УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу МАТРИЦА


Кососимметричная матрица

Матрица A_{} называется кососимметричной если она удовлетворяет соотношению

A=-A^{\top} ;

здесь {}^{\top} означает транспонирование.

Из определения следует, что кососимметричная матрица может быть только квадратной, а ее элементы должны удовлетворять соотношению:

a_{jk}=-a_{kj} \quad npu \quad \{j,k \} \subset \{1,\dots, n\} .

Из этого условия вытекает, что все элементы главной диагонали кососимметричной матрицы должны быть равны нулю и сама матрица имеет вид

\left( \begin{array}{ccccc} 0 & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ -a_{13} & - a_{23} & 0 & \dots & a_{3n} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & - a_{3n} & \dots & 0 \end{array} \right) \ .

Произвольная кососимметричная матрица порядка n_{} однозначно задается своими

1+2+ \dots + (n-1) =\frac{n(n-1)}{2} \ ,

элементами, стоящими над главной диагональю (или под ней).

Определитель, ранг

Т

Теорема 1. Для алгебраических дополнений A_{jk}^{} элементов кососимметричной матрицы выполняются равенства

A_{jk}=(-1)^{n-1} A_{kj} \ .

Иными словами, матрица \tilde A_{} взаимная кососимметричной матрице A_{} будет симметричной при нечетном n_{} и кососимметричной при n_{} четном.

Т

Теорема 2. Определитель кососимметричной матрицы нечетного порядка равен нулю. Определитель кососимметричной матрицы четного порядка n_{} есть квадрат однородного полинома степени n/2_{} относительно его элементов.

Доказательство. На основании определения кососимметричной матрицы, имеем:

A=-A^{\top} \Rightarrow \det A = \det (-A^{\top})=(-1)^n \det A

(здесь мы воспользовались свойствами 1 и 4 определителя).

При n_{} нечетном из последнего равенства следует, что \det A = 0.

Пусть теперь n_{} — четно. Будем рассматривать кососимметричную матрицу B_{} четного порядка как полученную из кососимметричной матрицы A_{} нечетного порядка n-1_{} окаймлением:

B=\left( \begin{array}{cc} A & \begin{array}{l} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n-1,n} \end{array} \\ - a_{1n}, \ - a_{2n},\dots, - a_{n-1,n} & 0 \end{array} \right)

Тогда, на основании формулы для окаймленного определителя, теоремы 1, доказанного выше условия \det A = 0, а также тождества Сильвестра вытекает равенство:

\det B = - ( - a_{1n}, \ - a_{2n},\dots, - a_{n-1,n}) \tilde A \left( \begin{array}{l} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n-1,n} \end{array} \right)= \left( \sum_{k=1}^n \sqrt{A_{kk}} a_{kn} \right)^2 ;

в нем знак какого-то одного из корней, например, \sqrt{A_{11}} можно считать произвольным, а

\operatorname{sign} ( \sqrt{A_{kk}} ) = \operatorname{sign} \left( \frac{A_{k1}}{\sqrt{A_{11}} } \right)\quad npu \quad k>1 \ .

Таким образом, мы получили, что \sqrt{ \det B} является однородным полиномом первой степени относительно элементов последнего столбца определителя кососимметричной матрицы B_{} четного порядка n_{}. Однако же алгебраические дополнения A_{kk} представляют из себя также определители кососимметричных матриц порядка n-2 — тоже четного. К ним можно применить те же рассуждения и показать, что каждое выражение \sqrt{ A_{kk} } является однородным полиномом первой степени относительно последнего столбца этого минора. Индукция по n_{} завершит строгое доказательство.

П

Пример.

\left| \begin{array}{cc} 0 & a_{12} \\ -a_{12} & 0 \end{array} \right|=a_{12}^2 ; \ \left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \end{array} \right| =\left\{\begin{array}{l} (a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23})^2= \\ (a_{12}a_{34}+a_{13}a_{42}+a_{14}a_{23})^2 \end{array} \right\} \ ;
\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & \dots & a_{16} \\ -a_{12} & 0 & \dots & a_{26} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ -a_{16} & -a_{26} & \dots & 0 \end{array} \right|= \left(\begin{array}{ll} &a_{12}a_{34}a_{56}+a_{12}a_{35}a_{64}+a_{12}a_{36}a_{45}+ \\ &+a_{13}a_{45}a_{62}+a_{13}a_{46}a_{25}+a_{13}a_{42}a_{56}+ \\ &+a_{14}a_{56}a_{23}+a_{14}a_{52}a_{36}+a_{14}a_{53}a_{62}+ \\ &+a_{15}a_{62}a_{34}+a_{15}a_{63}a_{42}+a_{15}a_{64}a_{23}+ \\ &+a_{16}a_{23}a_{45}+a_{16}a_{24}a_{53}+a_{16}a_{25}a_{34} \end{array} \right)^2 \, .

=>

Обратная к кососимметричной матрице может существовать только в случае четности ее порядка, и, в случае ее существования, будет кососимметричной.

Т

Теорема 3 [2]. Ранг кососимметричной матрицы A_{} равен наивысшему порядку отличных от нуля ведущих миноров этой матрицы, т.е. миноров вида

A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \alpha_1 & \dots & \alpha_k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{\alpha_1 \alpha_1} & \dots & a_{\alpha_1 \alpha_k} \\ \dots & & \dots \\ a_{\alpha_k \alpha_1} & \dots & a_{\alpha_k \alpha_k} \end{array} \right|,

стоящих на пересечении строк и столбцов матрицы с одинаковыми номерами1).

=>

Ранг кососимметричной матрицы — четное число.

Характеристический полином

Т

Теорема 4. Характеристический полином \det (A_{}-\lambda E) вещественной кососимметричной матрицы A_{} не имеет вещественных корней, кроме, возможно, \lambda_{}=0.

Доказательство. Сначала проведем вычислительные эксперименты:

\left| \begin{array}{ccc} -\lambda & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & -\lambda & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & -\lambda \end{array} \right|=-\lambda(\lambda^2+a_{12}^2+a_{13}^2+a_{23}^2) ;\quad
\left| \begin{array}{cccc} -\lambda & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & -\lambda & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & -\lambda & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & -\lambda \end{array} \right|= \lambda^4+(a_{12}^2+a_{13}^2+a_{14}^2 +a_{23}^2+a_{24}^2+a_{34}^2)\lambda^2+ (a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23})^2 \ ;

для кососимметричной матрицы A_{} порядка 5_{}:

\det (A-\lambda E)=-\lambda \bigg(\lambda^4 + \lambda^2 \sum_{1\le j < k\le 5} a_{jk}^2+
+\underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23})^2}+ \underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ -a_{23} & 0 & a_{34} & a_{35} \\ -a_{24} & -a_{34} & 0 & a_{45} \\ -a_{25} & -a_{35} & -a_{45} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{23}a_{45}-a_{24}a_{35}+a_{25}a_{34})^2}+ \underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ -a_{13} & 0 & a_{34} & a_{35} \\ -a_{14} & -a_{34} & 0 & a_{45} \\ -a_{15} & -a_{35} & -a_{45} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{13}a_{45}-a_{14}a_{35}+a_{15}a_{34})^2}+
+\underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & a_{14} & a_{15} \\ -a_{12} & 0 & a_{24} & a_{25} \\ -a_{14} & -a_{24} & 0 & a_{45} \\ -a_{15} & -a_{25} & -a_{45} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{12}a_{45}-a_{14}a_{25}+a_{15}a_{24})^2}+ \underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{15} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{25} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{35} \\ -a_{15} & -a_{25} & -a_{35} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{12}a_{35}-a_{13}a_{25}+a_{15}a_{23})^2} \bigg) .

Видим, что характеристические полиномы являются четными или нечетными функциями от \lambda_{} в зависимости от четности порядка матрицы n_{}. Кроме того, их коэффициенты всегда одного знака. Такие полиномы не могут иметь вещественных корней, отличных от \lambda_{} = 0.

Для доказательства общего случая следует воспользоваться формулой представления характеристического полинома через миноры матрицы A_{}. Коэффициент при \lambda^{n-k} будет равен

(-1)^{n-k} \sum_{1\le j_1< j_2 < \dots < j_k\le n} \left|\begin{array}{llll} a_{j_1j_1}& a_{j_1j_2} & \dots & a_{j_1j_k}\\ a_{j_2j_1}& a_{j_2j_2} & \dots & a_{j_2j_k}\\ \vdots & & & \vdots \\ a_{j_kj_1}& a_{j_kj_2} & \dots & a_{j_kj_k} \end{array}\right|

и каждый минор под знаком суммы будет кососимметричным. На основании теоремы 2 он будет равен нулю при k_{} нечетном, и он будет положительным при k_{} четном.

П

Пример [3]. Характеристический полином матрицы

\left( \begin{array}{rrrcrr} 0 & a & 0 & \dots & 0 & 0 \\ -a & 0 & a & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -a & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -a & 0 \end{array} \right)_{n\times n}

равен

(-1)^n \left(\lambda^n+C_{n-1}^1a^2\lambda^{n-2}+C_{n-2}^2a^4\lambda^{n-4}+C_{n-3}^3a^6\lambda^{n-6}+\dots \right) \ .

При a=1 и \lambda=-1 из этой формулы и альтернативного способа вычисления трехдиагонального определителя следует формула, связывающая биномиальные коэффициенты с числами Фибоначчи:

\sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} C_{n-j}^j = C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+\dots = F_n \ .

Здесь \lfloor \ \ \ \rfloorцелая часть числа.

Линейное пространство матриц

Линейное пространство матриц порядка n раскладывается в прямую сумму подпространств симметричных и кососимметричных матриц, или, что то же, произвольная матрица A_{n\times n} представляется в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, причем такое представление однозначно:

A= \frac{1}{2}(A+A^{\top}) +\frac{1}{2}(A-A^{\top}) \, .

Если в пространстве квадратных матриц задать скалярное произведение формулой

\langle A,B \rangle = \operatorname{Sp} \left(A\cdot B^{\top} \right) = \sum_{j,k=1}^n a_{jk}b_{jk} \ ,

то подпространство кососимметричных матриц является ортогональным дополнением подпространства симметричных матриц.

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Нетто Е. Начала теорiи опредѣлителей. Mathesis. Одесса. 1912, cc.86-90

[2]. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974.

[3]. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. Часть I. М.-Л., ОНТИ, 1936, сс.47-50

1) В [2] эти миноры называются главными, но в настоящем ресурсе этот термин используется для другого объекта; см. замечание о терминологии ЗДЕСЬ.

2018/02/22 21:49 редактировал au