УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛИНОМ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ


Критические случаи при поиске максимума и минимума полинома

П

Пример 1. Полином f(x,y)=-x^2 y^4 - x y^2 - x^{2} ограничен сверху, но не достигает своего максимального значения.

Старшая форма f_{6}(x,y)=-x^2 y^4 является лишь знакоотрицательной, но не отрицательно определенной. Система \partial f_{} / \partial x = 0, \partial f / \partial y = 0 имеет единственное решение: (x,y)=(0,0) при f(0,0)=0_{}. Тем не менее, конечный \sup f(x,y) =1/4 «достигается» на бесконечности:

f(x,y)-\frac{1}{4} = -x^2-y^4 \left( x+\frac{1}{2y^2} \right)^2 \le 0 \ ,
\lim_{k \to \infty}f \left( -\frac{1}{2k^2},k \right) =\lim_{k \to \infty} \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{4k^4} \right) =\frac{1}{4} \ .

Графики линий уровня функции f_{}, т.е. кривых f(x,y)=c при различных значениях константы c_{}:

П

Пример 2.[1] Имеет ли полином

f(x,y)=x^2-2xy^2+x^4+y^4+xy^5

локальный минимум в точке (0_{},0)?

Решение. Здесь
младшая форма f_2=x^{2} — знакопостоянна;
f_2+f_3=x^2-2xy^{2} — функция знакопеременная;
f_2+f_3+f_4=x^2-2xy^2+x^4+y^{4} — функция знакоопределенная;
а сама же функция f_{} — неопределенная в окрестности (0,0_{}), т.е. в этой точке она не имеет экстремума.

Источники

[1]. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.Наука,1966


2012/11/25 13:16 редактировал au