УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Ранг

!

Ранг — это неотрицательное целое число!

Понятие ранга возникает естественным образом при решении систем линейных уравнений.

П

Пример. Решить систему уравнений

\left\{ \begin{array}{rrrl} 2x_1&-3x_2&-x_3=&3 \\ 4x_1&-3x_2&-5x_3=&6 \\ 6x_1&-6x_2&-6x_3=&9. \end{array} \right.

Наблюдательный читатель сразу обратит внимание на «излишнесть» последнего уравнения: оно получается суммой двух первых, т.е. является их следствием. Таким образом, это уравнение можно спокойно выбросить из системы без ущерба для задачи. Приведенный пример тривиален, ситуации могут оказаться не такими очевидными.

П

Пример. Решить систему уравнений

\left\{ \begin{array}{rrrrl} x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\ 2x_1&+3x_2&+x_3&+x_4&=1 \\ 3x_1&+2x_2&+x_3&-x_4&=1 \\ 2x_1&+2x_2&+2x_3&-x_4&=1 \\ 5x_1&+5x_2&+2x_3& &=2. \\ \end{array} \right.

Система является переопределенной: число неизвестных меньше числа определяющих их уравнений. Как правило, подобные системы решений не имеют (несовместны). Попробуем убедиться в этом применив для решения системы метод Гаусса.

\rightarrow \left\{ \begin{array}{rrrrr} x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\ &-x_2&-5x_3&+3x_4&=-1 \\ &-4x_2&-8x_3&+2x_4&=-2 \\ &-2x_2&-4x_3&+x_4&=-1 \\ &-5x_2&-13x_3&+5x_4 &=-3 \\ \end{array} \right. \quad \rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{rrrrr} x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\ &-x_2&-5x_3&+3x_4&=-1 \\ &&12x_3&-10x_4&=2 \\ &&6x_3&-5x_4&=1 \\ &&12x_3&-10x_4 &=2 \\ \end{array} \right.

Получившаяся система эквивалентна исходной (либо обе несовместны, либо обе имеют одинаковые решения). Однако в новой системе очевидно три последних уравнения фактически совпадают, и, таким образом, два из них можно безнаказанно выбросить из системы, не испортив ее множество решений. Получается, что исходная переопределенная система на самом деле «маскирует» систему «недоопределенную»:

\left\{ \begin{array}{rrrrr} x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4=&1 \\ &-x_2&-5x_3&+3x_4=&-1 \\ &&6x_3&-5x_4=&1, \end{array} \right.

состоящую из уравнений в количестве меньшем, чем определяемые ими неизвестные. Как правило, такие системы совместны и имеют бесконечное множество решений. Так оно и получается в нашем примере. Фактически, мы привели уже систему к трапециевидному виду и осталось только извлечь из этого вида все множество решений обратным ходом метода Гаусса. Ответом в примере является множество1)

x_1=\frac{1+5t}{6}, x_2=\frac{1-7t}{6}, x_3=\frac{1+5t}{6},x_4=t \quad npu \quad \forall t \in \mathbb R \ .

Мы однако, обратим сейчас внимание на другое обстоятельство. Оказалось, что исходная система может быть сокращена на «излишние» уравнения — без ущерба для ее множества решений. Похоже, что в этой системе «реальных» уравнений всего три, а два оставшихся должны являться их следствиями. Так оно и есть: если сложить первое и третье уравнения системы, то поучится удвоенное четвертое, а если сложить второе и третье — получится пятое. Вывод: четвертое и пятое уравнения системы оказываются лишними.

Задача. Для заданной системы линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ \ldots&+a_{mn}x_n &=b_m. \end{array} \right.

определить сколько в ней будет существенных уравнений.

Это искомое число и будет называться рангом. На самом деле, поставленная задача тут же усложняется: во-первых, интересует какие именно уравнения можно из системы выбросить, а какие нельзя, и, во-вторых, сколькими параметрами можно описать множество решений этой системы — если это множество бесконечно (как было в предыдущем примере). Оказывается, на оба эти вопроса тоже помогает ответить понятие ранга — как некоторой целочисленной характеристики системы уравнений.

К тому же понятию можно подойти с другой стороны.

П

Пример. Рассмотрим систему из последнего примера и перепишем ее в виде:

x_1 \underbrace{\left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)}_{A_{[1]}} + x_2 \underbrace{\left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)}_{A_{[2]}}+ x_3 \underbrace{\left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)}_{A_{[3]}} + x_4 \underbrace{\left( \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)}_{A_{[4]}} = \underbrace{\left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right)}_{\mathcal B} \ .

Задачу решения системы уравнений можно переформулировать «на языке столбцов»: при заданных столбцах A_{[1]}, A_{[2]}, A_{[3]}, A_{[4]} и {\mathcal B} подобрать такие числа x_1,x_2,x_3,x_4 чтобы сумма x_1 A_{[1]}+ x_2 A_{[2]}+ x_3 A_{[3]}+ x_4 A_{[4]} оказалась равной {\mathcal B}. Хотя это и нелегко увидеть, но тем не менее можно формально проверить, что столбец A_{[1]} можно выразить через A_{[2]}, A_{[3]}, A_{[4]} по формуле:

A_{[1]} =\frac{7}{5}A_{[2]}- A_{[3]}- \frac{6}{5}A_{[4]} \ .

В результате система уравнений переписывается в виде

\left( x_2 + \frac{7}{5} x_1 \right) A_{[2]} + \left( x_3 - x_1 \right) A_{[3]}+ \left( x_4 - \frac{6}{5} x_1 \right) A_{[4]} = \mathcal B \ ,

и получается, что она реально содержит только 3 переменные, именно

y_2= x_2 + \frac{7}{5} x_1,\ y_3=x_3 - x_1, \ y_4 = x_4 - \frac{6}{5} x_1 .

Если новая система

y_2A_{[2]} + y_3 A_{[3]}+ y_4 A_{[4]}= \mathcal B

имеет хотя бы одно решение относительно неизвестных y_2,y_3,y_4, то исходная система тоже будет совместной и иметь бесконечное число решений (за счет того, что при обратном переходе к неизвестным x_1, x_2, x_3, x_4 появляется неоднозначность за счет отсутствия ограничений на x_1).

Задача. Для заданной системы линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ \ldots&+a_{mn}x_n &=b_m. \end{array} \right.

определить сколько в ней будет существенных неизвестных.

Это искомое число тоже будет называться рангом. Единство в названии разных объектов оказывается оправданным: это два подхода к одному и тому же понятию (в приведенных выше решениях примера именно так и оказалось — число существенных уравнений системы совпало с числом существенных переменных).

Для доказательства этого факта обратим сначала внимание на то обстоятельство, что мы, фактически действовали над коэффициентами системы уравнений, привлекая переменные только на самом последнем этапе. Так, в первом решении мы действовали только над строками матрицы коэффициентов, а во втором решении — только над ее столбцами.

Ранг системы строк (столбцов)

§

В настоящем и последующих пунктах мы будем рассматривать примеры и формулировать утверждения, ориентируясь на случай вещественных чисел, в частности, коэффициенты уравнений и искомые решения будем представлять во множестве \mathbb R_{}. Следует понимать, что все результаты будут справедливыми и для случая комплексных чисел.

§

В настоящем пункте мы, на время, отвлечемся от систем уравнений и рассмотрим множества строк ( 1 \times N-матриц) и столбцов (N\times 1-матриц) с числовыми (вещественными) элементами. Поскольку принципиальная разница между этими двумя объектами несущественна, мы будем говорить обобщенно о рядах, имея в виду каждый раз что-то определенное: либо строки A^{[1]}, A^{[2]},\dots либо столбцы A_{[1]}, A_{[2]}, \dots

Рассмотрим систему2) n_{} рядов (строк или столбцов)

\{ A_1,\dots,A_n \} \ .

Выражение

\alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n

при фиксированных числах \alpha_1,\dots,\alpha_n называется линейной комбинацией рядов A_1,\dots,A_n. Множество всевозможных линейных комбинаций рядов A_1,\dots,A_n называется их линейной оболочкой:

\mathcal L(A_1,\dots,A_n)=\left\{ \alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n \ \big| \ \{\alpha_1,\dots,\alpha_n\} \subset \mathbb R \right\}.

Система рядов \{ A_1,\dots,A_n \} называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа \alpha_1,\dots,\alpha_n, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что

\alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n=\mathbb O \ .

Если же последнее равенство возможно только при \alpha_1=0,\dots, \alpha_n=0, то система рядов называется линейно независимой (л.н.з.).

Т

Теорема 1. а) Если система \{ A_1,\dots,A_n \} содержит хотя бы один нулевой ряд, то она л.з.

б) Если система \{ A_1,\dots,A_n \} л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При n>1 система \{ A_1,\dots,A_n \} л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее ряд линейно выражается через остальные, т.е. существуют j\in \mathbb N и константы \gamma_1,\dots,\gamma_{j-1}, \gamma_{j+1},\dots,\gamma_{n} такие, что

A_j=\gamma_1A_1+\dots+\gamma_{j-1}A_{j-1}+ \gamma_{j+1}A_{j+1}+\dots + \gamma_{n}A_{n} \ .
П

Пример. Найти все значения параметра \lambda, при которых строка B=(7,-2,\lambda) выражается через строки

A_1=(2,3,5),\ A_2=(3,7,8),\ A_3=(1,-6,1) \ .

Решение. Составим уравнение B=\gamma_1A_1+\gamma_2A_2+\gamma_3A_3 и попытаемся подобрать неопределенные параметры \gamma_j ему удовлетворяющие.

\left\{ \begin{array}{rrrrr} 2\gamma_1&+3\gamma_2&+\gamma_3=&7 \\ 3\gamma_1&+7\gamma_2&-6\gamma_3=&-2 \\ 5\gamma_1&+8\gamma_2&+\gamma_3=&\lambda \end{array}\right.

Мы получили систему линейных уравнений для определения неизвестных постоянных \gamma_1,\gamma_2, \gamma_3. Решаем ее по методу Гаусса:

\left\{ \begin{array}{rrrrc} \gamma_1&+4\gamma_2&-7\gamma_3=&-9, \\ &\gamma_2&-3\gamma_3=&-5, \\ &&0=&\lambda-15. \end{array}\right.

Последнее уравнение обращается в истинное равенство только при \lambda=15. При этом значении параметра система уравнений будет совместна. Например, одним из решений будет \gamma_1=6, \gamma_2=-2,\gamma_3=1.

Ответ. \lambda=15.

Т

Теорема 2. Если каждый из рядов системы \{ A_1,\dots,A_n \} линейно выражается через ряды системы \{B_1,\dots,B_k \} и при этом во второй системе рядов меньше, чем в первой: k<n, то первая система будет л.з.

Рангом системы рядов \{ A_1,\dots,A_n \} называется число рядов в ее максимальной линейно независимой подсистеме:

\mathfrak{r}=\operatorname{rank} \{ A_1,\dots,A_n \}\ ;

дополнительно полагают, что ранг системы, состоящей только из нулевых рядов, равен нулю:

\operatorname{rank} \{\mathbb O,\dots,\mathbb O\} = 0 \ .
Т

Теорема 3. Ранг системы рядов \{ A_1,\dots,A_n \} равен \mathfrak{r}\ge 1 тогда и только тогда, когда в этой системе существует \mathfrak{r} линейно независимых рядов, через которые выражается каждый ряд системы.

Эта теорема позволяет дать другое определение ранга.

Рангом системы рядов \{ A_1,\dots,A_n \} называется число \mathfrak{r}_{} таких линейно независимых рядов системы, через которые линейно выражается каждый ряд системы. Любая совокупность \mathfrak{r} линейно независимых рядов системы \{ A_1,\dots,A_n \} ранга \mathfrak{r}\ne 0 называется базисом этой системы.

Т

Теорема 4. При фиксированном базисе системы \{ A_1,\dots,A_n \} любой ряд из ее линейной оболочки \mathcal L(A_1,\dots,A_n) представúм в виде линейной комбинации базисных рядов и такое представление единственно.

Доказательство первой части тривиально. Докажем единственность представления. Предположим, для упрощения записи индексов, что базисными рядами являются первые \mathfrak r_{} рядов системы, т.е. \{A_1,\dots, A_{\mathfrak r_{}} \}. Если какой-то ряд X \in \mathcal L(A_1,\dots,A_n) имеет два представления в виде линейной комбинации базисных рядов:

X=x_1A_1+\dots+ x_{\mathfrak r_{}}A_{\mathfrak r_{}}=y_1A_1+\dots+ y_{\mathfrak r_{}}A_{\mathfrak r_{}} \ ,

то получаем

(x_1-y_1)A_1+\dots+ (x_{\mathfrak r_{}}-y_{\mathfrak r_{}})A_{\mathfrak r_{}}= \mathbb O .

Первая возможность: ряды \{A_1,\dots, A_{\mathfrak r_{}} \} линейно зависимы, но тогда это противоречит предположению. Следовательно, остается единственная возможность:

x_1=y_1,\dots, x_{\mathfrak r_{}}=y_{\mathfrak r_{}} \ .

Представление ряда X \in \mathcal L(A_1,\dots,A_n) в виде линейной комбинации базисных рядов \{A_{j_1},\dots, A_{j_{\mathfrak r_{}}} \} называется разложением ряда по данному базису; числа из линейной комбинации

X= x_1A_{j_1}+\dots+ x_{\mathfrak r_{}} A_{j_{\mathfrak r_{}}}

называются координатами ряда X_{} в данном базисе. Предыдущая теорема утверждает, что при фиксированном базисе, координаты любого ряда X \in \mathcal L(A_1,\dots,A_n) определяются единственным образом. Справедливо и обратное: задав набор (ряд) чисел \{x_j\} в количестве, совпадающем с количеством базисных рядов, мы однозначно определим ряд из \mathcal L(A_1,\dots,A_n).

Т

Теорема 5. Любую линейно независимую подсистему

\{ A_{i_1},A_{i_2},\dots,A_{i_k} \}

системы рядов \{ A_1,\dots,A_n \} можно дополнить до базиса этой системы.

П

Пример. Найти какой-нибудь базис системы строк

A_1=(5,2,-3,1),\ A_2=(4,1,-2,3),\ A_3=(1,1,-1,-2),\ A_4=(3,4,-1,2)

и все строки системы, не входящие в этот базис, выразить через базисные.

Решение. Воспользуемся предыдущей теоремой. Строка A_1 ненулевая, возьмем ее в качестве первой строки искомого базиса и попытаемся дополнить оставшимися строками до базиса. Если \operatorname{rank}=1, то все оставшиеся строки должны линейно выражаться через A_1, в частности A_2=\gamma A_1 при подходящем числе \gamma. Однако система линейных уравнений

4=5 \gamma,\ 1=2\gamma,\ -2=-3\gamma,\ 3=\gamma

несовместна, так что предположение неверно. Итак, \mathfrak{r}>1 и строки A_1,A_2 л.н.з.

Если \operatorname{rank}=2, то строки A_3,A_4 должны линейно выражаться через A_1,A_2. Из двух составленных систем уравнений:

\left\{ \begin{array}{rrrr} 5\gamma_1&+4\gamma_2=&1 \\ 2\gamma_1&+\ \gamma_2=&1 \\ -3\gamma_1&-2\gamma_2=&-1 \\ \ \gamma_1&+3\gamma_2=&-2 \end{array}\right. \quad u \quad \left\{ \begin{array}{rrrr} 5\gamma_1&+4\gamma_2=&3 \\ 2\gamma_1&+\ \gamma_2=&4 \\ -3\gamma_1&-2\gamma_2=&-1 \\ \ \gamma_1&+3\gamma_2=&2 \end{array}\right.

первая совместна и имеет решение \gamma_1=1,\gamma_2=-1; вторая же несовместна. Итак, \operatorname{rank} >2 и строки A_1,A_2,A_4 л.н.з.

В системе осталась только одна строка A_3, но поскольку уже установлена ее линейная зависимость от A_1,A_2, то ее включение в уже построенную подсистему не может увеличить ранга.

Ответ. Базис системы составляют, например, строки A_1,A_2,A_4; при этом A_3=A_1-A_2.

Установим теперь, какие действия над системой не изменяют ее ранга.

Т

Теорема 6. Если систему дополнить рядом, линейно выражающимся через ряды системы, то ранг системы не изменится. Точно так же ранг системы не меняется при удалении ряда, линейно выражающегося через остальные ряды системы.

=>

Если каждый из рядов системы \{ A_1,\dots,A_n \} линейно выражается через ряды системы \{B_1,\dots,B_k \}, то

\operatorname{rank} \{ A_1,\dots,A_n \}\le \operatorname{rank} \{ B_1,\dots,B_k \} \, .


Результат последней теоремы можно усилить, введя следующее определение.

Элементарными преобразованиями системы рядов называются следующие

  • перестановка местами двух любых рядов;
  • умножение ряда на число c\ne 0;
  • прибавление к одному ряду любого другого ряда.
Т

Теорема 7. Элементарные преобразования не меняют ранга системы рядов.

Ранг матрицы

определяется для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы A_{} как наибольший порядок ее отличных от нуля миноров. Иначе говоря: \operatorname{rank} (A)_{} ={\mathfrak r}\in {\mathbb N} тогда и только тогда, когда существует ее минор порядка {\mathfrak r}_{}, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю. Кроме того, полагают: \operatorname{rank} ({\mathbb O}_{m\times n}) = 0_{}.

Матрицу A_{} порядка m\times n_{} можно рассматривать как состоящую из набора своих строк или набора своих столбцов. Так, например:

A= \left[ A_{[1]}\mid A_{[2]} \mid \dots \mid A_{[m]} \right] \quad npu \quad A_{[j]}=\left(\begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right) \ ;

здесь \mid_{} означает конкатенацию. Следующий результат связывает ранг матрицы с рангом системы составляющих ее рядов (строк или столбцов).

Т

Теорема. Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (и рангу системы ее столбцов).

Метод окаймляющих миноров

Очевидно, что если все миноры порядка \mathfrak{r}+1 для матрицы A_{m \times n} равны нулю, то и все миноры бóльшего порядка должны быть равны нулю. Но, оказывается, для проверки условия \operatorname{rank} (A) =\mathfrak{r} нет необходимости вычислять и все миноры порядка \mathfrak{r}+1.

Для произвольного минора матрицы A_{} порядка k< \min (m,n)

A\left( \begin{array}{llll} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_k \end{array} \right) \ npu \quad \left\{\begin{array}{lllll} 1\le &\alpha_1 <&\alpha_2 <& \dots < \alpha_k & \le m \\ 1\le &\beta_1 <&\beta_2 <& \dots < \beta_k & \le n. \end{array} \right.

его окаймляющим минором называется минор (k+1)_{}-го порядка, получающийся приписыванием еще одной строки и одного столбца:

A\left( \begin{array}{lllll} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_k & \alpha_{k+1}\\ \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_k & \beta_{k+1} \end{array} \right)\ npu \quad \alpha_{k+1}\ne \alpha_{j}, \beta_{k+1}\ne \beta_{j} \ .
П

Пример. Для 6\times 7-матрицы окаймление минора с элементами, выделенными зелеными звездами ( т.е. при \alpha_1=2, \alpha_2=3 , \alpha_3=6,\ \beta_1=3,\beta_2=4,\beta_3=6),

возможно любым из способов, отраженным на схеме красными квадратами:

Т

Теорема [Кронекер]. Если матрица A_{} имеет некоторый минор порядка \mathfrak r отличным от нуля, а все окаймляющие этот минор миноры порядка \mathfrak r+1 равны нулю, то \operatorname{rank} (A) =\mathfrak{r}.

Доказательство ЗДЕСЬ.


Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы

1. Ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы a_{jk}^{}), отличный от нуля (если такого нет, то \operatorname{rank} (A)=0_{});
2. ищем минор второго порядка, содержащий a_{jk}^{} и отличный от нуля:

A \left( \begin{array}{cc} j & j_2 \\ k & k_2 \end{array} \right)= \left| \begin{array}{cc} a_{jk} & a_{jk_2} \\ a_{j_2k} & a_{j_2k_2} \end{array} \right|

(если такого нет, то \operatorname{rank} (A)=1_{} );
3. продолжаем процесс окаймления до тех пор, пока не найдем такой минор \mathfrak{r}_{}-го порядка, который сам отличен от нуля, а все окаймляющие его (\mathfrak{r}+1)^{}-го порядка равны нулю. Тогда \operatorname{rank} (A)=\mathfrak{r}^{}.


П

Пример. Вычислить ранг матрицы

\left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & -1 &5& -2 \\ 1 & 5 & -2 &3& 4 \\ 2 & -1 & 1 &2& 3 \\ 3 & -7 & 4 &1& -7 \\ 0 & 11 & -5 &4& -4 \end{array} \right).

Решение. Для проверки условия \mathfrak{r}_{}>0 достаточно найти хотя бы один ненулевой элемент матрицы:

\left( \begin{array}{rrrrr} 3 & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \end{array} \right) \ .

Далее, для проверки условия \mathfrak{r}_{}>1 пытаемся подобрать ненулевой минор второго порядка, окаймляя выбранный минор первого порядка:

\left( \begin{array}{rrrrrr} 3 & 4 & & * &*& * \\ 1 & 5 & & * &*& * \\ \ast & * & & * &*& * \\ \ast & * & &* &*& * \\ \ast & * & &* &*& * \end{array} \right).

Из всех окаймляющих этот минор миноров третьего порядка:

\left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & -1 &*& * \\ 1 & 5 & -2 &*& * \\ 2 & -1 & 1 & * &*\\ \ast & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & -1 &*& * \\ 1 & 5 & -2 & * & * \\ \ast & * & * &*& * \\ 3 & 7 &4 &*& * \\ \ast & * & * &*& * \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & -1 &*& * \\ 1 & 5 & -2 & * & * \\ \ast & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \\ 0 & 11 & -5 & * &* \\ \end{array} \right),
\left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &5& * \\ 1 & 5 & * &3& * \\ 2 & -1 & * &2 & * \\ \ast & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &5& * \\ 1 & 5 & * &3& * \\ \ast & * & * &*& * \\ 3 & -7 & * &1& * \\ \ast & * & * &*& * \end{array} \right), \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &5& * \\ 1 & 5 & * &3& * \\ \ast & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \\ 0 &11 & * & 4& * \\ \end{array} \right),
\left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &*& -2 \\ 1 & 5 & * &*&4 \\ 2 & -1 & * &*&3 \\ \ast & * & * & * & * \\ \ast & * & * & * & * \end{array} \right),\ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &* & -2 \\ 1 & 5 & * &* &4 \\ \ast & * & * & *& * \\ 3 & -7 & * &*&-7 \\ \ast & * & * & * & * \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &*& -2 \\ 1 & 5 & * &*&4 \\ \ast & * & * &*& * \\ \ast & * & * &*& * \\ 0 & 11 & * &*&-4 \\ \end{array} \right)

два последних отличны от нуля. (Подчеркнем: нас интересовал хотя бы один отличный от нуля минор; если бы нам повезло его угадать сходу, то не нужно было бы вычислять все остальные миноры третьего порядка.) Это означает, что \mathfrak{r}_{}\ge 3. Окаймляем какой-нибудь из ненулевых миноров третьего порядка. Оказывается, что все 4_{} минора четвертого порядка равны нулю.

Ответ. Ранг матрицы равен 3_{}.

?

Найти ранги матриц

{\mathbf a)} \left( \begin{array}{ccccc} \color{Red}{\lambda} & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & \color{Red}{\lambda} & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & \color{Red}{\lambda} & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & \color{Red}{\lambda} & 1 \end{array} \right)\ , \quad {\mathbf b)} \left( \begin{array}{rrrrr} \color{Red}{\lambda} & 1 & 3 & 4 & 1\\ 1 & \color{Red}{\lambda} & -1 & 1 & 5\\ \lambda & \color{Red}{\lambda} & 4 & 3 & -4\\ 1 & 1 & 7 & 7 & -3 \end{array} \right)

в зависимости от значений параметра \color{Red}{\lambda}.

Ответ. {\mathbf a)} \ \mathfrak{r}_{}=1 при \lambda_{}=1, и \mathfrak{r}_{}=4 при \lambda_{} \ne 1;

{\mathbf b)} \ \mathfrak{r}_{}=3 при \lambda_{}=1 или \lambda_{}=1/4, и \mathfrak{r}_{}=4 при \lambda_{} \ne 1 или \lambda_{} \ne 1/4.

Метод элементарных преобразований

Этот метод основан на последней теореме из ПУНКТА: элементарные преобразования системы строк матрицы не изменяют ее ранга. Поэтому имеет смысл преобразовать исходную систему к такому виду, для которого величина ранга будет очевидна.

1. Ищем ненулевой элемент матрицы a_{jk}^{} (если такого нет, то \operatorname{rank} (A_{})=0);
2. перестановкой строк и столбцов матрицы, добиваемся, чтобы ненулевой элемент a_{jk}^{} попал в левый верхний угол;
3. применяя метод исключения Гаусса, добиваемся, чтобы все элементы первого столбца полученной матрицы, кроме верхнего, обратились в нуль;
4. к полученной в результате исключения подматрице порядка (m-1)\times (n-1) применяем процедуры пунктов 1-3 .

Процесс заканчивается, когда матрица оказывается приведенной к виду:

\left( \begin{array}{lllllll} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1{\mathfrak r}} & b_{1,{\mathfrak r}+1} & \dots & b_{1n} \\ 0 & b_{22} & \dots & b_{2{\mathfrak r}} & b_{2,{\mathfrak r}+1} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & & \ddots & & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & b_{{\mathfrak r}{\mathfrak r}} & b_{{\mathfrak r},{\mathfrak r}+1} & \dots & b_{{\mathfrak r}n} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & & & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} \right) \quad npu \quad b_{11}\ne 0,b_{22}\ne 0,\dots,b_{{\mathfrak r}{\mathfrak r}}\ne 0.

Тогда \operatorname{rank} ={\mathfrak r}_{} (числу оставшихся ненулевых строк).

П

Пример. Вычислить ранг матрицы

\left( \begin{array}{rrrrr} 2 & 3 & 5 &-3& -2 \\ 3 & 4 & 3 &-1& -3 \\ 5 & 6 & -1 &3& -5 \end{array} \right).

Решение. Элементарными преобразованиями строк матрицы, приводим ее к трапециевидной (ступенчатой):

\rightarrow \left( \begin{array}{rrrrr} 2 & 3 & 5 &-3& -2 \\ 1 & 1 & -2 &2& -1 \\ 5 & 6 & -1 &3& -5 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & -2 &2& -1 \\ 2 & 3 & 5 &-3& -2 \\ 5 & 6 & -1 &3& -5 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & -2 &2& -1 \\ 0 & 1 & 9 &-7& 0 \\ 0 & 1 & 9 &-7& 0 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & -2 &2& -1 \\ 0 & 1 & 9 &-7& 0 \\ 0 & 0 & 0 &0& 0 \end{array} \right).

Получили две ненулевые строки.

Ответ. Ранг матрицы равен 2_{}.

?

Найти ранги матриц по методу элементарных преобразований:

{\mathbf a)}\ \left( \begin{array}{rrrr} 17 & 51 & 27 & 31\\ 93 & 25 & 14 & 121\\ 94 & 27 & 15 & 120\\ 18 & 53 & 28 & 30 \end{array} \right), \quad {\mathbf b)} \ \left( \begin{array}{rrrrrr} 8 & 5 & 3 & 7 & 1& 2\\ 4 & 6 & 7 & 9 & 11& 12\\ 3 & 0 & -1 & 2 & 7& 1\\ 15 & 11 & 9 & 13 & 19& 15\\ 17 & 10 & 2 & -5 & 6& 3 \end{array} \right) \ .

Матрицы ранга 1

Простейшими ненулевыми матрицами являются матрицы ранга 1_{}. Вид их довольно прост: все их столбцы (строки) должны быть пропорциональны.

П

Пример.

\left(\begin{array}{rrr} 1 & -5 & - 3 \\ 2 & -10 & -6 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1/2 & -5/2 & -3/2 \end{array} \right) ; \quad \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -5 & - 3 & -18\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 10 & 6 & 36 \end{array} \right) ; \quad \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) .

Т

Теорема. \operatorname{rank}(A_{m\times n}) = 1 тогда и только тогда, когда матрицу A_{} можно представить в виде произведения

A= \left(\begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_m \end{array} \right) (v_1,\dots,v_n)

при хотя бы одной паре индексов j_{} и k_{} таких, что u_j\ne 0, v_k \ne 0.

Т

Теорема. Любая матрица ранга \mathfrak r_{} может быть представлена в виде суммы \mathfrak r_{} матриц ранга 1_{}, но не может быть представлена в виде суммы меньшего числа матриц ранга 1_{}.

П

Пример. Представить матрицу

\left(\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \\ -5 & 0 & -7 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right)

в виде суммы матриц ранга 1_{}.

Решение.

\left(\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \\ -5 & 0 & -7 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)+\left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right)

и каждая матрица в правой части имеет ранг 1_{}. Ранг исходной матрицы равен 3_{}, с ненулевым минором

\left|\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right| \ .

Следовательно третья строка матрицы может быть выражена в виде линейной комбинации оставшихся:

(-5, 0, -7)=-3\cdot (3,2,5)+2 \cdot (2,3,4) \ .

Поэтому

\left(\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \\ -5 & 0 & -7 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ -9 & -6 & -15\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right) \ .

§

Представление матрицы в виде суммы матриц ранга 1 возможно разными способами. Так, к примеру, симметричная матрица A_{} всегда может быть представлена в виде суммы симметричных же одноранговых матриц:

\left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1& 2 & 2 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{rrr} -1/2 & 1 & -1/2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1/2& 1 & -1/2 \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr} 3/2 & 0 & -3/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3/2& 0 & 3/2 \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \, .

Исключительное прикладное значение имеет разложение произвольной матрицы A_{m\times n} в сумму одноранговых матриц, известное под названием singular value decomposition (SVD).

?

Доказать, что

{\mathbf a)} \det \left(E_n+ \left(\begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_n \end{array} \right) (v_1,v_2,\dots,v_n) \right) = 1+ u_1v_1+u_2v_2+\dots+u_nv_n \ ;
{\mathbf b)} \det \left(A_{n\times n}+ \left(\begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_n \end{array} \right) (v_1,v_2,\dots,v_n) \right)=\left(1+ (v_1,v_2,\dots,v_n) A^{-1} \left(\begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_n \end{array} \right) \right) \det(A) ;

в последнем равенстве предполагается, что A^{-1} существует.

Подсказка ЗДЕСЬ.

Применение для решения систем линейных уравнений

Рассмотрим снова общую систему линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ \ldots&+a_{mn}x_n &=b_m. \end{array} \right.

Матрица, получающаяся конкатенацией матрицы A_{} и столбца правых частей {\mathcal B}_{} этой системы, т.е.

A|{\mathcal B} = \left( \begin{array}{rrrrl} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \dots &&& & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m \end{array} \right)_{m\times (n+1)}

называется расширенной матрицей системы линейных уравнений.

Т

Теорема [Кронекер, Капелли]. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы:

\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A|{\mathcal B}) \ .

При выполнении этого условия, система имеет единственное решение, если число неизвестных n_{} совпадает с общим значением ранга \mathfrak r_{}, и бесконечное множество решений, если n > \mathfrak r_{}.

§

Более подробно изложено ЗДЕСЬ

Неравенства для ранга

Т

Теорема 1. Для любых матриц A_{} и B_{} одинакового порядка имеет место неравенство:

\operatorname{rank} (A + B) \le \operatorname{rank} (A) + \operatorname{rank} (B) \ .

Т

Теорема 2. Для любых матриц A_{m\times n}^{} и B_{n\times \ell}^{} имеет место неравенство Сильвестра:

\operatorname{rank} (A) + \operatorname{rank} (B) - n \le \operatorname{rank} (AB) \le \min (\operatorname{rank} (A), \operatorname{rank} (B)) \ .

=>

Если A_{} и B_{} — квадратные матрицы n_{}-го порядка и \det B \ne 0_{}, то \operatorname{rank} (AB) = \operatorname{rank} (A)^{}.

Ранг симметричной матрицы

Ранг квадратичной формы

определяется ЗДЕСЬ.

Ранг линейного отображения

рассматривается ЗДЕСЬ.

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Бохер М. Введение в высшую алгебру. М.-Л. ГТТИ, 1933

[2]. Kronecker L. Bemerkungen zur Determinanten-Theorie. J. reine angew. Math. Bd. 72, 1870, S. 152-175

1) Для упрощения геометрических интерпретаций мы всегда — если только не обговорено иное — ищем только вещественные решения.
2) Строгое определение слова система нигде в литературе я не нашел — как-то стыдливо это понятие обходится. Можно понимать его как множество — с теми только поправками, что в системе, в отличие от множества, допускается повторение объектов, и они, как правило, пронумерованы.

2017/04/03 10:55 редактировал au