УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к пункту ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ.


Т

Теорема. Если \lambda_{\max}максимальное, а \lambda_{\min} минимальное собственные числа симметричной матрицы A \in \mathbb R^{n\times n}, то

\max_{X \in \mathbb R^n \setminus \mathbb O} \frac{X^{^{\top}}A X}{X^{^{\top}}X} =\lambda_{\max}, \qquad \min_{X \in \mathbb R^n \setminus \mathbb O} \frac{X^{^{\top}}A X}{X^{^{\top}}X} =\lambda_{\min} \, .

Указанные экстремумы достигаются на соответствующих собственных векторах матрицы A.

Доказательство. Перенумеруем собственные числа симметричной матрицы \mathbf A \in \mathbb R^{n\times n} в порядке неубывания:

\lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n \, ;

пусть ортонормированный базис R^n состоит из соответствующих собственных векторов

\{\mathfrak X_1, \mathfrak X_2,\dots, \mathfrak X_n \} \, .

Замена переменных

X=PY ,

с ортогональной матрицей

P:=\left[\mathfrak X_1, \mathfrak X_2,\dots, \mathfrak X_n \right]

приводит квадратичную форму X^{^{\top}}A X к сумме квадратов

X^{^{\top}}A X=Y^{^{\top}}P^{^{\top}} A P Y =\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\dots + \lambda_n y_n^2 \ ,

в то время как знаменатель дроби своей формы не меняет:

X^{^{\top}}X=Y^{^{\top}}P^{^{\top}} P Y =y_1^2+y_2^2+\dots + y_n^2 \, .

Таким образом,

\frac{X^{^{\top}}A X}{X^{^{\top}}X}=\frac{\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\dots + \lambda_n y_n^2 }{y_1^2+y_2^2+\dots + y_n^2} \, .

Дробь в правой части равенства допускает механическую интерпретацию. Если в точках оси вещественных чисел с координатами \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n поместить соответствующие массы y_1^2, y_2^2,\dots,y_n^2, то эта дробь дает координаты центра масс. Последний, очевидно, лежит между крайними точками материальной системы:

\lambda_1 \le \frac{\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\dots + \lambda_n y_n^2 }{y_1^2+y_2^2+\dots + y_n^2} \le \lambda_n \quad \forall Y\in \mathbb R^n .

Поскольку

\mathfrak X_j^{^{\top}}A \mathfrak X_j = \lambda_j \mathfrak X_j^{^{\top}} \mathfrak X_j ,

обе границы неравенства достигаются на соответствующих собственных векторах.

Источник

[1]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.


2020/01/02 22:08 редактировал au