УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу РАНГ МАТРИЦЫ


Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы: обоснование

Т

Теорема [Кронекер]. Если матрица A_{} имеет некоторый минор порядка \mathfrak r отличным от нуля, а все окаймляющие этот минор миноры порядка \mathfrak r+1 равны нулю, то \operatorname{rank} (A) =\mathfrak{r}.

Доказательство I . Докажем сначала, что если матрица

A=\left( \begin{array}{llcl} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots &&& \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array} \right)_{m\times n}

имеет минор порядка \mathfrak{r}_{}, отличный от нуля, для которого все окаймляющие его миноры порядка \mathfrak{r}+1 равны нулю, то ранг системы ее столбцов равен \mathfrak{r}_{}, и ранг системы ее строк равен \mathfrak{r}_{}. Предположим сначала, что \mathfrak r<\min \{m,n\}. Для определенности также предположим, что отличен от нуля минор, стоящий в левом верхнем углу матрицы:

\Delta = A\left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & \dots & \mathfrak{r} \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak{r} \end{array} \right)= \left| \begin{array}{llcl} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 \mathfrak{r}} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 \mathfrak{r}} \\ \dots &&& \dots \\ a_{\mathfrak{r} 1} & a_{\mathfrak{r} 2} & \dots & a_{\mathfrak{r} \mathfrak{r}} \end{array} \right| \ne 0 \ .

Тогда столбцы матрицы A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]} линейно независимы. Действительно, если предположить, что

\alpha_1 A_{[1]}+\dots+ \alpha_{\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}=\mathbb O_{m\times 1}

при каком-то \alpha_j \ne 0, то это же соотношение должно выполняться и для столбцов определителя \Delta:

\alpha_1 \left(\begin{array}{l} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right)+\dots+ \alpha_{\mathfrak r} \left(\begin{array}{l} a_{1 \mathfrak r} \\ \vdots \\ a_{m \mathfrak r } \end{array} \right)=\mathbb O_{m\times 1} \, .

Определитель не изменится если к его j-му столбцу прибавить k-й, умноженный на \alpha_k/\alpha_j. Проделаем эту операцию со всеми столбцами с номерами k\in \{1,\dots,j-1,j+1,\dots, \mathfrak r \}. В получившемся определителе j-й столбец становится нулевым, и, следовательно, \Delta = 0, что противоречит условию.

Пусть равны нулю все миноры порядка \mathfrak{r}+1, окаймляющие \Delta. Покажем, что любой столбец A_{[q]} матрицы при q\in \{\mathfrak{r}+1, \dots, n \} линейно выражается через A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]}. Иными словами, существует решение у системы уравнений.

\left\{ \begin{array}{crl} a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}q}, \\ a_{\mathfrak{r}+1,1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}+1,\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}+1,q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{m1}x_1+\dots+a_{m\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{mq}. \end{array} \right.

Рассмотрим сначала подсистему этой системы, состоящую из первых \mathfrak r уравнений:

\left\{ \begin{array}{crr} a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}q} \, . \end{array} \right.

Эта подсистема совместна и имеет единственное решение поскольку определитель матрицы, состоящей из коэффициентов левых частей, по условию, отличен от нуля. Это решение выписывается с помощью формул Крамера в виде

x_1=\frac{\left| \begin{array}{llll} a_{1q}& a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\ a_{2q} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}q} & a_{2q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} \end{array} \right|}{\Delta}, \ x_2=\frac{\left| \begin{array}{llll} a_{11}& a_{1q} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\ a_{21} & a_{2q} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} \end{array} \right|}{\Delta},\dots, x_{\mathfrak{r}}= \frac{\left| \begin{array}{llll} a_{11}& a_{12} & \dots & a_{1q} \\ a_{21} & a_{22} & & a_{2q} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}2} & \dots & a_{\mathfrak{r}q} \end{array} \right|}{\Delta}\ .

Докажем, что этот же набор удовлетворяет и оставшимся уравнениям исходной системы, т.е.

a_{s1}x_1+\dots+a_{s\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} =a_{sq} \ \quad npu \quad \forall s \in \{ \mathfrak r+1,\dots, m \} \ .

Подставляем выражения для x_1,\dots, x_{\mathfrak r} и домножаем на \Delta:

a_{sq} \Delta-a_{s\mathfrak r} \left| \begin{array}{lllll} a_{11}& a_{12} & \dots & a_{1,\mathfrak{r}-1} & a_{1q} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,\mathfrak{r}-1} & a_{2q} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}2} & \dots & a_{\mathfrak{r},\mathfrak{r}-1} & a_{pq} \end{array} \right|- a_{s,\mathfrak r-1} \left| \begin{array}{llll} a_{11}& \dots & a_{1q} & a_{1\mathfrak{r}} \\ a_{21} & \dots & a_{2q} & a_{2\mathfrak{r}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & \dots & a_{pq} & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} \end{array} \right|-\dots- a_{s1}\left| \begin{array}{llll} a_{1q}& a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\ a_{2q} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}q} & a_{2q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} \end{array} \right| \ .

Нужно доказать, что получившееся выражение равно 0_{}. Переставив столбец [ a_{1q},a_{2q},\dots,a_{\mathfrak{r}q} ]^{\top} в конец каждого определителя (последовательными перестановками с соседними правыми столбцами, чтобы не менять порядок следования остальных столбцов), убеждаемся, что это выражение представляет собой разложение определителя

\left| \begin{array}{llll} a_{11}& \dots & a_{1\mathfrak{r}} & a_{1q} \\ a_{21}& \dots & a_{2\mathfrak{r}} & a_{2q} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} & a_{\mathfrak{r}q} \\ a_{s1} & \dots & a_{s\mathfrak{r}} & a_{sq} \end{array} \right|

по последней строке. Этот определитель равен 0_{} по условию.

Поскольку предшествующие рассуждения были справедливы для любого значения s \in \{ \mathfrak r+1,\dots, m \}, то утверждаем, что полученными значениями переменных x_1,\dots,x_{\mathfrak{r}} удовлетворяется любое уравнение системы

\left\{ \begin{array}{crl} a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}q}, \\ a_{\mathfrak{r}+1,1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}+1,\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}+1,q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{m1}x_1+\dots+a_{m\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{mq}. \end{array} \right.

Но это означает, что q_{}-й столбец матрицы A_{} является линейной комбинацией первых \mathfrak{r} столбцов этой матрицы. Поскольку это утверждение справедливо для любого значения q \in \{ \mathfrak r+1,\dots, n \}, то заключаем (теорема 3 ЗДЕСЬ) , что ранг системы столбцов матрицы A_{} равен \mathfrak r_{} и для этой системы подсистема \{A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]} \} является базисной.

Докажем теперь, что любой минор матрицы A порядка \mathfrak r+1 равен нулю. Возьмем минор, стоящий в строках матрицы A с номерами \alpha_{1} < \dots < \alpha_{\mathfrak r} < \alpha_{\mathfrak r +1 } и в столбцах матрицы с номерами \beta_{1} < \dots < \beta_{\mathfrak r} < \beta_{\mathfrak r +1 }:

\Delta^{\prime}=\left| \begin{array}{llll} a_{\alpha_1 \beta_1}& \dots & a_{\alpha_1 \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_1 \beta_{\mathfrak r+1}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_1}& \dots & a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_{\mathfrak r+1}} \\ a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_1}& \dots & a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_{\mathfrak r+1}} \end{array} \right| \, .

Обозначим j-й столбец матрицы A, в котором оставлены только элементы из указанных строк, через A_{[j]}^{\prime}:

A_{[j]}^{\prime} = \left(\begin{array}{l} a_{\alpha_1 j} \\ \vdots \\ a_{\alpha_{\mathfrak r} j} \\ a_{\alpha_{\mathfrak r+1} j} \end{array} \right) \, .

Тогда

\Delta^{\prime}=\det [ A_{[\beta_1]}^{\prime},\dots, A_{[\beta_{\mathfrak r+1}]}^{\prime} ]

и столбцы этого определителя линейно выражаются через \{A_{[1]}^{\prime},\dots, A_{[\mathfrak r]}^{\prime} \}:

\begin{array}{lll} A_{[\beta_1]}^{\prime}&=& \alpha_{11} A_{[1]}^{\prime}+ \dots + \alpha_{1\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}^{\prime}, \\ \dots & & \dots, \\ A_{[\beta_{\mathfrak r+1}]}^{\prime}&=& \alpha_{\mathfrak r+1,1} A_{[1]}^{\prime}+ \dots + \alpha_{\mathfrak r+1,\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}^{\prime} . \end{array}

Имеем,

\Delta^{\prime}=\det \left( [ A_{[1]}^{\prime},\dots, A_{[{\mathfrak r}]}^{\prime} ] \cdot \left[ \begin{array}{llll} \alpha_{11} & \alpha_{21} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,1} \\ \alpha_{12} & \alpha_{22} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,2} \\ \vdots & & & \vdots \\ \alpha_{1\mathfrak r} & \alpha_{2\mathfrak r} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,\mathfrak r} \end{array} \right] \right) = 0

по теореме Бине-Коши.

Вывод аналогичного утверждения для строк матрицы проводится применением тех же рассуждений к матрице A_{}^{\top}, где \top_{} означает транспонирование. Ненулевой минор остается на том же месте — в левом верхнем углу матрицы, поскольку его значение при транспонировании не меняется.

Доказательство теоремы для случая \mathfrak r=\min \{m,n\} проводится небольшой модификацией предыдущего: здесь достаточно рассмотреть либо только строки матрицы, либо ее столбцы.


Доказательство II (оригинальное Кронекера) проиллюстрируем на примере квадратной матрицы порядка n= 5. Пусть

A=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{array} \right) \quad u \quad \Delta= \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \ne 0 \, .

Составим определители 4-го порядка:

D_{jk}= \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2k} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3k} \\ a_{j1} & a_{j2} & a_{j3} & a_{jk} \\ \end{array} \right| \ne 0 \, .

Очевидно D_{jk}=0 если хотя бы одно из чисел j или k не превосходит 3; если же оба числа больше 3, то D_{jk} представляет минор матрицы A_{}, окаймляющий \Delta. Вычислим величины

c_{jk}=a_{jk}\Delta-D_{jk}=- \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2k} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3k} \\ a_{j1} & a_{j2} & a_{j3} & 0 \\ \end{array} \right|

разложением определителя по последней строке:

=-\sum_{\ell=1}^3 a_{j\ell} b_{\ell k} ;

здесь b_{\ell k} означает алгебраическое дополнение к элементу a_{j \ell} из последней строки. Так, к примеру,

c_{11}=-\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 \\ \end{array} \right|

и

b_{11}=- \left|\begin{array}{ccc} a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{22} & a_{23} & a_{21} \\ a_{32} & a_{33} & a_{31} \end{array} \right| = - \Delta,\ b_{21}= \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} & a_{11} \\ a_{21} & a_{23} & a_{21} \\ a_{31} & a_{33} & a_{31} \end{array} \right|=0,\ b_{31}=-\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{11} \\ a_{21} & a_{22} & a_{21} \\ a_{31} & a_{32} & a_{31} \end{array} \right|=0 \, .

Аналогично:

b_{12}=0,b_{22}=-\Delta,b_{32}=0

и

b_{13}=0,b_{23}=0,b_{33}=-\Delta ;

но выражения для b_{\ell k} при k>3 будут уже нетривиальными:

b_{14}=- \left|\begin{array}{ccc} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right|, \dots , b_{35}=- \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & a_{35} \end{array} \right| \, .

Очевидно

b_{\ell k} = \delta_{\ell k } \Delta \quad npu \quad k \le 3 ;

здесь \delta_{\ell k }символ (всё того же) Кронекера.

Составим из элементов c_{jk} квадратную матрицу:

C= \left(\begin{array}{ccccc} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} & c_{35} \\ c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44} & c_{45} \\ c_{51} & c_{52} & c_{53} & c_{54} & c_{55} \end{array} \right) ;

формула c_{jk}=-\sum_{\ell=1}^3 a_{j\ell} b_{\ell k} равносильна представимости этой матрицы в виде произведения:

C=- \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0 & 0 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & 0 & 0 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ccccc} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} & b_{15} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} & b_{25} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\, .

Из этого представления следует, что ранг матрицы C не превосходит 3 (см., к примеру, следствие к теореме 6 ЗДЕСЬ ). Следовательно, все миноры порядка 4 этой матрицы равны нулю.

Если теперь дополнительно предположить, что \Delta\ne 0, а все окаймляющие этот минор миноры D_{jk} четвертого порядка матрицы A равны нулю, то c_{jk}=a_{jk}\Delta и C= \Delta A. По доказанному выше, все миноры четвертого порядка матрицы A равны нулю.

Мне интересно было вывести аналитическую связь между окаймляющими минорами порядка \mathfrak r+1 и произвольными минорами того же порядка. Вот, что получилось.

Пусть, к примеру,

A=\left( \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right), \operatorname{rank}(A)=2 \quad u \quad \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|\ne 0 \ .

Покажем, что при условии

A_4 = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| =0,\ A_3 = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{array} \right| =0

будет иметь место

A_1 = \left| \begin{array}{lll} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right| =0,\ A_2 = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right|=0;

т.е. из того факта, что в нуль обращаются окаймляющие миноры будет автоматически следовать обращение в нуль всех миноров третьего порядка.

Составим вспомогательную квадратную матрицу

\widehat{A}= \left( \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

и применим к ней теорему о сумме произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки. Выберем пары строк первая - четвертая, вторая - четвертая, получим:

\left\{\begin{array}{rc} a_{11}A_{1}-a_{12}A_{2}+a_{13}A_{3}-a_{14}A_{4}&=0, \\ -a_{21}A_{1}+a_{22}A_{2}-a_{23}A_{3}+a_{24}A_{4}&=0 . \end{array} \right.

По предположению, A_3=0, A_4=0, тогда получаем систему линейных однородных уравнений относительно A_1, A_2:

\left\{\begin{array}{rc} a_{11}A_{1}-a_{12}A_{2}&=0, \\ -a_{21}A_{1}+a_{22}A_{2}&=0. \end{array} \right.

Опять же, по предположению,

\left| \begin{array}{rr} a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{22} \end{array} \right|= \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|\ne 0.

Но тогда такая система имеет только тривиальное решение: A_1=0, A_2=0.

Пусть теперь

A=\left( \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \end{array} \right), \operatorname{rank}(A)=2 \quad u \quad \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|\ne 0 \ .

Выбирая подматрицы порядка 3\times 4, содержащие первый два столбца, мы придем к предыдущему случаю; как следствие, все миноры третьего порядка, содержащие хотя бы один из столбцов — первый или второй — матрицы, должны обращаться в нуль. Рассмотрим теперь матрицу

\widehat{B}= \left( \begin{array}{llll} a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

и применим к ней ту же самую теорему об алгебраических дополнениях, выбрав в ней пару строк первая - четвертая:

a_{12} \left| \begin{array}{lll} a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{33} & a_{34} & a_{35} \end{array} \right|-a_{13} \left| \begin{array}{lll} a_{12} & a_{14} & a_{15} \\ a_{22} & a_{24} & a_{25} \\ a_{32} & a_{34} & a_{35} \end{array} \right|+a_{14} \left| \begin{array}{lll} a_{12} & a_{13} & a_{15} \\ a_{22} & a_{23} & a_{25} \\ a_{32} & a_{33} & a_{35} \end{array} \right|- a_{12} \left| \begin{array}{lll} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right|=0.

Три последних минора равны нулю по доказанному выше, следовательно должен быть равен нулю или элемент a_{12} или минор

\left| \begin{array}{lll} a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{33} & a_{34} & a_{35} \end{array} \right| ,

не содержащий вовсе элементов первых двух столбцов матрицы A. Если этот минор все же отличен от нуля, то, применяя только что приведенные рассуждения к матрице

\widehat{\widehat{B}}= \left( \begin{array}{llll} a_{11} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ,

приходим к выводу, что a_{11}=0. Но в этом случае

\left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=0,

что противоречит предположению.

Источники

[1]. Kronecker L. Bemerkungen zur Determinanten-Theorie. J. reine angew. Math. Bd. 72, 1870, S. 152-175


2019/12/06 13:44 редактировал au