УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательный раздел к разделу СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Сложность — повышенная. Предполагается понимание операции умножения на матрицы элементарных преобразований.


Матричный формализм метода Гаусса

Явное выражение коэффициентов преобразованной системы

Выделим из полной системы уравнений

\left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ \ldots&+a_{mn}x_n &=b_m. \end{array} \right.

ее подсистему, состоящую из первых k_{} уравнений

\left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{k1}x_1 &+a_{k2}x_2&+ \ldots&+a_{kn}x_n &=b_k. \end{array} \right.

Применим к этой подсистеме прямой ход метода Гаусса. Напомним, что он заключается в использовании элементарных преобразований, нацеленных на последовательное исключение неизвестных x_1,\dots,x_{k}. Предположим, что в ходе этих элементарных преобразований удалось привести подсистему к трапециевидной форме

\left\{ \begin{array}{llllllrl} a_{11}x_1 +&a_{12}x_2&+ \ldots& +a_{1k}x_k& +a_{1 ,k +1}x_{k+1}&+ \ldots + & a_{1n}x_n &=b_1,\\ &a_{22}^{[1]}x_2&+ \ldots& +a_{2k}^{[1]} x_k& +a_{2 ,k+1}^{[1]} x_{k+1}&+ \ldots + & a_{2n}^{[1]} x_n &=b_2^{[1]},\\ & & \ddots & & & & & \dots \\ & & & a_{kk}^{[k-1]}x_{k} & + a_{k ,k +1}^{[k-1]}x_{k+1}& + \ldots + & a_{k ,n}^{[k-1]}x_n &=b_{k}^{[k-1]}, \end{array} \right.

т.е. по крайней мере, подсистема является совместной. Тогда совершенно очевидно, что и исходная система в ходе тех же элементарных преобразований преобразуется к виду, у которого первые k_{} уравнений будут совпадать с только что приведенными. Нас интересует последнее уравнение получившейся подсистемы, а именно

a_{kk}^{[k-1]}x_{k} + a_{k ,k +1}^{[k-1]}x_{k+1} + \ldots + a_{k ,n}^{[k-1]}x_n =b_{k}^{[k-1]} \ .

Задача. Найти явное выражение коэффициентов последнего уравнения в виде функций коэффициентов исходной системы.

Предположим сначала, что коэффициент при x_{k} отличен от нуля:

a_{kk}^{[k-1]} \ne 0 \ ,

тогда из последнего уравнения можно однозначно выразить x_{k} в виде функции x_{k+1}, \dots, x_n:

x_{k} =- \frac{a_{k ,k +1}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}}x_{k+1} - \ldots - \frac{a_{k ,n}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}} x_n +\frac{b_{k}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}} \ .

С другой стороны, переписав подсистему в виде:

\left\{ \begin{array}{rrrr} a_{11}x_1+\dots+a_{1k}x_{k}&=&b_1-& (a_{1,k+1}x_{k+1}+ \dots +a_{1n}x_n), \\ \dots & & & \\ a_{k1}x_1+\dots+a_{kk}x_{k} &=&b_k-&(a_{k,k+1}x_{k+1}+\dots +a_{kn}x_n). \end{array} \right.

мы можем попытаться выразить неизвестные x_1,\dots,x_k через оставшиеся неизвестные x_{k+1},\dots,x_n, воспользовавшись формулами Крамера. Если определитель матрицы в левой части отличен от нуля:

\left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right|\ne 0 \ ,

то система однозначно разрешима относительно x_1,\dots,x_k. Нас интересует выражение для x_k:

x_k =\frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} &\left[ b_1-(a_{1,k+1}x_{k+1}+\dots +a_{1n}x_n) \right] \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & \left[ b_k- (a_{k,k+1}x_{k+1}+\dots +a_{kn}x_n) \right] \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| }

Или, разложив последний столбец определителя в числителе в сумму столбцов, воспользуемся свойством 5 определителя (см. ЗДЕСЬ ):

x_k=- \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1,k+1} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{k,k+1} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| }x_{k+1} - \dots - \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1n} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kn} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| } x_n +
+ \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & b_1 \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & b_k \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| } \ .

Итак, получено еще одно представление для x_{k} в виде функции x_{1},\dots,x_{k-1}. Из единственности этого представления следует явное выражение коэффициентов уравнения из метода Гаусса:

\frac{a_{k ,k +1}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}}= \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1,k+1} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{k,k+1} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| },\dots, \frac{a_{k ,n}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}}= \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1n} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kn} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| },
\frac{b_{k}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}} = \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & b_1 \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & b_k \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| } \ .

Из последнего утверждения следует справедливость следующих равенств

a_{kk}^{[k-1]}=L \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right|,\ a_{k ,k +1}^{[k-1]}=L \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1,k+1} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{k,k+1} \end{array} \right|,\ \dots,
a_{k ,n}^{[k-1]}= L\left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1n} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kn} \end{array} \right|,\ b_{k}^{[k-1]}=L \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & b_1 \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & b_k \end{array} \right| \ .

при некотором множителе L_{}. Утверждается, что

L=1 \Bigg/ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} \\ \dots &&\dots \\ a_{k-1,1} & \dots &a_{k-1,k-1} \end{array} \right| \, .
П

Пример. Для системы л.у.

\left\{ \begin{array}{rrrrr} 2\,x_1&+3\,x_2&+4\, x_3&-7\, x_4 =& 1, \\ 3\,x_1&+2\,x_2&-3\,x_3&+x_4 =& 2, \\ -x_1&&+4\,x_3 &- x_4 =& -1, \\ 7\,x_1&-x_2&+2\, x_3&+3\,x_4 =& 3. \end{array} \right.

получить третье уравнение из прямого хода метода Гаусса.

Решение. Имеем:

\frac{\left| \begin{array}{rrr} 2&3&4 \\ 3& 2&-3 \\ -1&0& 4 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{rr} 2&3 \\ 3& 2& \end{array} \right|}x_3+ \frac{\left| \begin{array}{rrr} 2&3&-7 \\ 3& 2&1 \\ -1&0& -1 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{rr} 2&3 \\ 3& 2& \end{array} \right|} x_4 = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 2&3&1 \\ 3& 2&2 \\ -1&0& -1 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{rr} 2&3 \\ 3& 2& \end{array} \right|} \quad \iff \quad \frac{3}{5}\, x_3 +\frac{12}{5}\, x_4 =-\frac{1}{5} \, .
Т

Теорема. Для того чтобы в прямом ходе метода Гаусса можно было последовательно (и без пропусков) исключить переменные x_1,x_2,\dots,x_k (т.е. j_{}-е уравнение имело коэффициент при x_j отличным от нуля) необходимо и достаточно чтобы все главные миноры матрицы A_{} порядков от 1_{} до k были бы отличны от нуля:

a_{11} \ne 0, \left| \begin{array}{rr} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right|\ne 0, \dots , \left| \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} \end{array} \right|\ne 0 \, .

§

Материалы настоящего пункта имеют исключительно теоретическое значение — никто не считает коэффициенты уравнений из метода Гаусса посредством определителей: накладно! Однако в следующем пункте полученные теоретические выводы будем постепенно превращать в конструктивные алгоритмы, которые востребованы в других задачах.

Матричный формализм

LU-разложение матрицы

Продолжим исследование метода Гаусса с точки зрения на систему линейных уравнений как на матричное уравнение

AX= {\mathcal B} \ ;

снова ограничиваясь лишь случаем квадратной матрицы A_{}. Напомним, что метод Гаусса состоит из двух стадий. Первая из них — прямой ход — фактически не задействовала сами неизвестные x_{1},\dots,x_n: действия производились только над коэффициентами — строками матрицы A_{} и элементами столбца правых частей {\mathcal B}_{}.

П

Пример. Решить систему л.у.

\left\{ \begin{array}{rrrrr} x_1&+2\,x_2&-11\, x_3&+2\, x_4 =&- 14, \\ 3\,x_1 &+3\,x_2&+4\,x_3&-5\,x_4 =& 9, \\ 5\,x_1&-7\,x_2 & +8\,x_3&+2\, x_4 =& 18, \\ 7\,x_1&+8\,x_2&+3\, x_3&+4\,x_4 =& -2. \end{array} \right.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

\left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 3&3&4&-5 & 9 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right)

и будем выполнять элементарные преобразования над ее строками:

\rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 0&-17&63&-8& 88 \\ 0&-6&80&-10 & 96 \end{array} \right) \quad \rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 0&0&-\frac{440}{3}&\frac{163}{3}& -201 \\ 0&0&6&12 & -6 \end{array} \right) \quad \rightarrow
\quad \rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 0&0&-\frac{440}{3}&\frac{163}{3}& -201 \\ 0&0& 0 & \frac{3129}{220} & -\frac{3129}{220} \end{array} \right)

Фактически мы просто переписали прямой ход метода Гаусса в терминах матрицы коэффициентов системы. Последняя получившаяся матрица определит треугольный вид преобразованной системы. Очевидно, на этом этапе алгоритма, нет необходимости иметь дело именно с такими объектами как «линейное уравнение» и «неизвестная величина»: пока что все действия производятся с объектом «строка матрицы». Попробуем записать эти действия в терминах операции умножения матриц. Для этой цели нам потребуются матрицы элементарных преобразований. Итак, на первом шаге метода Гаусса расширенная матрица системы

\left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 3&3&4&-5 & 9 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right)

преобразуется следующим образом: первая строка, домноженная на число 3_{} вычитается из второй строчки. Результатом этого действия будет матрица, которая совпадает с результатом умножения исходной матрицы слева на матрицу элементарных преобразований, а именно

\underbrace{\left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{array} \right)}_{=T_1} \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 3&3&4&-5 & 9 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right) \ .

Следующий шаг заключается заключается в вычитании из третьей строки полученной матрицы первой, домноженной на 5_{}. Это эквивалентно следующему умножению:

\underbrace{\left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{array} \right)}_{=T_2} \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 0&-17&63&-8& 88 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right) \ .

Результат третьего шага достигается домножением полученной матрицы на матрицу элементарных преобразований

T_3= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 \\ -7 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \ .

Понятно, что общий результат первых трех шагов получится если исходную матрицу системы умножить на произведение всех использованных матриц преобразований, т.е. на матрицу

T_{321}=T_3T_2T_1= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 0& 1 & 0 \\ -7 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \ .
§

Вообще говоря, при вычислении произведения матриц порядок следования сомножителей существен; однако для нашего конкретного случая матрицы в произведении можно переставлять — они коммутируют.

Следующие преобразования из метода Гаусса описываются на матричном языке по аналогии:

T_4= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{17}{3}& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \ , \ T_5 \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0& 1 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad T_{54}= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{17}{3}& 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0& 1 \end{array} \right) \ .

И, наконец, последнее домножение производится на матрицу

T_6= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{9}{220}& 1 \end{array} \right) \ .

Окончательный результат является итогом произведения всех участвующих матриц T_{j}:

T=T_6T_{54}T_{321}= \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 12 & -\frac{17}{3}& 1 & 0 \\ -\frac{28}{55} & -\frac{491}{220} & \frac{9}{220}& 1 \end{array} \right)

на расширенную матрицу системы.

§

А вот в последнем произведении переставлять сомножители нельзя!

Вместо того, чтобы домножать расширенную матрицу A \mid \mathcal B на матрицу T_{} мы могли бы иметь дело с исходной системой линейных уравнений:

AX= {\mathcal B} \ .

Домножение ее (слева) на построенную матрицу T_{} приводит систему к новой

(TA) X = T{\mathcal B} ;

в которой матрица

U= TA

имеет верхнетреугольный вид. Теперь рассмотрим повнимательней структуру матрицы T_{}. Во-первых, она оказывается нижнетреугольной. Во-вторых, на ее главной диагонали стоят единицы. Как следствие, \det T=1, т.е. матрица T_{} является неособенной. Развиваем успех: из последнего матричного равенства можно выразить матрицу A_{} в виде произведения:

A=T^{-1}U \ .

Легко проверить, что обратная к нижнетреугольной матрице T_{} снова будет нижнетреугольной, и на главной диагонали снова будет иметь единицы. Обозначим L=T^{-1}.

Представление произвольной квадратной матрицы A_{} в виде произведения нижнетреугольной матрицы L_{} и верхнетреугольной матрицы U_{} называется LU-разложением матрицы. Это разложение не всегда существует.

П

Пример. Попытка построить LU-разложение для матрицы

A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)

по методу неопределенных матриц:

L= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \ell_{21} & 0 \end{array} \right) , \quad U= \left(\begin{array}{cc} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array} \right)

заканчивается фиаско…

Т

Теорема. Для того, чтобы матрица A_{} могла быть представлена в виде произведения

A=L \cdot U

невырожденной нижнетреугольной матрицы L_{} с единицами на главной диагонали1) на верхнетреугольную матрицу U_{} необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы A_{} были отличны от нуля. При выполнении этого условия, указанное LU-разложение будет единственно.

§

Появление в условии теоремы главных миноров матрицы A_{} кажется, на первый взгляд, неожиданным. Тем не менее, если вспомнить, что стартовой точкой рассуждений о возможности разложения матрицы в произведение явился метод Гаусса решения системы линейных уравнений, то эти миноры обнаруживаются в предыдущем ПУНКТЕ, а также ЗДЕСЬ. Условие необращения их в нуль означает, что в прямом ходе метода Гаусса не возникает исключительных случаев, требующих перестановки уравнений и/или переобозначения неизвестных.

LDU-разложение матрицы

Можно доказать, что существование LU-разложения для матрицы A_{} гарантирует, что и матрица U^{\top} допускает LU-разложение: главные миноры матриц A_{} и U_{} совпадают. Из разложения

U^{\top} = L_1\cdot U_1

при матрице L_1 нижнетреугольной и U_1 — верхнетреугольной следует, что

U_1=L_1^{-1} U^{\top} \ .

Поскольку обе матрицы в правой части являются нижнетреугольными, то и их произведение также будет нижнетреугольной матрицей. Таким образом, матрица U_1 должна быть одновременно верхне- и нижнетреугольной. Следовательно, она — диагональная U_1 = D и

U^{\top} = L_1\cdot D \quad \Rightarrow \quad U=D \cdot R

при R=L_1^{\top} — верхнетреугольной с единицами на главной диагонали. Мы приходим к следующему результату (в котором используем упрощение обозначений — по-честному, нужно было бы у матриц L_{} и U_{} поставить новые индексы…):

Т

Теорема. Для того, чтобы неособенная матрица A_{} могла быть представлена в виде произведения

A= L \cdot D \cdot U

диагональной матрицы D_{}, а также нижней L_{} и верхней U_{} треугольных матриц с единицами на их главных диагоналях необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры \det A_1,\dots,\det A_n=\det A были ненулевыми. В этом случае представление матрицы в виде такого произведения единственно, при этом матрица D_{} имеет следующую структуру:

D=\left( \begin{array}{ccccc} \det A_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \det A_2/ \det A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \det A_3/ \det A_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \det A_n/ \det A_{n-1} \end{array} \right) \ .

Доказательство ЗДЕСЬ.

Представление произвольной квадратной матрицы A_{} в виде произведения нижнетреугольной матрицы L_{}, диагональной матрицы D_{} и верхнетреугольной матрицы U_{} называется LDU-разложением матрицы A_{}.

П

Пример. Для матрицы системы из приведенного выше примера имеем:

\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 12 & -\frac{17}{3}& 1 & 0 \\ & & & \\ -\frac{28}{55} & -\frac{491}{220} & \frac{9}{220}& 1 \end{array} \right) \underbrace{\left( \begin{array}{rrrr} 1&2&-11&2 \\ 3&3&4&-5 \\ 5&-7&8&2 \\ 7&8&3&4 \end{array} \right)}_{A}= \left( \begin{array}{rrrr} 1&2&-11&2 \\ 0&-3&37&-11 \\ 0&0&-\frac{440}{3}&\frac{163}{3} \\ & & & \\ 0&0& 0 & \frac{3129}{220} \end{array} \right) \ ;

транспонировав матрицу в правой части равенства, приведем ее к нижнетреугольному ( = диагональному) виду:

\left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ -2&1&0&0 \\ -\frac{41}{3}&\frac{37}{3}&1& 0 \\ & & & \\ \frac{119}{440} &\frac{397}{440}& \frac{163}{440} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ 2&-3&0&0 \\ -11&37&-\frac{440}{3}& 0 \\ & & & \\ 2&-11& \frac{163}{3} & \frac{3129}{220} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ 0&-3&0&0 \\ 0&0&-\frac{440}{3}& 0 \\ & & & \\ 0&0& 0 & \frac{3129}{220} \end{array} \right) \ .

Обращением треугольных матриц получаем LDU-представление матрицы A_{}:

A= \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ 3&1&0&0 \\ 5&\frac{17}{3}&1& 0 \\ & & & \\ 7 &2& -\frac{9}{220} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ 0&-3&0&0 \\ 0&0&-\frac{440}{3}& 0 \\ & & & \\ 0&0& 0 & \frac{3129}{220} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1&2&-11&2 \\ 0&1&-\frac{37}{3}&\frac{11}{3} \\ & & & \\ 0&0& 1 & -\frac{163}{440} \\ & & & \\ 0&0& 0 & 1 \end{array} \right) \ .

Для контроля приведем величины главных миноров матрицы A_{}:

A_1=1,\ A_2= \left| \begin{array}{rr} 1&2 \\ 3&3 \end{array} \right|=-3,\ A_3= \left| \begin{array}{rrrr} 1&2&-11 \\ 3&3&4 \\ 5&-7&8 \end{array} \right|=440,\ A_4=\det A=6258 \ .

=>

Для того, чтобы неособенная симметричная матрица A_{} могла быть представлена в виде произведения

A= U^{\top} \cdot D \cdot U

где D_{} — диагональная матрица, а U_{} — верхнетреугольная матриц с единицами на главной диагонали, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры \det A_1,\dots,\det A_n=\det A были ненулевыми. В этом случае представление матрицы в виде такого произведения единственно, при этом матрица D_{} имеет структуру из предыдущей теоремы.

Доказательство необходимости аналогично общему случаю. Обратно, при выполнении условия теоремы, существует единственное LDU-разложение матрицы A_{}. При транспонировании оно должно сохраниться:

LDU=A=A^{\top}=U^{\top} D L^{\top}\, .

В силу единственности разложения, имеем: L=U^{\top}.

Источники

[1]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.

[2]. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.Наука.1983

[3]. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.Мир.1980

1) Такие матрицы называются унитреугольными.

2017/02/20 13:22 редактировал au