УказательРазделыАвторО проекте


Обозначения

Для множеств

\operatorname{Card} — используется для обозначения количества элементов в конечном множестве:

\operatorname{Card}(\{1,3,8,\pi\})=4 \ .

Числовые множества

\mathbb N — натуральных чисел;

\mathbb Z_{} — целых чисел;

\mathbb Q_{} — рациональных чисел;

\mathbb R_{} — вещественных чисел;

\mathbb C_{}комплексных чисел.

Целые числа

\operatorname{HOD}наибольший общий делитель;

\operatorname{HOK}наименьшее общее кратное;

\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} — представление числа в десятичной системе счисления:

\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} = {\mathfrak a}_1\times 10^s+{\mathfrak a}_2 \times 10^{s-1} + \dots +{\mathfrak a}_s \times 10 + {\mathfrak a}_{s+1} ;

A \equiv B \pmod{M} (или A \equiv_{_M} B) обозначает факт сравнимости A_{} с B_{} по модулю M_{}, т.е. что числа A_{} и B_{} имеют одинаковые остатки при делении на M_{} ;

x= A \pmod{M} понимается в смысле, что переменной x_{} присваивается значение остатка от деления числа A_{} на M_{};

\operatorname{ind}_{_{\Lambda}} Aиндекс числа A_{} по модулю p_{} и основанию \Lambda.

\mathbb Z_Mмножество классов вычетов по модулю M_{}.

Биномиальный коэффициент

C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{1\cdot 2 \times \dots \times k}

В англоязычной литературе обозначается {n \choose k}.

П

Пример.

C_n^1=n, C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}, C_{17}^5=\frac{17\cdot 16\cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =6188 \ .

Используется в формуле бинома Ньютона и в комбинаторике.

Свойства.

1. Биномиальный коэффициент — целое число.

2. При p_{} — простом все коэффициенты C_p^1, C_p^2,\dots,C_p^{p-1} делятся на p_{}. Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

3. C_n^{k}=C_n^{n-k} при любом k\in \{0,\dots,n \}.

4. C_n^k + C_n^{k+1}= C_{n+1}^{k+1} при любом k\in \{0,\dots,n-1 \}.

5. Число сочетаний из n_{} элементов по k_{} элементов равно C_n^{k}.

Функция Эйлера

или тотиент натурального числа A_{} обозначается \phi (A) и представляет собой количество чисел ряда

0,1, \dots, A-1 \ ,

взаимно простых c A_{}.

П

Пример. \phi (1)=1, \, \phi (2)=1, \, \phi (3)=2, \, \phi (4)=2, \, \phi (5)=4, \, \phi (6)=2, \phi (7)=6 ,\, \phi (8)=4 , \, \phi (12)=4.

Подробнее ЗДЕСЬ.

Символ Кронекера

\delta_{jk}= \left\{ \begin{array}{rcc} 1 & npu & j=k; \\ 0 & npu & j\ne k_{}. \\ \end{array} \right.

Вещественные числа

Знак числа

\operatorname{sign} — знак числа1); определяется для вещественного числа x_{} по правилу

\operatorname{sign}\, (x) = \left\{ \begin{array}{rcc} +1 & npu & x>0; \\ 0 & npu & x=0 ; \\ -1 & npu & x<0. \end{array} \right.

Целая часть числа

определяется для любого вещественного числа x_{} как наименьшее целое число, не превосходящее x_{}. Обозначается \lfloor x \rfloor.

П

Пример.

\lfloor 5.37 \rfloor = 5, \ \lfloor \pi \rfloor = 3,\ \lfloor -34.4 \rfloor =-35,\ \lfloor -0.(123) \rfloor = -1 \ .

Обозначение \lfloor \ \ \ \rfloor по-английски называется floor (пол); оно получило распространение в последние десятилетия. В литературе встречаются также обозначения [x] или2) E (x).

Справедливо следующее свойство функции \lfloor x \rfloor:

\lfloor x \rfloor + \left \lfloor x+\frac{1}{n} \right \rfloor + \left \lfloor x+\frac{2}{n} \right \rfloor + \dots + \left \lfloor x+\frac{n-1}{n} \right \rfloor = \lfloor nx \rfloor

для любого натурального n_{}.

Число знакопостоянств (знакоперемен)

определяется для конечной последовательности вещественных чисел A_{1},\dots, A_n, (n\ge 2). Если числа A_{1} и A_{2} — одного знака, то говорят, что имеет место знакопостоянство (или постоянство знака) , если разного — то знакоперемена (или перемена знака). Вводят счетчики3) {\mathcal P}_{} знакопостоянств и знакоперемен {\mathcal V}_{}, полагая

{\mathcal P} (A_1,A_2) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & npu & A_1A_2 > 0 \\ 0 & npu & A_1A_2 < 0 \end{array} \right. \ ; \ {\mathcal V} (A_1,A_2) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & npu & A_1A_2 < 0 \\ 0 & npu & A_1A_2 > 0 \end{array} \right. \ .

Число знакопостоянств (-перемен) в последовательности A_{1},\dots, A_n определяется как сумма этих величин, вычисленных для соседних членов:

{\mathcal P} (A_1,\dots, A_n)={\mathcal P} (A_1,A_2) + {\mathcal P} (A_2,A_3)+ \dots + {\mathcal P} (A_j,A_{j+1})+ \dots +{\mathcal P} (A_{n-1},A_n),
{\mathcal V} (A_1,\dots, A_n)={\mathcal V} (A_1,A_2) + {\mathcal V} (A_2,A_3)+ \dots + {\mathcal V} (A_j,A_{j+1})+ \dots +{\mathcal V} (A_{n-1},A_n) \ .
П

Пример.

{\mathcal P} (-2, \sqrt{5.3}, 2.818, 123, -0.5, -33)=
={\mathcal P} (-2, \sqrt{5.3})+ {\mathcal P} (\sqrt{5.3}, 2.818) + {\mathcal P} ( 2.818,123)+{\mathcal P} (123,-0.5)+{\mathcal P} (-0.5, -33)=0+1+1+0+1=3 \ ,
{\mathcal V} (-2, \sqrt{5.3}, 2.818, 123, -0.5, -33)=2 \ .

§

При наличии нулей среди чисел A_{1},\dots, A_n иногда устанавливается дополнительное правило, что при подсчете знакопостоянств (-перемен) нулевые значения пропускаются (не учитываются). В случае когда все A_{1},\dots, A_n ненулевые, имеет место равенство:

{\mathcal P} (A_1,\dots, A_n)+{\mathcal V} (A_1,\dots, A_n)=n-1 \ .

Комплексные числа

\mathbf i — мнимая единица;

\mathfrak{R}\mathbf{e} (z) и \mathfrak{I}\mathbf{m}(z) — соответственно, вещественная и мнимая части числа z_{}: \mathfrak{R}\mathbf{e} (a+ \mathbf i \, b )= a,\ \mathfrak{I}\mathbf{m}(a+ \mathbf i \, b )= b (при вещественных a_{} и b_{});

\overline{z}комплексное сопряжение числа z_{}: \overline{a+ \mathbf i \, b}= a- \mathbf i \, b (при вещественных a_{} и b_{});

\operatorname{arg}(z)аргумент числа z_{};

\mathbb C_{} — множество комплексных чисел.

Матрицы и определители

Для матрицы A_{} через A^{[j]} обозначаем ее j_{}-ю строку, а через A_{[k]} — ее k_{}-й столбец;

{}^{\top}транспонирование;

\midконкатенация;

\detопределитель;

\operatorname{rank}ранг;

\operatorname{Sp}_{}след;

n_{+} и n_{-}положительный и отрицательный индексы инерции симметричной матрицы (и соответствующей квадратичной формы.

A\doteq B — означает, что квадратные матрицы A_{} и B_{} подобны, т.е. существует неособенная матрица C_{} такая, что C^{-1}AC=B.

Выделим в матрице A_{} строки с номерами \alpha_{1},\alpha_2, \dots,\alpha_k и столбцы с номерами \beta_{1},\beta_2,\dots ,\beta_{k}. Здесь \{\alpha_j, \beta_j \}_{j=1}^k \subset \{1,2,\dots, n\} и \alpha_{1}<\alpha_2< \dots <\alpha_k, \beta_{1}<\beta_2<\dots<\beta_k.

Элементы a_{\alpha_{_j} \beta_{_{\ell}}}, стоящие в этих строках и столбцах, составляют определитель k_{}-го порядка:

A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\ \dots & & \dots \\ a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k} \end{array} \right|.

Он называется минором k_{}-го порядка матрицы A_{} (или определителя \det A_{}).

Для случая квадратных матриц, минор вида

A\left( \begin{array}{lll} 1 & \dots & k \\ 1 & \dots & k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & \dots & a_{1k} \\ \dots & & \dots \\ a_{k1} & \dots & a_{kk} \end{array} \right|,

т.е. стоящий в левом верхнем углу матрицы, в настоящем ресурсе называется главным минором порядка k.

§

См. замечание о неоднозначности этого определения в современной литературе ЗДЕСЬ.

Полиномы

\degстепень;

\operatorname{HOD}наибольший общий делитель;

\operatorname{nrr}число вещественных корней;

\mathcal Dдискриминант;

\mathcal Rрезультант;

\mathbb Z[x], \mathbb Q[x], \mathbb R[x], \mathbb C[x] — множества полиномов от переменной x_{} с коэффициентами целыми, рациональными, вещественными, комплексными соответственно (аналогично для случая полиномов от нескольких переменных).

\mathbb P_n^{} — множество полиномов с вещественными коэффициентами степеней \le n_{}; кроме того, множество содержит тождественно нулевой полином.

Линейные пространства

\dimразмерность линейного пространства;

\mathcal L(X_1,\dots,X_k) линейная оболочка векторов X_1,\dots,X_k;

\oplusпрямая сумма линейных подпространств (следует отличать от XOR операции сложения по модулю 2_{});

\mathbb V / \mathbb V_1факторпространство пространства \mathbb V_{} над подпространством \mathbb V_1.

Евклидовы пространства

\mathbb E_{} — обозначение евклидова пространства;

\langle X_{},Y \rangleскалярное произведение;

G_{} (X_1,\dots,X_m) матрица Грама, \mathfrak{G}_{} (X_1,\dots,X_m) определитель Грама системы векторов \{ X_1,\dots,X_{m} \};

|X| = \sqrt{ \langle X,X \rangle}длина вектора X_{};

X \bot Y означает, что векторы X_{} и Y_{} ортогональны;

X^{^{\parallel}}ортогональная проекция вектора X_{} на данное подпространство, X^{^{\bot}}ортогональная составляющая вектора X_{} относительно данного подпространства (или перпендикуляр, опущенный из конца вектора X_{} на подпространство);

\mathbb E_1^{^{\bot}} — ортогональное дополнение подпространства \mathbb E_1.

Линейные отображения

\mathcal{K}er (\mathcal A)ядро отображения \mathcal A;

\operatorname{dfc}(\mathcal A ) — дефект линейного отображения \mathcal A, т.е. \dim (\mathcal{K}er (\mathcal A ));

\mathcal{I}m(\mathcal A)образ отображения \mathcal A, (следует отличать от \mathfrak{I}\mathbf{m}(z)мнимой части комплексного числа z_{});

\operatorname{rank}(\mathcal A ) — ранг линейного отображения \mathcal A, т.е. \dim (\mathcal{I}m (\mathcal A )).

Группы, поля

\mathbb Gгруппа;

\mathbb Hподгруппа;

\mathbb G / \mathbb Hфакторгруппа группы \mathbb G_{} по (нормальной) подгруппе \mathbb H;

\operatorname{Card}порядок (число элементов) группы; в ресурсе используется также для обозначения количества элементов в конечном множестве;

\langle {\mathfrak a} \rangleциклическая группа, порожденная элементом {\mathfrak a};

\mathbb Fполе;

\mathbf{GF}(p^m)поле Галуа.

1) signum (лат.) — знак
2) Entier (фр.) — целый.
3) Permanences (англ.) — постоянства, variations (англ.) — перемены.

2018/02/05 10:08 редактировал au