УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к пункту МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ МЕТОДА ГАУССА


Т

Теорема [LDU-разложение матрицы]. Для того, чтобы неособенная матрица A_{} могла быть представлена в виде произведения

A= L \cdot D \cdot U

диагональной матрицы D_{}, а также нижней L_{} и верхней U_{} треугольных матриц с единицами на их главных диагоналях1) необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры \det A_1,\dots,\det A_n=\det A были ненулевыми. В этом случае представление матрицы в виде такого произведения единственно, при этом матрица D_{} имеет следующую структуру:

D=\left( \begin{array}{ccccc} \det A_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \det A_2/ \det A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \det A_3/ \det A_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \det A_n/ \det A_{n-1} \end{array} \right) \ .

Доказательство. Необходимость. Обозначим через L_k,\, D_k,\, U_k главные подматрицы матриц L,\, D,\, U соответственно:

L_k=\left( \begin{array}{llll} 1& & & \\ \ell_{21} & 1& & \mathbb O \\ \vdots & & \ddots & \\ \ell_{k1} &\ell_{k2} & \dots & 1 \end{array} \right) \ , \ D_k= \left( \begin{array}{llll} d_{11}& & & \\ & d_{22}& & \mathbb O \\ \mathbb O & & \ddots & \\ & & & d_{kk} \end{array} \right) \ , \ U_k= \left( \begin{array}{llll} 1& u_{12}& \dots & u_{1k} \\ & 1& \dots & u_{2k} \\ \mathbb O & & \ddots & \vdots \\ & & & 1 \end{array} \right) \, .

Если справедливо представление A= L D U, то справедливо и аналогичное матричное равенство для блоков участвующих матриц:

A_k=L_k\, D_k\, U_k \quad npu \quad \forall k \, .

Переходя к определителям, получим

\det A_k=\det D_k =d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{kk} \, .

Последнее равенство при k=n дает:

\det A= \det A_n=d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{nn} \ne 0 \, ,

поскольку, по предположению, \det A \ne 0. Следовательно, все числа d_{11},\dots,d_{nn} отличны от нуля, но тогда и все главные миноры \{ \det A_k \}_{k=1}^n отличны от нуля.

Достаточность. Предположим теперь, что выполнены условия \{ \det A_k\ne 0 \}_{k=1}^n. Будем строить матрицы из представления A= L \cdot D \cdot U построчно. Для элемента a_{11} это представление влечет за собой равенство

a_{11}=1 \cdot d_{11} \cdot 1 \ \Rightarrow \ d_{11} = a_{11} \, ,

т.е. d_{11} определяется однозначно. Предположим, что нам удалось построить k-1 первых строк и столбцов матриц L,\, D,\, U. Построим k-ые:

L_k =\left( \begin{array}{ll} L_{k-1} & \mathbb O \\ Y & 1 \end{array} \right) \ , \ D_k=\left( \begin{array}{ll} D_{k-1} & \mathbb O \\ \mathbb O & d_{kk} \end{array} \right) \ , \ R_k =\left( \begin{array}{ll} R_{k-1} & X \\ \mathbb O & 1 \end{array} \right) \, ;

здесь элементы столбца X_{(k-1)\times 1}, строки Y_{1 \times (k-1)} и d_{kk} пока не определены. Для их определения обратимся к равенству

A_k=L_k\, D_k\, U_k \, ,

выделив для удобства в матрице A_k элементы последней строки и последнего столбца:

A_k =\left( \begin{array}{ll} A_{k-1} & W \\ V & a_{kk} \end{array} \right) \quad , \quad где \quad W= \left( \begin{array}{ll} a_{1k} \\ \vdots \\ a_{k-1,k} \end{array} \right) \ , \ V = \left(a_{k1},\dots,a_{k,k-1} \right) \, .

В этих обозначениях равенство A_k=L_k\, D_k\, U_k переписывается в виде системы матричных уравнений

\left\{ \begin{array}{ll} L_{k-1} D_{k-1} U_{k-1}=A_{k-1} \ , & L_{k-1} {\bf D}_{k-1} X=W, \\ Y D_{k-1} U_{k-1} =V \ , & Y D_{k-1}X+d_{kk}=a_{kk}\, . \end{array} \right.

Поскольку, по индукционному предположению, матрицы L_{k-1},\, D_{k-1} и U_{k-1} определяются однозначно и при этом \det D_{k-1} =\det A_{k-1} \ne 0, то однозначно определяются и ряды X и Y:

X=\left(L_{k-1} {\bf D}_{k-1} \right)^{-1} W,\quad Y=V \left(D_{k-1} U_{k-1} \right)^{-1} \, ;

тогда однозначно определится и элемент матрицы D_{k}:

d_{kk}=a_{kk} -YD_{k-1}X= a_{kk} -V A_{k-1}^{-1}W \ .

На основании равенства

\det A_k=\det D_k =d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{kk} \, .

и предположения \det A_k \ne 0, элемент d_{kk} отличен от нуля. Итак, элементы k-х рядов матриц L,\, D,\, U определяются однозначно. На основании индукции, получаем справедливость утверждения для любых рядов искомых матриц.

Источники

[1]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984

1) Такие матрицы называются унитреугольными.

2019/03/13 13:28 редактировал au