Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте
Вспомогательная страница к пункту ☞ СИСТЕМА ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
Задача. Найти фундаментальную систему решений (ФСР) для системы
Здесь —
-матрица;
— столбец неизвестных.
Нижеприведенный способ я нашел в статье [1]. В которой обоснование не приводится, а делается ссылка на книгу [2]. В последней я не нашел не то чтобы обоснования, но и самого метода — уж очень он сильно там «замаскирован»
Способ напоминает вычисление обратной матрицы методом приписывания единичной матрицы. Транспонируем матрицу системы и припишем к ней справа единичную матрицу порядка
:
здесь означает конкатенацию.
Получившуюся матрицу элементарными преобразованиями строк приводим к форме:
Элементы трапециевидной матрицы , обозначенные
, могут быть равны нулю, но
. В этом случае строки матрицы
, образовавшейся в правом нижнем углу (ее элементы обозначены
), составляют ФСР для системы
.
Cледующее обоснование метода — мое, и оно повторяет рассуждения, обосновывающие метод обращения матрицы путем приписыванием единичной матрицы.
Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных :
Здесь . Перепишем эту систему в матричном виде
Применим к этой системе метод Гаусса — приведем матрицу элементарными преобразованиями к трапециевидной форме. Если , то получим:
здесь матрица — трапециевидная порядка
и
, а матрица
имеет порядок
. Получившаяся система эквивалентна исходной. Однако из нее следует, что
Домножаем исходное уравнение слева на матрицу
:
Это соотношение должно выполняться для любого столбца , в том числе при выборе его как столбца единичной матрицы:
Объединяя эти равенства в матричное равенство, получаем:
Это означает, что все строки матрицы являются решениями системы однородных уравнений
. Все эти строки линейно независимы, поскольку
Последнее утверждение следует из того факта, что элементарные преобразования, приводящие матрицу к виду
не меняют ранга этой матрицы. Ранг исходной матрицы равен , а в получившейся блочно-треугольной матрице
по построению.
Пример. Найти ФСР для системы уравнений
Решение. Преобразуем матрицу
к трапециевидной форме с помощью элементарных преобразований строк:
Ответ.1) .
В статье [1] способ обобщается и для решения задачи получения общего решения системы неоднородных уравнений
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
Решение. Составляем матрицу:
C помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к трапециевидной форме:
Три последние строчки формируют общее решение системы:
♦
[1]. Kung H.L. A Method for obtaining a Fundamental System of Solutions. Amer.Math. Monthly. V.75, N 9, 1968, pp.999-1002
[2]. Pedoe D. A Geometric Introduction to Linear Algebra. Wiley, NY, 1963, pp. 126-128