 \varphi = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi. Для выведения же общей формулы воспользуемся двумя формулами разложения \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n: формулой бинома Ньютона

\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n =
=\cos^{n} \varphi+C_n^1 \cos^{n-1} \varphi \sin \varphi \mathbf i+C_n^2 \cos^{n-2} \varphi \sin^2 \varphi \mathbf i^2 +C_n^3 \cos^{n-3} \varphi \sin^3 \varphi \mathbf i^3+
+C_n^4 \cos^{n-4} \varphi \sin^4 \varphi \mathbf i^4+\dots+\sin^n \varphi \mathbf i^n

и формулой Муавра. Получаем:

\cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi =\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n=
=\left(\cos^n \varphi - C_n^2 \cos^{n-2}\varphi \sin^2 \varphi + C_n^4 \cos^{n-4}\varphi \sin^4 \varphi - \dots \right) +
+ \mathbf i \, \left(C_n^1 \cos^{n-1}\varphi \sin \varphi - C_n^3 \cos^{n-3}\varphi \sin^3 \varphi- \dots \right) \ .

На основании аксиомы равенства комплексных чисел:

\begin{array}{cl} \cos n\varphi = & \cos^n \varphi - \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} \cos^{n-2}\varphi \sin^2 \varphi + C_n^4 \cos^{n-4}\varphi \sin^4 \varphi - \dots \\ = & \displaystyle \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^j C_n^{2\, j} \sin^{2\, j} \varphi \cos^{n-2\,j} \varphi \ ; \\ \sin n\varphi = & \sin \varphi \left(n \cos^{n-1}\varphi -C_n^3 \cos^{n-3}\varphi \sin^2 \varphi +C_n^5 \cos^{n-5}\varphi \sin^4 \varphi-\dots \right) = \\ = &\displaystyle \sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^j C_n^{2\, j+1} \sin^{2\, j+1} \varphi \cos^{n-2\,j-1} \varphi \ . \end{array}

Здесь C_n^k означает биномиальный коэффициент, а \lfloor \quad \rfloorцелую часть числа. Таким образом, снова комплексные числа позволили нам вывести два совершенно вещественных равенства.

П

Пример.

\begin{array}{ll} \cos \, 4\varphi &= \cos^4 \varphi - 6\, \cos^2 \varphi \sin^2 \varphi + \sin^4 \varphi \ ,\\ \sin \, 5\varphi &= 5 \, \cos^4 \varphi \sin \varphi - 10 \, \cos^2 \varphi \sin^3 \varphi+ \sin^5 \varphi \ . \end{array}

?

Найти выражения \sin \, n \varphi через \sin \varphi и \cos \, n \varphi через \cos \varphi.

РешениеЗДЕСЬ.

?

Найти выражение \operatorname{tg}\, n \varphi через \operatorname{tg} \, \varphi.

§

Решение обратной задачи: выражение \cos^n \varphi и \sin^n \varphi через косинусы и синусы кратных углов, т.е. через \cos \varphi,\sin \varphi,\cos 2\varphi , \sin 2\varphi ,\dots, \cos n\varphi , \sin n\varphiЗДЕСЬ

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть n_{} означает натуральное число. Корнем n_{}-й степени из комплексного числа z_{} называется такое комплексное число w_{}, что w^n=z. Очевидно, что корень первой степени из z_{} совпадает с самим числом z_{} и корень любой степени из 0_{} равен 0_{} (в дальнейшем эти случаи рассматривать не будем). Обозначение корня при n\ge 2 такое же как и в случае вещественных чисел:

w = \sqrt[n]{z}, а при n=2 показатель обычно не указывают: w=\sqrt{z} \ .

Задача. Вычислить \displaystyle \sqrt[n]{z}.

Квадратный корень

Пусть z_{} представлено в каноническом виде: z=a+\mathbf i b при \{ a,b \}\subset \mathbb R. Будем искать число w также в каноническом виде: w=x+ \mathbf i y, где x_{} и y_{} неизвестные вещественные величины. По определению квадратного корня, должно быть выполнено:

w^2=z \ \iff \ (x+ \mathbf i y)^2 = a+\mathbf i b \ \iff \ (x^2-y^2) + 2\,\mathbf i xy = a+\mathbf i b \iff
\ \iff \ x^2-y^2 = a,\ 2\, xy = b \ .

(на основании аксиомы равенства комплексных чисел). Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим:

\left(x^2+y^2 \right)^2 = a^2+ b^2 \ \iff \ x^2+y^2 = \sqrt{a^2+ b^2}(поскольку \{x,y \}\subset \mathbb R )\ .

Вместе с первым уравнением получаем линейную систему относительно x_{}^2 и y_{}^2. Решаем ее относительно x_{}^2:

x^2=\frac{1}{2} \left(a+\sqrt{a^2+ b^2} \right) \Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{a+\sqrt{a^2+ b^2}} \ .

Имеем: x=0 \iff b=0, a\le 0. В этом случае y=\pm \sqrt{-a}. Таким образом:

\sqrt{a}= \pm \mathbf i \sqrt{-a} \quad npu \ a<0 \ .

Если b \ne 0, то

y=\frac{b}{2\,x}= \pm \frac{b}{\sqrt{2}\, \sqrt{a+\sqrt{a^2+ b^2}}}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{- a+\sqrt{a^2+ b^2} } \, \operatorname{sign}\, (b) \ ;

здесь \operatorname{sign} означает знак числа. Таким образом:

\sqrt{z} =\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\sqrt{a+\sqrt{a^2+ b^2}} +\mathbf i \sqrt{-a+\sqrt{a^2+ b^2}} \, \, \operatorname{sign} \, (b) \right) \ .
?

Вычислить а) \sqrt{2\, \mathbf i}; б) \sqrt{-3} ; в) \sqrt{2-3\, \mathbf i}.

Формулы для вычисления квадратного корня позволят теперь решить любое квадратное уравнение

z^2+p\, z+q=0, \quad npu \ \{p,q \}\subset \mathbb C \ .

В самом деле, преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:

z^2+p\, z+q=z^2+p\, z+\left(\frac{p}{2}\right)^2 +\left(q-\frac{p^2}{4} \right)= \left( z + \frac{p}{2} \right)^2 - \frac{\mathcal D}{4}

при

\mathcal D= p^2-4\, q \ ,

т.е. известному нам по вещественному случаю дискриминанте квадратного трехчлена. Итак, квадратное уравнение преобразовано к виду:

\left( z + \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{\mathcal D}{4} \ ,

их которого получаем привычную форму записи его корней

z_{1,2}=\frac{1}{2} \left(-p\pm \sqrt{\mathcal D} \right) \ ,

с той только оговоркой, что теперь под \sqrt{\mathcal D} понимается два значения корня квадратного из комплексного числа.

П

Пример. Решить уравнение z^2-2\, z+3=0.

Решение. Здесь \mathcal D=-8 и \sqrt{\mathcal D}= \pm \mathbf i 2 \sqrt{2}.

Ответ. 1\pm \mathbf i \sqrt{2}.

П

Пример. Решить уравнение z^2-(3+2\, \mathbf i )\, z +(5+5\, \mathbf i ) =0.

Решение. Здесь \mathcal D=(3+2\, \mathbf i )^2-4\, (5+5\, \mathbf i )=-15 - 8\, \mathbf i. По формуле извлечения корня: \sqrt{\mathcal D}=\pm (1-4\, \mathbf i ).

Ответ. 2- \mathbf i ,\ 1+3\, \mathbf i.

П

Пример. Решить уравнение (3- \mathbf i )\, z^2+(1+ \mathbf i )\, z + 6\, \mathbf i =0.

Решение. Можно сначала поделить все уравнение на коэффициент при z^2, но можно действовать и напрямую, обобщив понятие дискриминанта:

\mathcal D=(1+ \mathbf i )^2- 4\, (3- \mathbf i )\, 6\, \mathbf i=-24-70\, \mathbf i \ , \ \sqrt{\mathcal D}=\pm ( 5 - 7\, \mathbf i ) \ ,

а также формулу вычисления корней:

z_{1,2}=\frac{-(1+ \mathbf i) \pm ( 5 - 7\, \mathbf i )}{2 (3- \mathbf i)} \ .

Ответ. 1-\mathbf i \ , -\frac{6}{5} + \frac{3}{5} \mathbf i.

Общий случай

Попробуем найти приемом, задействованным в предыдущем пункте, величину \sqrt[3]{z}.

w^3=z \ \iff \ (x+ \mathbf i y)^3 = a+\mathbf i b \iff \left(x^3-3\, x y^2 \right) + \mathbf i \, (3\, x^2 y-y^3) = a+\mathbf i b
\iff \left\{ \begin{array}{c} x^3-3\, x y^2 = a, \\ 3\, x^2 y-y^3 = b \ . \end{array} \right.

Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим:

x^6+3\, x^4y^2+3\, x^2y^4+y^6=a^2+b^2 \ \iff \ (x^2+y^2)^3=a^2+b^2
\ \iff \ x^2+y^2 = \sqrt[3]{a^2+b^2}\ .

Выразим отсюда y^2 и подставим в первое уравнение:

4\, x^3 - 3\, x \sqrt[3]{a^2+b^2} -a =0 \ .

Получилось кубическое уравнение относительно неизвестной вещественной величины x_{}. Существует общий метод решения подобного уравнения (см. ☞ ЗДЕСЬ); однако его применение к настоящему случаю отягощается серьезной проблемой.

§

8) Речь идет о формуле Кардано представления корней кубического уравнения в радикалах относительно коэффициентов этого уравнения. Однако в данном конкретном примере мы сталкиваемся с так называемым неприводимым случаем формулы Кардано: заведомо вещественные корни могут быть выражены только посредством мнимых чисел! Получаем порочный круг9): искомые комплексные величины \sqrt[3]{z} ищутся через посредство кубического уравнения с вещественными корнями, для которых, в свою очередь, имеется только комплексные представления.

Попробуем решить получившееся кубическое уравнение хотя бы при частных значениях a_{} и b_{}. Пусть, например, b=0, тогда

4\, x^3 - 3\, x \sqrt[3]{a^2} -a=(x- \sqrt[3]{a}) \left(4\, x^2 +4\,\sqrt[3]{a} x +\left( \sqrt[3]{a} \right)^2 \right)= (x- \sqrt[3]{a})\left( 2\, x + \sqrt[3]{a} \right)^2 \ ,

т.е. решениями уравнения являются

x_1=\sqrt[3]{a},\ x_{2,3}=- \frac{1}{2} \sqrt[3]{a} \ .

Подставляя в первое из уравнений, получим соответствующие значения для y_{}:

y_1=0,\ y_{2,3}=\pm \frac{\sqrt{3}}2 \sqrt[3]{a} \ .

Таким образом, кубический корень из вещественного числа z=a имеет три значения:

\left\{ \sqrt[3]{a},\ \sqrt[3]{a} \left(-\frac{1}{2} \pm \mathbf i \frac{\sqrt{3}}2 \right) \right\} \ .

Рассмотрим теперь случай a_{}=0. Уравнение принимает вид

4\, x^3 - 3\, x \sqrt[3]{b^2}=0 \ ,

из которого сразу же находятся значения x_{}:

x_1=0,\ x_{2,3}= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt[3]{b} \ .

Соответствующие значения для y:

y_1=- \sqrt[3]{b},\ y_{2,3}= \frac{1}{2} \sqrt[3]{b} \ .

Таким образом, кубический корень из чисто мнимого числа z=\mathbf i b имеет три значения:

\left\{ -\mathbf i \sqrt[3]{b},\ \sqrt[3]{b} \left( \pm \frac{\sqrt{3}}2 + \frac{1}{2}\, \mathbf i \right) \right\} \ .

Теперь приведем другой способ вычисления w=\sqrt[n]{z}, основанный на тригонометрической форме записи чисел w_{} и z_{}. Пусть

z=a+\mathbf i b= \rho \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) \ , w=x+\mathbf i y = r \left( \cos \vartheta + \mathbf i \sin \vartheta \right) \ .

Применяя формулу Муавра, получаем

w^n=r^n \left( \cos n\vartheta + \mathbf i \sin n\vartheta \right)= \rho \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)

и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем:

r^n = \rho ,\ n\vartheta \equiv \varphi \pmod{2 \pi}

Первое из этих равенств мы получали в явном виде для квадратных и кубических корней, оно равносильно

r= \sqrt[n]{\rho} \ ,

т.е. модуль корня n_{}-й степени из комплексного числа равен (арифметическому) корню n_{}-й степени из модуля этого числа.

Т

Теорема. Существует n_{} различных значений корня n_{}-й степени из комплексного числа z=\rho (\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi ). Все они даются формулой

w_k= \sqrt[n]{\rho} \left(\cos \frac{\varphi+2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{\varphi+2 \pi k}{n}\right) \ npu \ k\in \{0,1,\dots, n-1\} \ .

Доказательство того, что при любом целом числе k_{} числа w_k являются корнями n-й степени из z_{} уже проведено. Далее, из периодичности \sin и \cos следует, что

w_{0}=w_{nk},\ w_{1}=w_{nk+1},\dots , w_{n-1}=w_{nk+n-1} \quad npu \ k\in \mathbb Z \ ,

т.е. все эти корни содержатся в объявленном множестве. Осталось показать, что все числа w_0,w_1,\dots, w_{n-1} различны. Но это так и есть, поскольку их аргументы не подчиняются правилу равенства комплексных чисел.

П

Пример. Вычислить \sqrt[3]{\mathbf i} .

Решение. \mathbf i= \cos {\pi}/2 + \mathbf i \sin {\pi}/2

\sqrt[3]{\mathbf i} = \sqrt[3]{\cos \frac{\pi}2 + \mathbf i \sin \frac{\pi}{2}}= \cos \frac{{\pi}/2 + 2\pi k}{3} + \mathbf i \sin \frac{{\pi}/2 + 2\pi k}{3} \ npu \ k \in \{0,1,2\}.

Видим, что значения

w_0=\cos \frac{\pi}6 + \mathbf i \sin \frac{\pi}6=\frac{\sqrt{3}}2 + \frac{1}{2} {\mathbf i} \ , \quad w_1= \cos \frac{5\pi}6 + \mathbf i \sin \frac{5\pi}6=-\frac{\sqrt{3}}2 + \frac{1}{2} {\mathbf i} \ , \quad w_2=\cos \frac{3\pi}2 + \mathbf i \sin \frac{3\pi}2=-\mathbf i

совпадают с выведенной выше формулой для \sqrt[3]{\mathbf i b}.

П

Пример. Вычислить \sqrt[7]{1+9\, \mathbf i}.

Решение.

1+9\, \mathbf i =\sqrt{82}\left(\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) \quad npu \ \varphi=\arccos \frac{1}{\sqrt{82}} \approx 1.460139106 \ .

Значения корней получаются по формуле

\{w_k\}_{k=0}^6=\left\{ \sqrt[14]{82} \left(\cos \frac{\varphi+2 \pi k}{7} + \mathbf i \sin \frac{\varphi+2 \pi k}{7}\right) \right\}_{k=0}^6 \ \approx
\approx \big\{1.34024 + 0.28368\, \mathbf i,\ 0.61383 + 1.22472 \, \mathbf i,\ -0.57480 + 1.24351\, \mathbf i,\ -1.33060 + 0.32591\, \mathbf i,\ -1.08442 - 0.83710 \, \mathbf i,
-0.02165 - 1.36976 \, \mathbf i,\ 1.05742 - 0.87096 \, \mathbf i \big\} \ .

Изобразим корни на комплексной плоскости: видим, что они располагаются на окружности с центром в 0_{} и радиусом \sqrt[14]{82} \approx 1.36993; и делят эту окружность на 7_{} дуг одинаковой длины. Аналитика подтвержает это: число w_k может быть получено домножением w_0 на число \cos 2 \pi k/7 + \mathbf i \sin 2 \pi k/7, что соответствует повороту вектора \vec{Ow_0} на угол кратный 2\pi/7.








Корни из единицы

Обобщим соображения из последнего примера: корень n_{}-й степени из комплексного числа z_{} можно представить в виде произведения

\sqrt[n]{\rho} \left(\cos \frac{\varphi+2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{\varphi+2 \pi k}{n}\right) =
=\sqrt[n]{\rho} \left( \cos \frac{\varphi}{n} + \mathbf i \sin \frac{\varphi}{n} \right) \left( \cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi k}{n} \right)= w_0 \left( \cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi k}{n} \right)

двух сомножителей, первый из которых не зависит от k_{}. Числа

\varepsilon_k = \cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi k}{n}

при k\in \{0,1,\dots,n-1\} имеют очевидный смысл — они являются корнями n-й степени из единицы:

\varepsilon_k^n=1 \quad npu \quad k\in \{0,1,\dots,n-1 \} \ .

Также очевидно, что \varepsilon_0=1.

Т

Теорема. Множество всех корней n_{}-й степени из комплексного числа z_{} можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня на множество всех корней n_{}-й степени из 1_{}:

\{w_k \}_{k=0}^{n-1} = \{w_j \varepsilon_k \}_{k=0}^{n-1} \ .

Доказательство. Для j=0 справедливость утверждения уже показана. Для j>0 она очевидно следует из равенства w_j \varepsilon_k=w_0 \varepsilon_{k+j} и цикличности последовательности \{\varepsilon_{k}\}_{k=0,1,2,\dots}.

П

Пример. Множества корней n_{}-й степени из 1_{}:

\begin{array}{l|l} n=1& 1 \\ & \\ n=2& 1,\, -1 \\ & \\ n=3& 1,\, -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2},\, -\frac{1}{2} - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}2 \\ & \\ n=4& 1,\, \mathbf i,\, -1,\, -\mathbf i \\ & \\ n=5& 1,\, \frac{1}{4} \left( \scriptstyle{(\sqrt{5}-1)} +\displaystyle{\mathbf i} \scriptstyle{\sqrt{2 (5+\sqrt{5})}} \right),\, \frac{1}{4} \left( -\scriptstyle{(\sqrt{5}+1)} +\displaystyle{\mathbf i} \scriptstyle{\sqrt{2 (5-\sqrt{5})}} \right),\, \frac{1}{4} \left( -\scriptstyle{(\sqrt{5}+1)} - \displaystyle{\mathbf i} \scriptstyle{\sqrt{2 (5-\sqrt{5})}} \right),\, \frac{1}{4} \left( \scriptstyle{(\sqrt{5}-1)} - \displaystyle{\mathbf i} \scriptstyle{\sqrt{2 (5+\sqrt{5})}} \right) \\ & \\ n=6& 1,\ \frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} ,\ -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2}, -1,\ - \frac{1}{2} - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

Как были получены эти выражения? — Мы ведь не выводили в предыдущем пункте алгебраического представления для, скажем \sqrt[5]{z}, но, тем не менее, какие-то значения в таблице привели. Ответ на этот вопрос заключается в том, что уравнение z^n-1=0, определяющее корни n_{}-й степени из 1_{}, иногда удается решить в «хороших» выражениях (см. ВОЗВРАТНЫЙ ПОЛИНОМ ). Так, к примеру, уравнение z^9-1=0 можно переписать в виде:

(z^9-1)\equiv (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1)=0 \ ,

и выражения для, по крайней мере, трех его корней угадываются сразу:

\left\{ 1,\, -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2},\, -\frac{1}{2} - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}2 \right\} \ .

Разумеется, они совпадают с уже встречавшимися в таблице корнями кубическими из 1_{}. Оставшееся уравнение z^6+z^3+1=0 можно свести к квадартному заменой переменной. Но дальше пройти не удается: алгебраические выражения для корней этого уравнения не получить.

Уравнение z^n-1=0 называется уравнением деления круга — с очевидным геометрическим смыслом 10).

Т

Теорема. Для любых \{k,\ell\}\subset \{0,1,\dots,n-1\} справедливы равенства

\varepsilon_{k}=\varepsilon_{1}^k \ , \ \overline{\varepsilon_{k}}= \frac{1}{\varepsilon_{k}}=\varepsilon_{n-k},\ \varepsilon_{k}\varepsilon_{\ell}= \varepsilon_{k+\ell \pmod{n}}= \left\{ \begin{array}{lc} \varepsilon_{k+\ell} & npu \ k+\ell<n \\ \varepsilon_{k+\ell-n} & npu \ k+\ell\ge n \end{array} \right. \ .

?

Вычислить сумму всех корней n_{}-й степени из 1_{}.

РешениеЗДЕСЬ

Пусть \varepsilon_{} — корень n_{}-й степени из 1_{}. Говорят, что он является первообразным корнем n-й степени из 1 или что он принадлежит показателю n если \varepsilon_{} не является корнем меньшей степени из 1_{}:

\varepsilon^j \ne 1 \quad npu \ j\in \{1,\dots,n-1\},\quad \varepsilon^n = 1 \ .

Образно говоря: если мы построим таблицу подобную той, что построена в предыдущем примере, для всех корней степеней 2,3,\dots, n, то первообразным корнем n_{}-й степени из 1_{} будет тот, который нигде раньше в этой таблице не встречался.

П

Пример. В приведенном выше примере, корень \displaystyle -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} не является первообразным корней 6_{}-й степени из 1_{}, но является первообразным корнем 3_{}-й степени из 1_{}.

Т

Теорема. Корень

\varepsilon_k = \cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi k}{n}

будет первообразным степени n_{} тогда и только тогда, когда \operatorname{HOD} (k,n)=1 ( \operatorname{HOD} означает наибольший общий делитель ).

?

Указать индексы k\in\{0,\dots, 15\}, которые соответствуют первообразным корням \displaystyle \cos \frac{2 \pi k}{16} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi k}{16} степени 16 из 1_{}.

?

Будет ли произведение двух первообразных корней степени n_{} первообразным корнем степени n_{} ?

=>

При любом n\in \mathbb N корень

\varepsilon_1 = \cos \frac{2 \pi }{n} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi }{n}

будет первообразным степени n_{}.

?

Будет ли \varepsilon_{n-1} первообразным корнем?

=>

Число первообразных корней n_{}-й степени из 1_{} равно \phi (n), где \phiфункция Эйлера.

?

[2]. Пусть \varepsilon_{k} — первообразный корень. Доказать, что \varepsilon_{k}^{k^{^{\phi(n)-1}}} = \varepsilon_{1}.

=>

Произвольный корень n_{}-й степени из 1_{} может быть получен как некоторая степень произвольного первообразного корня n_{}-й степени из 1_{}.

В самом деле, если \varepsilon^n=1 и \varepsilon^j\ne 1 при j\in \{1,2,\dots,n-1\}, то все числа \varepsilon, \varepsilon^2,\dots,\varepsilon^{n-1} будут корнями n_{}-й степени из 1_{}, все они будут различны между собой и отличны от 1_{}. Следовательно, эти степени представляют собой перестановку корней \varepsilon_1, \varepsilon_2,\dots, \varepsilon_{n-1}.

?

В каком случае степень первообразного корня будет первообразным корнем?

§

Подробнее об уравнении деления круга ЗДЕСЬ

§

Использование корней из единицы ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Экспоненциальное представление комплексного числа

!

Материал настоящего раздела довольно сложен и может быть пропущен при первом чтении.

Еще одно представление комплексного числа может быть организовано на основании важной функции комплексного аргумента.

В курсе математического анализа доказывается существование следующего предела

\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ ,

он имеет специальное обозначение11):

e \approx 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595...

и исключительно важен в приложениях. Также доказывается, что показательная функция e^x (экспонента) может быть представлена рядом Тейлора

e^x=1+x+ \frac{x^2}{2!}+\dots + \frac{x^n}{n!}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^j}{j!}

сходящимся при всех x\in \mathbb R. Аналогичным рядом по комплексной переменной z=x+ \mathbf i y определяется комплексная экспонента:

e^z=1+z+ \frac{z^2}{2!}+\dots + \frac{z^n}{n!}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{z^j}{j!} \ ;

и в курсе теории функций комплексной переменной доказывается, что этот ряд сходится при всех z\in \mathbb C.

По аналогии с рядами Тейлора для функций

\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^jx^{2j+1}}{(2j+1)!}

и

\cos x = 1- \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^jx^{2j}}{(2j)!}

определяются тригонометрические функции

\sin z = z - \frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^jz^{2j+1}}{(2j+1)!}

и

\cos z = 1- \frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^jz^{2j}}{(2j)!} ;

оба ряда сходятся при всех z\in \mathbb C.

В комплексной плоскости (как и на вещественной оси) справедливы тождества

\sin (-z) \equiv - \sin z,\quad \cos (-z) \equiv \cos z \ ,

т.е. функция \sin является нечетной, а функция \cos — четной.

Т

Теорема [Эйлер]. Формула

e^{\mathbf i z} \equiv \cos z + \mathbf i \sin z

имеет место при всех z \in \mathbb C.

Доказательство.

\begin{array}{ccl} e^{\mathbf i z}&=& \displaystyle 1+\mathbf i z+ \frac{\mathbf i^2 z^2}{2!}+\frac{\mathbf i^3 z^3}{3!}+\frac{\mathbf i^4 z^4}{4!}+ \dots = 1+\mathbf i z- \frac{z^2}{2!}-\frac{\mathbf i z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+ \dots \\ & = & \displaystyle \left(1- \frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots \right) + \mathbf i\left(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}- \dots \right) = \\ & = & \cos z + \mathbf i \sin z \ . \end{array}

=>

Для вещественного числа \varphi имеем

e^{{\mathbf i}\varphi }= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \ ;

сравнивая это выражение с тригонометрической формой комплексного числа z_{} получаем его экспоненциальное представление

z= \rho e^{{\mathbf i}\varphi } \ .

=>

Следующая формула Эйлера связывает между собой четыре знаменитые математические величины:

e^{\mathbf i \pi}= - 1 \ .

И

См. по поводу этой формулы цитату А.Н.Крылова.

=>

Тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены как линейные комбинации экспонент:

\cos z= \frac{1}{2} \left( e^{{\mathbf i} z}+e^{-{\mathbf i} z} \right),\quad \sin z= \frac{1}{2{\mathbf i}} \left( e^{{\mathbf i} z}-e^{-{\mathbf i} z} \right) \ .

?

Угадайте первые три цифры числа 1001^{1000}. ;-)

А зачем они всё же нужны?

Этот вопрос — о полезности комплексных чисел, о необходимости их введения — остается открытым. Проанализируем все полученные в настоящем разделе результаты на предмет ответа на вопрос: «стоила ли овчинка выделки?», т.е. оправдано ли введение новой (и подозрительно мнимой) сущности получением новых и сущвещественных результатов?

1. Применение комплексных чисел для выведения тригонометрических формул. Действительно, использование аппарата мнимых чисел позволило упростить вывод вещественных равенств. Однако, после получения ответа в задаче о суммировании \sin \varphi + \sin 2\,\varphi+\dots + \sin n\, \varphi был сразу же показан альтернативный способ получения того же ответа без использования комплексных чисел. Можно ожидать, что и остальные результаты того пункта — как то выражение синусов и косинусов кратных углов как степеней косинусов и синусов исходного угла, а также решение обратной задачи — тоже допускают принципиально вещественное решение12). Таким образом, польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

2. Геометрические приложения. Проанализируем их на примерах трех введенных операций. Пусть w=x+ \mathbf i y — переменная величина, т.е. числа \{ x,y \} \subset \mathbb R могут принимать произольные значения, а z=a+ \mathbf i b — фиксированное комплексное число. Геометрический смысл операции суммирования w+z заключается в преобразовании комплексной плоскости, а именно — в сдвиге ее точек

(x,y) \mapsto (x+a,y+b)

на фиксированную величину.

Вторая из введенных операций — комплексное сопряжение — также имеет простое геометрическое содержание:

w \mapsto \overline{w} \quad \iff \quad (x,y) \mapsto (x,-y) ;

каждая точка комплексной плоскости зеркально отражается относительно вещественной оси.

Наконец, операция умножения комплексных чисел: w \mapsto w\cdot z. Геометрию этой операции мы анализировали ВЫШЕ переходом к тригонометрической форме записи комплексного числа. Проведем более подробый анализ. Рассмотрим сначала частный случай числа z_{}: пусть его модуль равен 1_{}, т.е. z = \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi. Умножение числа w_{} на такое число z_{} равносильно повороту точек комплексной плоскости на угол \varphi вокруг начала координат. Так, к примеру, умножению на мнимую единицу \mathbf i соответствует поворот точек плоскости на угол \pi/2; а если еще раз повернем на тот же угол — то результатом будет преобразование

(x,y) \mapsto (-x,-y) \ ;

и результат снова полностью соответствует основополагающему правилу комплексных чисел: \mathbf i^2=-1.

Рассмотрим теперь другой частный случай выбора числа z_{}. Пусть оно будет вещественно: z=a \in \mathbb R и отлично от 0_{}. Тогда

w \mapsto a \cdot w \quad \iff \quad (x,y) \mapsto (ax,ay) ;

и мы имеем дело с растяжением каждого отрезка комплексной плоскости, имеющего одним концом начало координат, на величину13) a_{}.

Теперь понятно, что умножение w_{} на произвольное число z = \rho (\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi) (отличное от 0_{}) сводится к комбинации рассмотренных выше преобразований: т.е. к одновременному повороту вокруг начала координат на угол \varphi и растяжению с коэффициентом \rho.

Подводим итоги: комплексные числа позволяют дать аналитические выражения (формулы) для ряда важных операций на плоскости, как то — сдвига, зеркального отражения, поворота, растяжения. Сразу же возникают соображения о возможности комбинирования этих операций (w \mapsto z_1\cdot w + z_2, w \mapsto z_1\cdot (\overline{w} + z_2) и т.п.) для покрытия возможно большего разнообразия мыслимых геометрических преобразований. В этом месте происходит зарождение отдельного раздела комплексного анализа — теории функций комплексной переменной14). Пока не устремляясь к этим красочным горизонтам, охладим наш пыл одним критическим замечанием.

Дело в том, что все указанные геометрические преобразования могут быть аналитически представлены и без введения комплексной переменной. Формулы

X=x+a, Y=y+b \ ;
X=x,Y=-y \ ;
X= x \cos \varphi - y \sin \varphi, \ \quad Y=x \sin \varphi + y \cos \varphi \ ;
X=ax, Y=ay

полностью описывают все обсужденные операции на вещественной плоскости (x,y). Никакой мнимой единицы вводить не нужно… :-/ И мы вынуждены повторить приведенный выше вывод: польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

§

Это мнение следует считать моим личным и весьма субъективным. В книге [3] можно найти ряд приложений комплексных чисел к задачам геометрии. Моих знаний не достаточно для оценки этих задач как представляющих исключительно только исторический интерес.

3. Решение уравнений. Да, задача, поставленная в начале раздела, решена: мы придали смысл словам «решить уравнение x^2+1 = 0»; более того, на основе разработанного аппарата, мы смогли решить любое уравнение второго порядка. А зачем это нужно? Какой смысл имеют мнимые корни такого уравнения, какую реальность они отражают? — Ответа на этот вопрос пока не даем. Отметим только два обстоятельства. Первое: если полагать, что реальную смысловую нагрузку несут хотя бы вещественные решения уравнения, то, оказывается, что без комплексных чисел не обойтись.

П

Пример. Решить уравнение x^3-3\,x+1=0.

Ответом будут три вещественных корня: 2 \cos ({2\pi}/9) \approx 1.53208, 2 \cos ({4\pi}/9) \approx 0.34729, 2 \cos ({8\pi}/9) \approx -1.87938. Истинность можно проверить подстановкой в уравнение (с применением формулы приведения для степени косинуса, выведенной ЗДЕСЬ ). Как был получен этот ответ? Решение этого примера на основе формулы Кардано изложено ☞ ЗДЕСЬ. Это решение существенно использует комплексные числа в промежуточных выкладках, хотя они и не участвуют в конечном результате. В данном конкретном примере можно было бы обойтись без них — например, каким-то чудесным способом угадав ответ. Но попробуйте угадать ответ для, скажем, уравнения x^3-17\,x+2=0 (которое также имеет три вещественных корня). Ответ можно выразить в виде определенной комбинации коэффициентов уравнения, но эта комбинация будет явным образом содержать \mathbf i. Попытки избавиться от мнимой единицы не приводят к результату. Именно эта задача — решения кубического уравнения с вещественными коэффициентами и заведомо вещественными решениями — привела к первому появлению комплексных чисел на математическом горизонте в XVI веке; иными словами, для получения правильного вещественного ответа пришлось вводить число с парадоксальным правилом возведения в квадрат: \mathbf i^2=-1. См. свидетельство «психологического шока» первооткрывателя слова Кардано.

Второе обстоятельство, оправдывающее введение комплексных чисел, заключается в их достаточности для решения произвольного уравнения вида a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0; здесь n_{} — натуральное число, a_0,a_1,\dots,a_n — произвольные фиксированные числа, а x_{} — неизвестная, относительно которой разыскивается решение уравнения. Оказывается, что все решения этого уравнения можно найти в комплексных числах — при любых коэффициентах (будь они вещественные или даже мнимые). Иными словами, введения других, «сверхкомплексных», чисел не требуется. Этот результат носит название "Основной теоремы высшей алгебры"; это название объясняется тем, что вплоть до конца XIX века основной задачей алгебры считалась задача решения уравнений и систем уравнений.

4. Наконец, исключительно важное значение мнимые числа имеют в экономической науке. К примеру, вручение престижной премии ;-) в номинации «Экономика» за 2002 г. см. ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[2]. Задача № E 1899 из журнала American Mathematical Monthly, v. 74, N 8, 1967, c. 1010

[3]. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.Едиториал УРСС, 2004

[4]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984

[5]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1965

1) complexus (лат.) — связь, сочетание; любовь, благожелательное отношение.
2) \mathbf imaginarius (лат.) — кажущийся, призрачный, воображаемый, мнимый. В теории автоматического управления и в электротехнике принято обозначение \mathbf j — чтобы ибежать коллизии с обозначением силы тока.
3) В некоторых учебниках (см., к примеру, [5]) мнимая часть числа a+\mathbf i b определяется как число \mathbf i b; но всё же чаще я встречал это определение именно в приводимом здесь (и в дальнейшем используемом) варианте.
4) В курсе аналитической геометрии определяется еще одно произведения двух векторов — так называемое, векторное произведение; его результатом является вектор. Тем не менее, и этот результат не будет соответствовать произведению комплексных чисел.
5) В дальнейшем будем говорить просто «угол».
6) Как правило, приближенно.
7) , 8) Настоящее замечание может быть пропущено без ущерба для понимания оставшейся части раздела.
9) circulus vitiosus (лат.)
10) Понятно, что уравнение z^n-w=0, при фиксированном комплексном числе w_{} тоже может считаться уравнением деления круга — но название закрепилось именно за указанным уравнением.
11) В честь Леонарда Эйлера.
12) Я пока не проверял, но уверен в этой возможности.
13) Слово «растяжение» понимается в обобщенном смысле: при a> 1 — это действительно растяжение, а вот при a < 1 — это сжатие.
14) Примеры более сложных функций от комплексной переменной см. в предыдущем ПУНКТЕ.

2016/08/06 10:09 редактировал au