УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Страница — в разработке; начало работ — 22.03.2014, окончание — ??.??.????


Стационарные точки кулоновского потенциала

Задача. Найти стационарные точки функции

F(P)= \sum_{j=1}^K \frac{m_j}{\left|PP_j \right|} \ .

Здесь \{P,P_1,\dots,P_K\} \subset \mathbb R^3 , \{ m_{j} \}_{j=1}^K \subset \mathbb R.

Пусть в пространстве задана конфигурация

\begin{array}{c} P_1 \\ m_1 \end{array} ; \dots ; \begin{array}{c} P_K \\ m_K \end{array}

из K_{} фиксированных (неподвижных) точечных заряженных частиц, которые воздействуют на пробный точечный единичный заряд величины, помещенный в точку P_{}; при этом сила воздействия j_{}-го заряда прямо пропорциональна величине заряда m_{j} и обратно пропорциональна расстоянию от этого заряда до пробного. Требуется найти точку P_{\ast} \in \mathbb R^{3}_{}, при помещении в которую пробного заряда, последний будет неподвижен (находиться в положении равновесия).

Гипотеза [Максвелл] [?]. Число стационарных точек кулоновского поля любой конфигурации K_{} стационарных зарядов в \mathbb R^{3} не превосходит (K-1)^2.

Не доказана1).

Преобразование градиентной системы к алгебраическому виду

Система уравнений для определения координат стационарных точек функции F(P) получается приравниванием градиента этой функции нулевому вектору:

\frac{D\, F}{D\, P} = \mathbb O \ .

Эта система явным образом содержит радикалы и, для того чтобы преобразовать ее к алгебраической, придется несколько раз возводить уравнения в квадрат. Даже для простейших случаев такое квадрирование приводит к уравнениям очень больших степеней.

П

Пример. Пусть P_1=(1,1), P_2=(5,1) , P_3=(2,6). Проанализировать поведение множества стационарных точек функции

F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_2}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}}

в зависимости от значений m_2, m_3, рассматриваемых в качестве параметров.

Решение. Градиентная система уравнений

\begin{array}{rrr} \displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_2(x-5)}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_3(x-2)}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}^3}=0\, , \\ \displaystyle \frac{y-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_2(y-1)}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_3(y-6)}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}^3}=0 \, \end{array}

может быть преобразована в алгебраическую в ходе следующей процедуры. Обозначим A_1, A_2 и A_3 слагаемые в любом из этих уравнений. Последовательное возведение в степень по схеме

A_1+A_2+A_3=0 \quad \Rightarrow \quad (A_1+A_2)^2=A_3^2 \quad \Rightarrow \quad (2\, A_1A_2)^2 = (A_3^2-A_1^2 - A_2^2)^2

и последующее за этим приведение каждого уравнения к общему знаменателю, позволяет свести исходную систему к алгебраической

F_1(x,y,m_2,m_3)=0,\ F_2(x,y,m_2,m_3)=0 \ .

Здесь F_{1} и F_{2} — полиномы степени 28 по переменным x_{} и y_{} с коэффициентами порядков до 10^{19}. Нахождение всех решений этой системы — даже для конкретных (фиксированных) значений параметров m_2 и m_3 — становится вычислительно сложной задачей. А ведь требуется решить еще более сложную задачу: проследить динамику этого множества при изменении параметров!

Попробуем получить альтернативную систему алгебраических уравнений. Рассмотрим в качестве стартовой градиентную систему уравнений для трехточечного кулоновского потенциала на плоскости:

\left\{ \begin{array}{ccc} m_1\frac{(x-x_1)}{|PP_1|^3}+m_2\frac{(x-x_2)}{|PP_2|^3}+m_3\frac{(x-x_3)}{|PP_3|^3}&=&0, \\ \\ m_1\frac{(y-y_1)}{|PP_1|^3}+m_2\frac{(y-y_2)}{|PP_2|^3}+m_3\frac{(y-y_3)}{|PP_3|^3}&=&0. \\ \end{array} \right.

Эта система является линейной относительно величин m_1,m_2,m_3. Разрешим ее, например, по формулам Крамера.

Т

Теорема [?].Обозначим

S_1(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & x_2 & x_3 \\ y & y_2 & y_3 \end{array} \right|,\ S_2(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x & x_3 \\ y_1 & y & y_3 \end{array} \right|,\ S_3(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x \\ y_1 & y_2 & y \end{array} \right| \, .

Любое решение системы

\partial F / \partial x = 0, \partial F / \partial y = 0 \ ,

отличное от \{ P_j \}, удовлетворяет соотношению

m_1:m_2:m_3=|PP_1|^{3} S_1(x,y):|PP_2|^{3} S_2(x,y):|PP_3|^{3} S_3(x,y) \ .

§

Фактически, последнее соотношение задает фундаментальную систему решений для системы линейных однородных уравнений.

=>

Стационарные точки функции F(P) =\frac{m_1}{|PP_1|}+\frac{m_2}{|PP_2|}+\frac{m_3}{|PP_3|} удовлетворяют системе алгебраических уравнений

\left\{ \begin{array}{lll} \widetilde F_1(x,y,m_1,m_2,m_3)&=m_2^2S_1^2(x,y) |PP_1|^{6} - m_1^2S_2^2(x,y) |PP_2|^{6} & =0, \\ \widetilde F_2(x,y,m_1,m_2,m_3)&=m_2^2S_3^2(x,y) |PP_3|^{6} - m_3^2S_2^2(x,y) |PP_2|^{6} & =0. \end{array} \right.

Здесь \deg_{[x,y]} F_j(x,y,m_1,m_2,m_3)=8, что является существенным улучшением в сравнении с изначальным подходом, основанном на последовательном квадрировании.

Метод очевидным образом обобщается на случай 4-х зарядов в \mathbb R^{3}, да и вообще на случай K=n+1 зарядов в \mathbb R^{n}. Случай когда число зарядов K_{} превышает размерность пространства больше чем на 1_{} рассматривается в той же идеологии, но с меньшим выигрышем относительно степени конечных алгебраических уравнений.

Плоский случай

Вооружившись новым методом сведения градиентной системы к алгебраической, вернемся к решению примера из предыдущего пункта.

П

Пример. Проанализировать поведение множества стационарных точек кулоновского потенциала

F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_2}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}}

в зависимости от значений m_2, m_3, рассматриваемых в качестве параметров.

Решение. Cистема алгебраических уравнений из предыдущего пункта для нашего примера имеет вид

\widetilde F_1(x,y,m_2,m_3)=0,\ \widetilde F_2(x,y,m_2,m_3)=0

при

\begin{array}{c} \widetilde F_1(x,y,m_2,m_3)= \\ =m_2^2\,(5\,x+3\,y-28)^2(x^2+y^2-2\,x-2\,y+2)^3 -(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3 , \\ \widetilde F_2(x,y,m_2,m_3)= \\ =m_2^2\,(4\,y-4)^2(x^2+y^2-4\,x-12\,y+40)^3 -m_3^2\,(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3. \end{array}

Допустим, мы хотим исследовать динамику множества вещественных решений этой системы при различных фиксированных значениях m_2 и для произвольных значений m_3. Для получения неявного задания кривой

\Eta (x,y,m_2) = 0 \ ,

которая будет состоять из решений системы при всевозможных значениях m_3, мы должны исключить этот параметр из системы. Но он, фактически, уже исключен: первое уравнение от него не зависит! Иными словами, утверждается, что уравнение

m_2^2\,(5\,x+3\,y-28)^2(x^2+y^2-2\,x-2\,y+2)^3 -(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3=0

при каждом фиксированном значении m_{2}=m_{2\ast} определяет на плоскости (x,y) кривую, целиком состоящую из стационарных точек семейства кулоновских потенциалов

\left\{ \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_{2\ast}}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}} \right\}_{m_3 \in \mathbb R} \ .

Изобразим несколько таких кривых на рисунке (числа на кривых обозначают величины m_2; ветви одинакового цвета соответствуют одинаковым значениям этого заряда).

Продолжим наше исследование с целью ответа на вопрос: сколько стационарных точек имеет рассматриваемый потенциал в зависимости от значений зарядов?

Вычислим результант полиномов по переменной x_{}

\mathcal Y(y,m_2,m_3)=\mathcal R_{x}(\tilde F_1,\tilde F_2) \ .

Он факторизуется следующим образом:

\mathcal Y(y,m_2,m_3)\equiv 2^{56}\cdot 5^4 \cdot 13^6 \cdot 17^6\, (y-1)^8(y-6)^4 m_2^{16} \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3), \ \deg_y \mathcal Y_{34} =34 \ .

Выражение для полинома \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3) приведено2) ЗДЕСЬ, и именно он отвечает за ординаты стационарных точек рассматриваемого потенциала. Для любого набора значений параметров m_2 и m_3 возможно определить точное число вещественных корней этого полинома и локализовать их в идеологии символьных (аналитических) вычислений (см. раздел ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА). Заметим, что нас интересуют только корни в интервале ]1,6[. Каждому из этих корней ставится в пару соответствующее значение абсциссы стационарной точки. Это соответствие можно оформить в виде явной функциональной зависимости x=r(y) при функции r_{} — рациональной. Метод нахождения такого представления изложен в пункте "Исключение переменных в системе полиномиальных уравнений".

Так, к примеру, выбору m_2=2, m_3=2 соответствует случай ровно двух стационарных точек соответствующего потенциала:

\mathfrak S_1 \approx (2.666216,\, 1.234430),\ \mathfrak S_2 \approx (2.744834,\, 3.244859) ;

выбору же m_2=2, m_3=4 — случай четырех стационарных точек:

\mathfrak S_1 \approx (1.941246,\, 2.552370) , \mathfrak S_2 \approx (2.655622,\, 1.638871) ,\ \mathfrak S_3 \approx (3.330794,\ 2.826444),

и

\mathfrak N \approx (2.552939,\, 2.271691) \ .

Случай наличия ровно трех стационарных точек у кулоновского потенциала является исключительным, практически невероятным при случайном выборе параметров. Соотношение, гарантирующее такой исключительный случай, представляет интерес как граница на плоскости параметров (m_2,m_3) между множеством значений, которые соответствуют случаю двух стационарных точек и тем множеством значений, что соответствуют случаю наличия четырех стационарных точек. Для получения этой границы — т.е. бифуркационных значений для параметров — следует выяснить условия когда у полинома \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3), рассматриваемого относительно переменной y_{}, меняется число вещественных корней. Для этой цели мы должны вычислить дискриминант этого полинома по переменной y_{}:

\mathcal D_y( \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3)) \ .

Это выражение является полиномом от параметров m_2,m_3, который факторизуется следующим образом:

\Xi^2(m_2,m_3) \Psi(m_2,m_3) \quad npu \quad \deg \Xi=444, \deg \Psi =48 \ .

Обращение его в нуль возможно в результате двух принципиально различных сценариев. Условие \Xi(m_2,m_3)=0 соответствует ситуации, когда две различные стационарные точки функции F_{}(x,y) имеют одинаковую ординату. Уравнение же

\Psi(m_2,m_3)=0

соответствует случаю, когда две различные стационарные точки сливаются в одну вырожденную (т.е. обе их координаты становятся одинаковыми). Таким образом, уравнение неявным образом задает на плоскости (m_2,m_3) дискриминантную кривую, точки которой соответствуют потенциалам с ровно тремя стационарными точками.

Выражение для полинома \Psi(m_2,m_3) крайне громоздко: его полное разложение см. ЗДЕСЬ; оно содержит 325 мономов (полином является четным по обеим переменным). Укажем здесь только старшие и младшие члены его разложения:

\Psi(m_2,m_3)=
=3^{36}(169\,m_2^2+192\,m_2m_3+64\,m_3^2)^5(169\,m_2^2 -192\,m_2m_3+64\,m_3^2)^5(28561\,m_2^4+19968\,m_2^2m_3^2+4096\,m_3^4)^7
+ \dots +
+ 2^2\cdot 3^{31} \cdot 17^{40} (5545037166327\, m_2^4-161882110764644\,m_2^2m_3^2+1656772227072\,m_3^4)
+ 2^3\cdot 3^{36}\cdot 17^{44} (51827\,m_2^2+28112\,m_3^2)+ 3^{36}\cdot 17^{48} \ .

Удивительной кажется сама возможность получения этого выражения, но еще более удивителен тот факт, что удается определить геометрию кривой \Psi(m_2,m_3)=0.

На плоскости параметров кривая \Psi(m_2,m_3)=0 выделяет четыре области вида «наконечник копья». Условие

\Psi(m_2,m_3)<0

задает точки плоскости параметров, лежащие внутри «наконечников». Это условие является необходимым для наличия 4_{} стационарных точек у кулоновского потенциала; оно, тем не менее, не является достаточным. Только одна из четырех полученных областей соответствует случаю наличия 4_{} стационарных точек — она расположена внутри ветви кривой, изображенной на нижнем рисунке:

Для контроля укажу одну из точек на этой ветви: m_2 \approx 1.842860, m_3 \approx 4.157140. Такому набору зарядов соответствует потенциал F_{}(x,y), имеющий следующие стационарные точки:

\mathfrak{S}_{\mathfrak N}=(2.691693, 1.930238),\ \mathfrak S_2=(1.821563, 2.558877), \mathfrak S_3=(3.374990, 2.739157) \ ;

при этом \mathfrak{S}_{\mathfrak N} является вырожденной стационарной точкой типа седло-узел.

Для обозначения стационарных точек выше использовались разные буквы — \mathfrak S и \mathfrak N. Эти обозначения соответствуют различным топологическим типам этих точек — седлового и узлового соответственно. В последнем случае стационарная точка определяет минимум кулоновского потенциала. Таким образом, последняя кривая (зеленая) определяет границу области устойчивости в плоскости параметров. Эта область может быть задана системой алгебраических неравенств. Одно из них уже получено выше — это неравенство \Psi(m_2,m_3)<0. Остальные неравенства системы можно выбрать линейными: их роль заключается в выделении конкретной ветви кривой \Psi(m_2,m_3)=0. Например, можно взять их задающими внутренность треугольника M_1M_2M_3, где точки

M_1 \approx (1.812918 , 2.575996), M_2 \approx (2.886962 , 5.667175), M_3 \approx (1.236728, 3.556856)

— угловые точки для последней ветви.

Устойчивость

Т

Теорема. Если существует точка минимума кулоновского потенциала

F(P)=\frac{m_1}{|PP_1|}+\frac{m_2}{|PP_2|} + \frac{m_3}{|PP_3|} \, ,

то она находится в области \mathbb M \subset \mathbb R^2 треугольника P_1P_2P_3, определяемой неравенством

\Phi(x,y) > \frac{2}{9} S^2 \ .

Здесь

S=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array} \right| ,

а

\Phi(x,y) = \frac{S_1(x,y)S_2(x,y)S_3(x,y)}{|PP_1|^2 |PP_2|^2 |PP_3|^2}C(x,y)

где

C(x,y)=S_1(x,y)|PP_1|^2+S_2(x,y)|PP_2|^2+S_3(x,y)|PP_3|^2 \equiv
\equiv \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x& x_1 & x_2 & x_3 \\ y& y_1 & y_2 & y_3 \\ x^2+y^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2 \end{array} \right| \ ,
S_1(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & x_2 & x_3 \\ y & y_2 & y_3 \end{array} \right|,\ S_2(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x & x_3 \\ y_1 & y & y_3 \end{array} \right|,\ S_3(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x \\ y_1 & y_2 & y \end{array} \right| \, .

Обратно, любая точка P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast}), лежащая в \mathbb M, является точкой минимума для кулоновского потенциала при величинах зарядов m_1, m_2, m_3 пропорциональных значениям

m_1^{\ast}= S_1(x_{\ast},y_{\ast}) |P_{\ast}P_1|^3 ,\ m_2^{\ast}= S_2(x_{\ast},y_{\ast}) |P_{\ast}P_2|^3,\ m_3^{\ast}= S_3(x_{\ast},y_{\ast}) |P_{\ast}P_3|^3 \, .

П

Пример. Найти область \mathbb M из теоремы для треугольника P_1=(1,1), P_2=(5,1) , P_3=(2,6).

Решение. Здесь S=20 и

\Phi(x,y)=\frac{16(28-5\,x-3\,y)(5\,x-y-4)(y-1)(-52+30\,x+32\,y-5\,x^2-5\,y^2)}{((x-1)^2+(y-1)^2)((x-5)^2+(y-1)^2)((x-2)^2+(y-6)^2)} \ .

Область \mathbb M располагается внутри овала алгебраической кривой 6_{}-го порядка, изображенного на рисунке (полная картина кривой, со всеми овалами, ЗДЕСЬ)

Можно ожидать, что точка на самой этой кривой будет соответствовать таким значениям зарядов m_1,m_2 и m_3, которые гарантируют ее вырожденность. Так оно и оказывается: при фиксированном значении m_1=1, существует взаимно-однозначное соответствие между точками этой кривой и кривой \Psi(m_2,m_3)=0 из предыдущего пункта. Например, точке (2.691693, 1.930238), отмеченной на последнем рисунке, соответствуют значения параметров m_1=1, m_2 \approx 1.842860, m_3 \approx 4.157140, которые определяют точку на дискриминантной кривой в пространстве параметров (она отмечена на зеленом «наконечнике копья» в предыдущем пункте).

Пространственный случай

Т

Теорема [Ирншоу]. Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов в \mathbb R^{3} неустойчива, если на них кроме кулоновских сил ничто не действует.

Обобщенный потенциал

Задача. Найти стационарные точки функции

F(P)= \sum_{j=1}^K m_j\left|PP_j \right|^L \ .

Здесь \{P,P_1,\dots,P_K\} \subset \mathbb R^n , \{ m_{j} \}_{j=1}^K \subset \mathbb R, и L \ne 0 — произвольное вещественное число.

Источники

[?]. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.Наука. 1989

[?]. Gabrielov A., Novikov D., Shapiro B. Mystery of Point Charges. Proc. London Math. Soc. Ser. 3. V. 95, pp. 443-472, 2007.

[?]. Jeans J.H. The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism. Cambridge. Cambridge University Press. 1908

[?]. Uteshev A.Yu., Yashina M.V. Stationary Points for the Family of Fermat-Torricelli-Coulomb-like potential functions. Proc. 15th Workshop CASC (Computer Algebra in Scientific Computing), Berlin 2013. Springer. Lecture Notes in Computer Science. V.8136 , 2013, P. 412-426.

[?]. Uteshev A.Yu., Yashina M.V. On Maxwell’s Conjecture for Coulomb Potential Generated by Point Charges. Springer. Transactions on Computational Sciences XXVII. Lecture Notes in Computer Science. V.9570, 2016, pp. 68-80.

1) По состоянию на 2014 г.
2) На ссылочной странице он обозначен как \mathcal Y(y,m_2,m_3), т.е. без индекса 34.

2017/12/13 18:21 редактировал au