УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к разделу ☞ ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ И ЕЕ РАЗВИТИЕ.


Представление решения обобщенной задачи Ферма, альтернативное приведенному ☞ ЗДЕСЬ. Более громоздкий вид, но удалось удалить множитель S_{} из знаменателей представлений для координат x_{\ast} и y_{\ast} стационарной точки.

Т

Теорема. Обозначим величину угла треугольника P_1P_2P_{3} при вершине P_{j} через \alpha_j. Если нарушено j-е из трех условий

\ m_2^2+m_3^2+2\, m_2m_3 \cos \alpha_1 > m_1^2 , \ \ m_1^2+m_3^2+2\, m_1m_3 \cos \alpha_2 > m_2^2,\ m_1^2+m_2^2+2\, m_1m_2 \cos \alpha_3 > m_3^2\, ,

то минимум функции

F(x,y) = m_1 \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+m_2 \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}+m_3 \sqrt{(x-x_3)^2+(y-y_3)^2}

достигается в вершине P_{j}=(x_j,y_j). Если все неравенства выполняются, то \min F(x,y) достигается в точке P_{\ast} с координатами:

x_{\ast}=\frac{\sigma}{d}(k_{x,1}+k_{x,2}) \operatorname{sign} (S) + \frac{1}{4\sigma d} \mathbf{M}^{\top} \mathbf X \mathbf L,\quad y_{\ast}= -\frac{\sigma}{d}(k_{y,1}+k_{y,2}) \operatorname{sign} (S) + \frac{1}{4\sigma d} \mathbf{M}^{\top} \mathbf Y \mathbf L,

при

F(x_{\ast},y_{\ast})=\min_{(x,y)} F(x,y)=\sqrt{d} \ .

Здесь

d= 2\, |S| \sigma + \frac{1}{2}\left[m_1^2(r_{12}^2+r_{13}^2-r_{23}^2)+ m_2^2(r_{23}^2+r_{12}^2-r_{13}^2)+m_3^2(r_{13}^2+r_{23}^2-r_{12}^2) \right] \ ;
r_{j\ell}=\sqrt{(x_j-x_{\ell})^2+(y_j-y_{\ell})^2}=|P_jP_{\ell}| \quad npu \ \{j,\ell\} \subset \{1,2,3\} \ ;
S=x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_3y_2-x_2y_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array} \right| \ ;
\sigma= \frac{1}{2} \sqrt{-m_1^4-m_2^4-m_3^4+2\,m_1^2m_2^2+2\,m_1^2m_3^2+2\,m_2^2m_3^2} \ ;
k_{x,1}= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1^2 & y_2^2 & y_3^2 \end{array} \right| \ , k_{x,2}= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1y_1 & x_2y_2 & x_3y_3 \end{array} \right| \ ,
k_{y,1}= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right| \ , k_{y,2}= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ x_1y_1 & x_2y_2 & x_3y_3 \end{array} \right| \ ;
\mathbf X= \left( \begin{array}{ccc} x_1-x_2-x_3 & x_3 & x_2 \\ x_3 & -x_1+x_2-x_3 & x_1 \\ x_2 & x_1 & -x_1-x_2+x_3 \end{array} \right),
\mathbf Y= \left( \begin{array}{ccc} y_1-y_2-y_3 & y_3 & y_2 \\ y_3 & -y_1+y_2-y_3 & y_1 \\ y_2 & y_1 & -y_1-y_2+y_3 \end{array} \right) \ ;
\mathbf M = \left(\begin{array}{c} m_1^2 \\ m_2^2 \\ m_3^2 \end{array} \right) , \mathbf L= |S| \cdot \mathbf M + 2\, \sigma \, \mathbf R, \ \mathbf R= \left(\begin{array}{c} r_{23}^2 \\ r_{13}^2 \\ r_{12}^2 \end{array} \right) \ .

П

Пример. Для конфигурации

\begin{array}{c} P_{1}=(2,6) \\ m_{1}=3 \end{array}\ ; \ \begin{array}{c} P_{2}=(1,1) \\ m_{2}=5 \end{array} \ ; \ \begin{array}{c} P_{3}=(5,1) \\ m_{3}=4 \end{array}

точка P_{\ast} имеет координаты

x_{\ast} = \frac{751}{485} \approx 1.5484,\ y_{\ast}= \frac{647}{485} \approx 1.3340

при

F(x_{\ast},y_{\ast})=\min F(x,y) = \sqrt{970} \approx 31.1448 \ .

П

Пример. Для конфигурации

\begin{array}{c} P_{1}=(39,57) \\ m_{1}=18 \end{array}\ ; \ \begin{array}{c} P_{2}=(22,42) \\ m_{2}=41 \end{array} \ ; \ \begin{array}{c} P_{3}=(42,75) \\ m_{3}=52 \end{array} \ .

точка P_{\ast} имеет координаты

x_{\ast} = \frac{296577529815837}{9297789607234} +\frac{357441196078431}{6020318770684015} \sqrt{7511} \approx 37.0432 \ , y_{\ast} = \frac{271001243105952}{4648894803617} +\frac{432306390086253}{12040637541368030}\sqrt{7511} \approx 61.4053

при

F(x_{\ast},y_{\ast})=\min F(x,y) = \sqrt{3068047+3915\sqrt{7511}} \approx 1845.8994 \ .

Источники

[1]. Уланов Е.А., Утешев А.Ю. Аналитическое решение обобщенной задачи Ферма-Торричелли-Штейнера./ / Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 201–206.


2014/08/01 14:40