УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ И ЕЕ РАЗВИТИЕ


1. [1]. Известно, что минимальная длина дерева Штейнера для вершин квадрата с длиной стороны 1_{} равна 1+ \sqrt{3}. Показать, что в пространстве \mathbb R_{}^{n} для n_{}-мерного куба с длиной стороны 1_{} существует дерево Штейнера длины

1 + \frac{2^n-1}{\sqrt{3}} \ .

2. Можно ли обобщить численный метод Вайсфельда для задачи поиска стационарных точек кулоновского потенциала? Исследуйте поведение последовательности

\{ P^{(k)}=\Phi(P^{(k-1)}) \}_{k\in \mathbb N} \quad npu \quad \Phi(P)=\left(\frac{m_1P_1}{|PP_1|^3}+\dots+\frac{m_KP_K}{|PP_K|^3} \right) \bigg/ \left(\frac{m_1}{|PP_1|^3}+\dots+\frac{m_K}{|PP_K|^3} \right) \ ,

в зависимости от выбора P^{(0)}.

3. Найти координаты вершин и площадь максимального равностороннего треугольника, описанного вокруг треугольника P_{1}P_2P_3.

Проверка. Для P_1=(1,1),P_2=(3,5),P_3=(7,2) координаты вершин искомого треугольника

\left(\frac{230-358\sqrt{3}}{229}, \frac{1023-63\sqrt{3}}{229} \right); \left(\frac{4812+529\sqrt{3}}{687}, \frac{3756+269\sqrt{3}}{687} \right) ; \left( \frac{3438+71\sqrt{3}}{687}, \frac{1008-2021\sqrt{3}}{687} \right) ;

площадь = 41/\sqrt{3}+22.

Источники

[1]. Задача E 3321. The American Math. Monthly. 1989, V. 96, N 4.


2016/08/31 10:29 редактировал au