УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ☞ Вычисление расстояния между геометрическими объектами


Т

Теорема. Пусть X^{\top} A_{1} X =1 и X^{\top} A_{2} X =1квадрики в {\mathbb R}^{n}, причем первая является эллипсоидом. Квадрики не пересекаются тогда и только тогда, когда матрица A_{1}-A_{2} является знакоопределенной.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует точка X_0\in \mathbb R^n общая обеим поверхностям:

X_0^{\top} A_1 X_0=1 \ u \ X_0^{\top} A_2 X_0=1 \quad \Rightarrow \quad X_0^{\top} (A_1-A_2) X_0=0 \quad u \quad X_0\ne \mathbb O \ .

Следовательно матрица A_1-A_{2} не является знакоопределенной.

Достаточность. Пусть матрица A_1-A_{2} не является знакоопределенной. Тогда существует точка X_0\in \mathbb R^n, X_0 \ne \mathbb O такая, что

X_0^{\top} (A_1-A_2) X_0=0 \Rightarrow X_0^{\top} A_{1}X_0=X_0^{\top} A_2X_0 \ .

Последнее равенство останется справедливым и при домножении на константу

t^2=\frac{1}{X_0^{\top}A_1X_0}

(выражение в знаменателе положительно поскольку, по предположению теоремы, X^{\top} A_{1} X =1 определяет эллипсоид). Тогда для точки X=tX_0 имеем

X^{\top} A_1X=t^2X_0^{\top} A_1X_0=1 \quad u \quad X^{\top} A_2X=t^2X_0^{\top} A_2X_0=t^2X_0^{\top} A_1X_0=1 \ ,

т.е. она принадлежит обеим квадрикам.

=>

Если n четно и \det (A_2-A_1)<0, то эллипсоид X^{\top} A_{1} X =1 и квадрика X^{\top} A_{2} X =1 пересекаются.

=>

Если эллипсоид X^{\top} A_{1} X =1 касается квадрики X^{\top} A_{2} X =1 хотя бы в одной точке, то необходимо \det (A_2-A_1) = 0.

Источник результата теоремы мне не известен. Содержится в качестве упражнения 1241 в

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974

2013/01/15 18:16 редактировал au