УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу РАНГ


Т

Теорема 2. Если каждый из рядов системы \{ A_1,\dots,A_n \} линейно выражается через ряды системы \{B_1,\dots,B_k \} и при этом во второй системе рядов меньше, чем в первой: k<n, то первая система будет л.з.

Доказательство проводится индукцией по k. Если k=1, то A_j=\gamma_j B_1 при j\in \{1,\dots,n\}. Если хоть один из рядов A_j — нулевой, то утверждение следует из пункта а) теоремы 1. Пусть все A_j\ne \mathbb O, тогда и \gamma_1 \ne 0. Имеем:

B_1=\frac{1}{\gamma_1}A_1 \ \Longrightarrow \ A_n=\gamma_nB_1= \frac{\gamma_n}{\gamma_1}A_1,

т.е. A_n линейно выражается через A_1. Из пункта в) теоремы 1 следует справедливость утверждения доказываемой теоремы.

Пусть утверждение справедливо для (k-1)-го рядов. Покажем его справедливость для k рядов. Пусть

\left\{ \begin{array}{lcc} A_1&=&\gamma_{11}B_1+\gamma_{12}B_2+\dots+\gamma_{1k}B_k, \\ \dots & &\dots \\ A_n&=&\gamma_{n1}B_1+\gamma_{n2}B_2+\dots+\gamma_{nk}B_k. \end{array} \right.

Пусть в этих равенствах хотя бы один коэффициент отличен от нуля, например, \gamma_{nk}\ne 0 (если это не так, перенумеруем ряды B_1,\dots,B_k). Тогда

B_k=\frac{1}{\gamma_{nk}} \left(A_n-\gamma_{n1}B_1-\dots- \gamma_{n,k-1}B_{k-1} \right) \, .

Подставляем это выражение в формулы для A_1,\dots,A_{n-1}:

\underbrace{A_j-\frac{\gamma_{jk}}{\gamma_{nk}}A_n}_{= A_j'}= \left(\gamma_{j1}-\frac{\gamma_{n1}\gamma_{jk}}{\gamma_{nk}} \right)B_1+\dots+ \left(\gamma_{j,k-1}-\frac{\gamma_{n,k-1}\gamma_{jk}}{\gamma_{nk}} \right)B_{k-1} \quad

при j\in \{1,\dots,n-1\}. Ряды A_1',\dots, A_{n-1}' линейно выражаются через ряды B_1,\dots,B_{k-1}. По индукционному предположению система \{ A_1',\dots,A_{n-1}' \} линейно зависима, т.е. существуют не все равные нулю константы \alpha_1,\dots,\alpha_{n-1} такие, что

\alpha_1A_1'+ \dots +\alpha_{n-1}A_{n-1}'=\mathbb O \ \Longrightarrow
\alpha_1A_1+ \dots +\alpha_{n-1}A_{n-1}+\alpha_{n}A_{n}=\mathbb O \quad npu \quad \alpha_{n}= -\alpha_1\frac{\gamma_{1k}}{\gamma_{nk}}-\dots- \alpha_{n-1}\frac{\gamma_{n-1,k}}{\gamma_{nk}} \, .

Следовательно, система \{ A_1,\dots,A_n \} линейно зависима.


2019/03/06 10:32 редактировал au