УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Инварианты

Для однородного полинома (формы)

F_m(x,y)=A_0x^m+A_1x^{m-1}y+\dots+A_my^m

полином ее коэффициентов I_{k}(A_0,\dots,A_m) степени k_{} называется инвариантом веса p_{}, если при линейной замене переменных (подстановке)

x=\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}y_1,\ y=\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}y_1

преобразующей форму к виду

\tilde F_m(x,y)= \tilde A_0x_1^m+ \tilde A_1x_1^{m-1}y_1+\dots+\tilde A_my_1^m \ ,

значение I_{k} изменяется по правилу:

I_k(\tilde A_0,\dots,\tilde A_m)\equiv \Delta^p I_k(A_0,\dots,A_m) ;

здесь \Delta_{}=\alpha_{11}\alpha_{22}-\alpha_{12}\alpha_{21} — определитель подстановки.

П

Пример. Для квадратичной формы F_{2}(x,y)=A_0x^2+A_1xy+A_2y^2 ее инвариантом степени 2 является дискриминант \frac{1}{4} A_{1}^2 - A_0A_2.

П

Пример. Для биквадратной формы

F_4(x,y) = A_0x^{4}+ A_1x^3y+ A_2^2y^2+A_3xy^3+A_4y^4

выражения

I_2=4A_0A_4-A_1A_3 +\frac{1}{3}A_2^2 \ ,
I_3=16\left|\begin{array}{rrr} A_0 & A_1/4 & A_2/6 \\ A_1/4 & A_2/6 & A_3/4 \\ A_2/6 & A_3/4 & A_4 \end{array} \right| = -A_0A_3^2-A_1^2A_4+\frac{8}{3}A_0A_2A_4+ \frac{1}{3}A_1A_2A_3-\frac{2}{27}A_2^3

образуют ее базисную систему инвариантов: любой другой инвариант этой формы (в частности, ее дискриминант ) полиномиально выражается через них.

Источник

Schur I. Vorlesungen über Invariantentheorie. 1968. Berlin, Springer


2014/09/12 20:45 редактировал au