Задачи

1. Построить систему л.у., для которой строки $(1,1,1,1)$ и $(0,1,-1,1)$ составляют фундаментальную систему решений.

2. Пусть $P_{}$ — ортогональная матрица порядка $n_{}$ и $P^{[1]},P^{[2]},\dots, P^{[n]}$ — ее строки. Выберем произвольным образом $k<n$ строк и составим систему однородных л.у.

$P^{[j_1]}X=0,\dots, P^{[j_k]}X=0 \ .$

Показать, что оставшиеся строки составляют фундаментальную систему решений для этой системы.

3. Найти общее решение системы л.у.

$\left(\begin{array}{cccccc} 430 & 150 & 28 & 14 & 6 & 1\\ 645 & 200 & 30 & 15 & 4 & 0\\ -15 & 10 & 6 & 3 & 2 & 0\\ 1150 & 370 & 60 & 30 & 10 & 1\\ 135& 50 & 10 & 5 & 2 & 0\\ 70 & 40 & 12 & 6 & 4 & 1 \end{array} \right)\cdot X = \left(\begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 5 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \ .$

4. Решить систему л.у. по формулам Крамера:

$\left\{ \begin{array}{rrrrrrrrc} -3\,x_1&+x_2& & & & & & &=1, \\ 2\,x_1 &-3\,x_2 & +x_3 & & & & & &=0, \\ & 2\,x_2 & -3\,x_3 & + x_4 & &&& & = 0, \\ & & & \ddots & & & & & \vdots \\ & & & & & 2\,x_{n-2}&-3\,x_{n-1}& + x_n & = 0, \\ & & & & & & 2\,x_{n-1}&-3\,x_{n}&=0. \end{array} \right.$

5. Найти все значения параметра $\alpha_{}$ , при которых система л.у.

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & \alpha & 1 \\ 4 & 9 & \alpha^2 & 1 \\ 8 & 27 & \alpha^3 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\, \alpha \\ 4 \alpha^2 \\ 8\, \alpha^3 \end{array} \right)$

будет несовместной.