УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательный пункт к разделу МАТРИЦА


!

Сложный для понимания материал!


Кронекерово произведение матриц

Если A_{}m_{}\times n-матрица, а B_{}p \times q-матрица, то кронекеровым (или прямым) произведением матрицы A_{} на матрицу B_{} называют блочную матрицу порядка mp \times nq:

A \otimes B = \left( \begin{array}{ccc} a_{11}B & \dots & a_{1n} B \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B \end{array} \right) \ .

Используется при решении матричного уравнения Сильвестра

AX+XB=C

при произвольных квадратных матрицах A,B,C одинакового порядка; неизвестной является матрица X_{} того же порядка.

Пример. Решить матричное уравнение для матриц второго порядка:

A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \ , \ B=\left( \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right) \ , \ C=\left( \begin{array}{cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array} \right) \ .

Решение. Подставляя в уравнение матрицу

X=\left( \begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right) \ ,

с пока неопределенными элементами, получаем систему линейных уравнений, которую тоже запишем в матричном виде:

\left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{12} \\ x_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{12} \\ c_{22} \end{array} \right)

(матрицы X_{} и C_{} «вытянули» в столбцы). Матрица в левой части имеет порядок 4_{} и может быть представлена в виде суммы двух матриц:

\left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 & a_{21} & a_{22} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & 0 & b_{21} & 0 \\ 0 & b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & b_{12} & 0 & b_{22} \end{array} \right) \ .

С помощью кронекерового произведения эту сумму можно представить в виде

E \otimes A + B^{\top} \otimes E

при E_{} — единичной матрице второго порядка и {}^{\top} означающем транспонирование.

Т

Теорема. Если A_{}квадратная матрица порядка n_{} и \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{n} \} обозначает ее спектр (набор собственных чисел с учетом их кратностей); B_{}квадратная матрица порядка p_{} со спектром \{ \mu_1,\dots,\mu_p \}, то матрица A \otimes B имеет следующий спектр:

\{ \lambda_j \mu_k \Big| \ j\in \{ 1,\dots,n\}, k\in \{1,\dots,p \} \} \ .


2012/06/18 09:14 редактировал au