УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к пункту РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ЛИНЕЙНОГО МНОГООБРАЗИЯ


Т

Теорема [1]. Расстояние от точки X_{0} \in {\mathbb R}^{n} до линейного многообразия в {\mathbb R}_{}^{n}, заданного системой уравнений

\left\{ \begin{array}{ccc} c_{11}x_1+c_{12}x_2+\dots+c_{1n}x_n &=& h_1 \\ \dots & & \dots \\ c_{m1}x_1+c_{m2}x_2+\dots+c_{mn}x_n &=& h_m \end{array} \right. \quad \iff
\iff \quad CX={\mathcal H} \quad npu \quad C=\left( \begin{array}{cccc} c_{11}& c_{12} & \dots & c_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ c_{m1}& c_{m2} & \dots & c_{mn} \end{array} \right)_{m\times n} ,\ {\mathcal H} =\left( \begin{array}{c} h_1 \\ \vdots \\ h_m \end{array} \right),\ X=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)

вычисляется по формуле

d= \sqrt{-\frac{\det \left( \begin{array}{cc} C\cdot C^{\top} & CX_0- {\mathcal H} \\ (CX_0- {\mathcal H})^{\top} & 0 \end{array} \right) }{\det(C\cdot C^{\top})}} \ .

Здесь предполагается, что \operatorname{rank}(C)=m<n.

Доказательство формально коррелирует с приведенным в [1], но я даю ему геометрическую интерпретацию1). Согласно общему результату о расстоянии от точки евклидова пространства до линейного многообразия, минимум расстояний от X_{0} до точек многообразия CX= {\mathcal H} равен длине ортогональной составляющей вектора X_0-Y относительно подпространства CX= \mathbb O; здесь Y_{} означает произвольную точку многообразия, т.е. частное решение системы линейных уравнений: CY= {\mathcal H}. Обозначим эту ортогональную составляющую через (X_0-Y)^{\bot}. По определению, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства ортогональна любому вектору этого подпространства, т.е. принадлежит ортогональному дополнению этого подпространства в пространстве \mathbb R_{}^n. Каждое уравнение

c_{j1}x_1+c_{j2}x_2+\dots+c_{jn}x_n = 0 \ ,

задающее это подпространство, можно рассматривать как скалярное произведение j_{}-й строки матрицы C_{} на вектор пространства:

(\left[C^{[j]}\right]^{\top},X)=0 \ .

Здесь приходится навешивать знак транспонирования, чтобы иметь согласование в пространстве векторов \mathbb R_{}^n — мы договорились рассматривать их n_{}-компонентными столбцами. Получается, что ортогональное дополнение нашего подпространства получается как линейная оболочка транспонированных строк матрицы C_{}: \mathcal L(\left[C^{[1]}\right]^{\top},\left[C^{[2]}\right]^{\top},\dots,\left[C^{[m]}\right]^{\top}). Любой вектор из этого ортогонального дополнения должен линейно выражаться через образующие эту оболочку векторы; это утверждение справедливо и для вектора (X_0-Y)^{\bot}:

(X_0-Y)^{\bot} =\lambda_1 \left[C^{[1]}\right]^{\top}+\lambda_2 \left[C^{[2]}\right]^{\top}+\dots+ \lambda_m \left[C^{[m]}\right]^{\top} \ npu \ \{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m\} \subset \mathbb R \ .

Переписываем в матричном виде:

(X_0-Y)^{\bot} = C^{\top} \left[\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{array} \right] \ .

Домножаем обе части скалярно на \left[C^{[j]}\right]^{\top}. В левой части получаем:

(\left[C^{[j]}\right]^{\top}, (X_0-Y)^{\bot} ) =C^{[j]}(X_0-Y)^{\bot} = C^{[j]}(X_0-Y) \quad npu \quad j\in \{1,\dots,m \} \ .

Последнее равенство следует из того, что X_0-Y=(X_0-Y)^{\bot}+(X_0-Y)^{^{\parallel}} при векторе (X_0-Y)^{^{\parallel}} означающем ортогональную проекцию вектора X_0-Y на многообразие; эта проекция ортогональна векторам \left[C^{[j]}\right]^{\top}. Объединяем получившиеся равенства в одно матричное:

C(X_0-Y) =C \cdot C^{\top} \left[\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{array} \right] \ \quad \iff \quad CX_0- \mathcal H = C \cdot C^{\top} \left[\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{array} \right] .

На основании свойств определителя Грама при сделанном предположении относительно ранга матрицы C_{} имеем:

\det ( C\cdot C^{\top}) \ne 0

и, следовательно, в правой части последнего равенства стоит неособенная матрица. Выражаем из этого равенства столбец параметров:

\left[\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{array} \right]=( C\cdot C^{\top})^{-1} (CX_0-\mathcal H)

и подставляем в выражение для квадрата длины вектора (X_0-Y)^{\bot}:

|(X_0-Y)^{\bot} |^2=((X_0-Y)^{\bot} ,(X_0-Y)^{\bot} )=((X_0-Y)^{\bot})^{\top}(X_0-Y)^{\bot} = [\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m] C \cdot C^{\top} \left[\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{array} \right]=

(матрица C\cdot C^{\top} — симметричная)

=(CX_0-\mathcal H)^{\top} (C \cdot C^{\top})^{-1} C \cdot C^{\top} (C \cdot C^{\top})^{-1} (CX_0-\mathcal H)=(CX_0-\mathcal H)^{\top} (C \cdot C^{\top})^{-1} (CX_0-\mathcal H) \ .

Таким образом,

d=|(X_0-Y)^{\bot} |=\sqrt{(CX_0-\mathcal H)^{\top} (C \cdot C^{\top})^{-1} (CX_0-\mathcal H)} \ .

Осталось дело за малым: показать эквивалентность полученного представления для расстояния тому, что заявлено в утверждении теоремы. Для этого воспользуемся формулой вычисления окаймленного определителя:

\left| \begin{array}{cc} C\cdot C^{\top} & CX_0- {\mathcal H} \\ (CX_0- {\mathcal H})^{\top} & 0 \end{array} \right|_{(m+1)\times(m+1)}= \left\{0-(CX_0- {\mathcal H})^{\top} \left( C\cdot C^{\top} \right)^{-1} (CX_0- {\mathcal H}) \right\} \det \left( C\cdot C^{\top} \right) \ .

Отдельно надо бы проверить, что подкоренное выражение неотрицательно — так, на всякий случай. На основании свойств определителя Грама, матрица C_{}\cdot C^{\top} — положительно определенная. Тогда \left( C\cdot C^{\top} \right)^{-1} — тоже положительно определенная2). Но тогда выражение Z^{\top} \left( C\cdot C^{\top} \right)^{-1} Z положительно для всех ненулевых столбцов Z\in \mathbb R^n.

§

Для понимающих: приведенное доказательство — это попытка обойти применение метода множителей Лагранжа (каковыми, собственно, и являются скаляры \lambda_1,\dots,\lambda_m). Ну не нравится мне приводимое во всех учебниках по мат.анализу обоснование этого метода!

Источники

1) Cейчас придется внимательно следить за моими руками ;-)!
2) Доказательство приведу когда доделаю раздел КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ, а пока — в качестве намека — сравните собственные числа симметричной матрицы и ей обратной…

2018/03/21 22:24 редактировал au