УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА


Т

Теорема. Существует ортогональная матрица P_{}, приводящая симметричную матрицу A_{} к диагональному виду:

P^{-1}AP=P^{^{\top}}AP= \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \mathbb O \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ \mathbb O&& & \lambda_n \end{array} \right).

Доказательство особенно просто в случае когда все собственные числа \lambda_1,\dots, \lambda_n различны. На основании теоремы 1 матрица A_{} диагонализуема над множеством вещественных чисел и на основании теоремы 2 матрица P, приводящая к диагональному виду, может быть выбрана ортогональной.

Для общего случая доказательство производится индукцией по порядку n матрицы A. При n=1 утверждение тривиально. Пусть оно справедливо для любой симметричной матрицы порядка n-1. По теореме 1 у матрицы A существует хотя бы одно собственное число \lambda_1 \in \mathbb R, и ему соответствует хотя бы один собственный вектор-столбец {\mathfrak X}_1 \in \mathbb R^n. Будем считать этот вектор нормированным |{\mathfrak X}_1|=1. Рассмотрим произвольную ортогональную матрицу

Q= \left[ {\mathfrak X}_1,Q_2,\dots,Q_n \right] \ , \quad ({\mathfrak X}_1,Q_2)=0, \dots , ({\mathfrak X}_1,Q_n)=0, \quad (Q_j,Q_k)=\delta_{jk} \ ,

дополнив {\mathfrak X}_1 до ортонормированного базиса \mathbb R^n. Имеем:

Q^{^{\top}} A Q = \left[ \begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}} \end{array} \right]A \left[ {\mathfrak X}_1,Q_2,\dots,Q_n \right]= \left[ \begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}} \end{array} \right] \left[A{\mathfrak X}_1,AQ_2,\dots,AQ_n \right]=
= \left[ \begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}} \end{array} \right]\left[\lambda_1 {\mathfrak X}_1,AQ_2,\dots,AQ_n \right]= \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 {\mathfrak X}_1^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & {\mathfrak X}_1^{^{\top}} AQ_2 & \dots & {\mathfrak X}_1^{^{\top}} AQ_n \\ \lambda_1 Q_2^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & Q_2^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_2^{^{\top}} AQ_n \\ \dots &&& \dots \\ \lambda_1 Q_n^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & Q_n^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_n^{^{\top}} AQ_n \end{array} \right]=
= \left( \begin{array}{cl} \begin{array}{l} \lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} & \begin{array}{c} 0 \quad \dots \quad 0 \\ \left[ \begin{array}{c} \\ \quad \widetilde A \quad \\ \\ \end{array} \right] \end{array} \end{array} \right) \qquad npu \ \widetilde A= \left[ \begin{array}{ccc} Q_2^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_2^{^{\top}} AQ_n \\ \dots && \dots \\ Q_n^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_n^{^{\top}} AQ_n \end{array} \right]

— симметричной матрице порядка n-1.

Очевидно, что \det \, (A-\lambda \, E) \equiv (\lambda_1 - \lambda) \det \, (\widetilde A-\lambda \, E) и спектр матрицы \widetilde{ A} получается из спектра A отбрасыванием собственного числа \lambda_1. По индукционному предположению для матрицы \widetilde{A} существует ортогональная матрица \widetilde Q_{(n-1)\times (n-1)}, приводящая ее к диагональному виду:

{\widetilde Q}^{^{\top}} \widetilde{A} {\widetilde Q}= \left( \begin{array}{ccc} \lambda_2 & & \mathbb O \\ & \ddots & \\ \mathbb O& & \lambda_n \end{array} \right)_{(n-1) \times (n-1)} \ .

Но тогда матрица

Q_1 = \left( \begin{array}{cl} \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} & \begin{array}{c} 0 \quad \dots \quad 0 \\ \left[ \begin{array}{c} \\ \quad \widetilde{Q} \quad \\ \\ \end{array} \right] \end{array} \end{array} \right)

тоже ортогональная и

Q_1^{^{\top}} \left( \begin{array}{cc} \begin{array}{l} \lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} & \begin{array}{c} 0 \quad \dots \quad 0 \\ \left[ \begin{array}{ccc} & & \\ & \widetilde{A} & \\ & & \end{array} \right] \end{array} \end{array} \right)Q_1= \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \mathbb O \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ \mathbb O&& & \lambda_n \end{array} \right).

Матрица P=QQ_1 является искомой матрицей из теоремы. Она будет ортогональной как произведение двух ортогональных матриц.

Источники

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука.1984


2016/08/06 11:27 редактировал au