УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу МАТРИЦА


Обратная матрица

!

Определяется только для квадратных матриц!

Для квадратной матрицы A_{} матрица B_{} называется левой обратной, если BA=E_{}, где E_{}единичная матрица; для матрицы A_{} матрица C_{} называется правой обратной если AC=E.

Т

Теорема. Для того, чтобы существовала левая обратная матрица для матрицы A_{} необходимо и достаточно, чтобы \det A_{} \ne 0. В этом случае, левая обратная матрица будет единственной и совпадает с правой обратной: AB=BA=E.

Доказательство. Необходимость условия \det A_{} \ne 0 для существования, например, левой обратной матрицы следует из условия

\det (B \cdot A)= \det E \quad \iff \quad (\det B) (\det A) =1 \ .

Покажем достаточность. Вычислим все алгебраические дополнения к элементам матрицы A_{}, составим из них новую матрицу порядка n_{} и транспонируем ее. Полученная матрица

\tilde A =\left(\left[A_{jk} \right]_{jk}^n \right)^{\top} = \left( \begin{array}{llll} A_{11} & A_{21}& \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & & & \dots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{array} \right)

называется взаимной или союзной матрице A_{}. Для любой матрицы A_{} имеет место равенство

A \cdot \tilde A = \left( \begin{array}{cccc} \det A & & & \\ & \det A & & {\mathbb O} \\ {\mathbb O} & & \ddots & \\ & & & \det A \end{array} \right) = \det A \cdot E \ .

Справедливость этого факта следует из теории определителей: сумма произведений элементов строки матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы; а на алгебраические дополнения к элементам любой другой строки — нулю (см. ЗДЕСЬ ).

При выполнении условия \det A_{} \ne 0 можем взять

A^{-1}=\frac{\tilde A }{\det A}= \left( \begin{array}{llll} \frac{A_{11}}{\det A} & \frac{A_{21}}{\det A} & \dots & \frac{A_{n1}}{\det A} \\ &&& \\ \frac{A_{12}}{\det A} & \frac{A_{22}}{\det A} & \dots & \frac{A_{n2}}{\det A} \\ &&& \\ \vdots & & & \vdots \\ \frac{A_{1n}}{\det A} & \frac{A_{2n}}{\det A} & \dots & \frac{A_{nn}}{\det A} \end{array} \right) \ .

Пока что мы получили правую обратную матрицу: доказано, что она удовлетворяет условию A C = E_{}. Проверка того, что полученная матрица будет являться и левой обратной, т.е. удовлетворяет условию C A=E, производится снова с использованием теоремы о сумме произведений элементов столбца матрицы A_{} на алгебраические дополнения к другому столбцу той же матрицы (см. ЗДЕСЬ ). Теперь покажем, единственность полученной обратной матрицы. Предположим, что каким-то другим способом найдена еще одна матрица C_1 обладающая тем же самым свойством A C_1 = E. Домножим это равенство слева на матрицу C_{}:

C(AC_1) = C E \ .

Операция умножения матриц подчиняется ассоциативному закону, поэтому

(CA) C_1 = C ,

но, по доказанному ранее, CA=E_{}. И мы получили равенство C_1 = C, доказывающее единственность правой обратной матрицы. Аналогично доказывается единственность и левой обратной.

Обратную матрицу к матрице A_{} обозначают A_{}^{-1}, а сама процедура нахождения такой матрицы называется обращением матрицы A_{}. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Способы построения

1. Первый способ следует из доказательства предыдущей теоремы. Вычислим все алгебраические дополнения к элементам матрицы A_{}, составим из них новую матрицу порядка n_{} и транспонируем ее. Полученная матрица

\tilde A =\left(\left[A_{jk} \right]_{jk}^n \right)^{\top} = \left( \begin{array}{llll} A_{11} & A_{21}& \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & & & \dots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{array} \right)

называется взаимной или союзной матрице A_{}. При условии \det A_{} \ne 0 будем иметь:

A^{-1}=\frac{\tilde A }{\det A}= \left( \begin{array}{llll} \frac{A_{11}}{\det A} & \frac{A_{21}}{\det A} & \dots & \frac{A_{n1}}{\det A} \\ &&& \\ \frac{A_{12}}{\det A} & \frac{A_{22}}{\det A} & \dots & \frac{A_{n2}}{\det A} \\ &&& \\ \vdots & & & \vdots \\ \frac{A_{1n}}{\det A} & \frac{A_{2n}}{\det A} & \dots & \frac{A_{nn}}{\det A} \end{array} \right)
?

Показать справедливость следующих свойств операции обращения :
a) (A^{-1})^{-1}=A_{}; б) (A\cdot B)^{-1} = B^{-1}A^{-1}_{}; в) (A^{\top})^{-1}=(A^{-1})^{\top}_{}; г) \det A^{-1} = (\det A)^{-1}_{}.
Предполагается, что в левой части каждого равенства операции определены.

§

Этот способ вычисления обратной матрицы имеет исключительно теоретическое значение.

П

Пример. Вычислить

\left( \begin{array}{rrrr} 4&7& 1 &5 \\ 3 & 4 & 0 &-6 \\ -11 & 8 & 2 & 9\\ -12 & -10 &0 & 8 \end{array} \right)^{-1} \ .

Решение. Вычисляем определитель этой матрицы: \det A = -226 \ne 0. Обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов:

\overbrace{\left| \begin{array}{rrr} 4 & 0 &-6 \\ 8 & 2 & 9\\ -10 &0 & 8 \end{array} \right|}^{A_{11}}=-56, \ \overbrace{-\left| \begin{array}{rrr} 3 & 0 &-6 \\ -11 & 2 & 9\\ -12 &0 & 8 \end{array} \right|}^{A_{12}}=96, \overbrace{\left| \begin{array}{rrr} 3 & 4 &-6 \\ -11 & 8 & 9\\ -12 &-10 & 8 \end{array} \right|}^{A_{13}}=-854, =\overbrace{-\left| \begin{array}{rrr} 3 & 4 & 0 \\ -11 & 8 & 2 \\ -12 & -10 &0 \end{array} \right|}^{A_{14}}=36,
A_{21}=-58,\ A_{22}=164,\ A_{23}=-1506,\ A_{24}=118, \dots, A_{44}=58 \ .

Cоставляем из них матрицу:

\left( \begin{array}{rrrr} -56 & 96 & -854 & 36 \\ -58 & 164 & -1506 & 118 \\ 28&-48 & 314& -9 \\ -40& 117 & -949 & 58 \end{array} \right) \ .

и не забываем ее транспонировать, а также поделить на определитель!

Ответ.

\left( \begin{array}{rrrr} \frac{\scriptstyle 28}{\scriptstyle 113} & \frac{\scriptstyle 29}{\scriptstyle 113} & -\frac{\scriptstyle 14}{\scriptstyle 113} & \frac{\scriptstyle 20}{\scriptstyle 113} \\ &&& \\ -\frac{\scriptstyle 48}{\scriptstyle 113} & -\frac{\scriptstyle 82}{\scriptstyle 113} & \frac{\scriptstyle 24}{\scriptstyle 113} & -\frac{\scriptstyle 117}{\scriptstyle 226} \\ &&& \\ \frac{\scriptstyle 427}{\scriptstyle 113} & \frac{\scriptstyle 753}{\scriptstyle 113} & -\frac{\scriptstyle 157}{\scriptstyle 113} & \frac{\scriptstyle 949}{\scriptstyle 226} \\ &&& \\ -\frac{\scriptstyle 18}{\scriptstyle 113} & -\frac{\scriptstyle 59}{\scriptstyle 113} & \frac{\scriptstyle 9}{\scriptstyle 113} & -\frac{\scriptstyle 29}{\scriptstyle 113} \end{array} \right) \ .

2. Второй способ нахождения A^{-1}_{} часто называют методом Гаусса-Йордана1) или методом приписывания единичной матрицы. Он, фактически, заключается в одновременном решении семейства систем линейных уравнений

AX_1=E_{[1]}, AX_2=E_{[2]},\dots, AX_n=E_{[n]}

где E_{[1]}, E_{[2]},\dots, E_{[n]} – столбцы единичной матрицы:

E_{[1]}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right),\ E_{[2]}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right),\dots, E_{[n]}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right),

Левые части этих систем одинаковы, поэтому метод исключения переменных Гаусса, примененный к одной, будет действителен и для другой - различия будут проявляться лишь в правых частях. Строго формальное обоснование метода следующее. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n:

AX=Y \ .

Здесь X=(x_1,\dots,x_n)^{\top}, Y=(y_1,\dots,y_n)^{\top}. Если A_{}^{-1} существует, то эту систему можно разрешить относительно столбца переменных X_{}:

X=A^{-1}Y \ .

С другой стороны, перепишем ту же систему в матричном виде:

AX=Y \quad \iff \quad AX=EY \quad \iff \quad \left[A \mid E \right] \left(\begin{array}{r} X \\ -Y \end{array} \right)= \mathbb O_{2n\times 1} \ ;

здесь E_{} — единичная матрица порядка n_{}. Элементарными преобразованиями над строками матрицы \left[A \mid E \right] добиваемся того, чтобы в левой ее половине возникла единичная матрица: \left[E \mid Q \right] (этого всегда можно добиться при условии \det A_{}\ne 0). Поскольку элементарные преобразования приводят систему линейных уравнений к эквивалентной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений), то

\left[A \mid E \right] \left(\begin{array}{r} X \\ -Y \end{array} \right)= \mathbb O \quad \iff \quad \left[E \mid Q \right] \left(\begin{array}{r} X \\ -Y \end{array} \right)= \mathbb O \quad \iff \quad X=QY \ .

Сравнивая два представления решений системы, приходим к равенству

A^{-1}Y = QY

справедливому для любого столбца Y_{}. Выбираем Y_{} из множества столбцов единичной матрицы, получаем:

A^{-1}E_{[1]}= QE_{[1]},\ A^{-1}E_{[2]}= QE_{[2]},\dots, A^{-1}E_{[n]}= QE_{[n]} \quad \iff \quad A^{-1}E=QE \quad \iff \quad A^{-1}=Q \ .

Алгоритм обращения матрицы посредством приписыванием к ней единичной

1. Формируем расширенную n\times 2n_{}-матрицу \left[A \mid E \right], приписывая к матрице A_{} справа единичную матрицу E_{} того же порядка.

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, добиваемся, чтобы в левой ее половине получилась единичная матрица.

3. Если это удается сделать, то матрица, получившаяся в правой половине и будет A_{}^{-1}. Если это сделать невозможно, то \det A_{}=0, т.е. A_{}^{-1} не существует.


П

Пример. Вычислить

\left( \begin{array}{rrr} 4& 5 &1 \\ 1 & 3 &-2 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right)^{-1}

приписыванием единичной матрицы.

Решение.

\left(\begin{array}{rrr|rrr} 4& 5 &1&1&0&0\\ 1 & 3 &-2&0&1&0\\ 3 & 1 & 2&0&0&1 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 3 &-2&0&1&0\\ 4& 5 &1&1&0&0\\ 3 & 1 & 2&0&0&1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-7&9&1&-4&0\\ 0&-8&8&0&-3&1 \end{array}\right)\to
\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-8&8&0&-3&1\\ 0&-7&9&1&-4&0 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&-7&9&1&-4&0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&0&2&1&-11/8&-7/8 \end{array}\right)\to
\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&0&1&1/2&-11/16& -7/16 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&0&-1/2& 5/16& 9/16\\ 0&0&1&1/2&-11/16&-7/16 \end{array}\right)\to
\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&0&0&-1/2& 9/16 &13/16\\ 0&1&0&1/2&-5/16& -9/16\\ 0&0&1&1/2&-11/16&-7/16 \end{array}\right) .

Ответ.

\left( \begin{array}{rrr} -1/2& 9/16 & 13/16 \\ 1/2&-5/16 & -9/16 \\ 1/2&-11/16 &-7/16 \end{array} \right)
?

Алгоритм шифрования Rijndael, используемый в мобильной телефонии, имеет в одной из стадий следующее преобразование байтов

\begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ y_6 \\ y_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \pmod{2}

Найти обратное преобразование.

Ответ ЗДЕСЬ.

3. Этот способ основан на теореме Гамильтона-Кэли. Если найден характеристический полином матрицы A_{}:

\det(A-\lambda E)\equiv (-1)^n (\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \dots + a_{n-1}\lambda + a_n )

то при условии a_n \ne 0 матрица A_{} обратима и

A^{-1}= - \frac{1}{a_n} \left( A^{n-1}+a_1 A^{n-2} + \dots + a_{n-1} E \right) \ ,

т.е. A^{-1} может быть вычислена посредством возведения в степень матрицы A_{}.

Свойства операции обращения

Если в левой части каждого каждого из следующих равенств операции определены, то равенства справедливы:

1. (A^{-1})^{-1}=A_{};

2. (A\cdot B)^{-1} = B^{-1}A_{}^{-1};

3. (A_{}^{\top})^{-1}=(A^{-1})^{\top};

4. \det A_{}^{-1} = (\det A)^{-1}.

Использование для решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A, т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:

\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&b_1\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&b_2\\ \ldots& & \ldots \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n &=&b_n \end{array}\right. \quad \iff \quad AX={\mathcal B}

Теорема Крамера утверждает, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: \det A \ne 0. Это же условие является необходимым и достаточным и для существования обратной матрицы A^{-1}. Но тогда решение системы можно записать в матричной форме:

X=A^{-1} {\mathcal B} \ ,

и такое представление бывает удобно в тех задачах, в которых требуется решить семейства систем с одинаковой матрицей A, но различными столбцами правых частей {\mathcal B}. Как соотносятся формулы Крамера и только что полученная формула? — Для пояснения, распишем первую компоненту решения, воспользовавшись представлением обратной матрицы по способу 1 ( см. ЗДЕСЬ ). Имеем:

x_1 = \frac{A_{11}}{\det A} b_1 + \frac{A_{21}}{\det A} b_2 + \dots + \frac{A_{n1}}{\det A} b_n

Но полученное выражение совпадает с разложением определителя

\frac{1}{\det A} \left| \begin{array}{rrrr} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots &&& \dots \\ b_{n} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|

по первому столбцу, т.е. мы получили первую из формул Крамера.

Обратные к конкретным типам матриц

Обратная к

1. треугольной матрице (верхней или нижней), если существует, то будет треугольной матрицей (того же типа);

2. симметричной матрице, если существует, то будет симметричной матрицей;

3. кососимметричной матрице нечетного порядка не существует, а в случае четного порядка, если существует, то будет кососимметричной матрицей;

4. ортогональной матрице Q_{} всегда существует и получается транспонированием матрицы: Q^{-1} = Q^{\top}.

5. квадратной матрице Вандермонда

\left( \begin{array}{llll} 1& 1& \ldots& 1\\ x_1& x_2& \ldots& x_n\\ x_1^2& x_2^2& \ldots& x_n^2\\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \ldots& x_n^{n-1} \end{array} \right)

существует тогда и только тогда, когда все x_1,\dots,x_n различны. Выражение ЗДЕСЬ.

В некоторых приложениях важно по виду матрицы быстро определить существует ли у нее обратная — без непосредственного нахождения этой обратной. Для некоторых типов матриц можно получить «вычислительно дешевые» критерии отличия их определителей от нуля.

Следующая теорема основана на связи определителя матрицы с ее собственными числами.

Т

Теорема. Матрица A_{}, у которой элементы каждой строки обладают свойством

|a_{jj}|>|a_{j1}|+\dots+|a_{j,j-1}|+|a_{j,j+1}|+\dots+|a_{jn}| \quad npu \quad \forall j\in \{1,\dots,n\}

(модуль элемента на главной диагонали больше суммы модулей остальных элементов строки) называется матрицей с диагональным доминированием (преобладанием). Такая матрица всегда обратима.

Доказательство следует из того факта, что \det A_{} \ne 0 тогда и только тогда, когда в наборе собственных чисел матрицы2) A_{} нет нулевого (см. следствие к теореме 1 ЗДЕСЬ ). Локализовать собственные числа матрицы можно с помощью теоремы Гершгорина: любое собственное число \lambda_{} матрицы A_{} должно удовлетворять хотя бы одному неравенству

|\lambda - a_{jj}| < \sum_{k=1 \atop k \ne j}^n |a_{jk} | \ .

Геометрический смысл последнего неравенства: число \lambda_{} лежит в круге комплексной плоскости с центром в точке a_{jj}^{} и радиусом — на основании предположения теоремы — меньшим, чем расстояние от 0_{} до a_{jj}. Следовательно \lambda_{} \ne 0.

§

Поскольку \det A_{} = \det A^{\top}, то утверждение теоремы будет справедливо и для матриц, у которых диагональное доминирование определяется через неравенства на элементы столбцов.

Обращение блочных матриц

Т

Теорема [Фробениус].3). Пусть имеется блочная квадратная матрица вида

\left( \begin{array}{rr} A & B \\ C & D \end{array} \right) \quad ,

где матрица A_{}квадратная порядка k_{}, а матрица D_{}квадратная порядка \ell_{}. Тогда

\left( \begin{array}{rr} A & B \\ C & D \end{array} \right)^{-1}= \left( \begin{array}{cc} A^{-1} +A^{-1}BK^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BK^{-1} \\ -K^{-1}CA^{-1} & K^{-1} \end{array} \right) \ ,

где матрица

K=D-CA^{-1}B

называется шуровским дополнением4) к подматрице A_{}. Здесь предполагается, что матрицы A_{} и K_{}неособенные.

=>

При B=\mathbb O имеем:

\left( \begin{array}{rr} A & \mathbb O \\ C & D \end{array} \right)^{-1}= \left( \begin{array}{cc} A^{-1} & \mathbb O \\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{array} \right) \ ,

если матрицы A_{} и D_{} — неособенные.

Теорема Фробениуса имеет, в основном, теоретическое значение — за исключением одного частного случая, когда матрица D_{} имеет порядок 1, т.е. является числом. Пусть, например, уже найдена обратная матрица для матрицы

A = \left( \begin{array}{llll} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{array} \right)

порядка n_{} и ставится задача нахождения обратной матрицы для окаймляющей ее матрицы

\left( \begin{array}{rr} A & B \\ C & D \end{array} \right) = \left( \begin{array}{llll} a_{11} & \dots & a_{1n} & a_{1,n+1} \\ a_{21} & \dots & a_{2n} & a_{2,n+1} \\ \vdots & && \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} & a_{n,n+1} \\ a_{n+1,1} & \dots & a_{n+1,n} & a_{n+1,n+1} \end{array} \right)

порядка n+1_{}. Тогда из теоремы следует:

\left( \begin{array}{rr} A & B \\ C & D \end{array} \right)^{-1}= \frac{1}{\kappa} \left( \begin{array}{cc} A^{-1}(\kappa E+BCA^{-1}) & -A^{-1}B \\ -CA^{-1} & 1 \end{array} \right) ;

здесь E_{} — единичная матрица порядка n_{}, а число

\kappa=a_{n+1,n+1}-CA^{-1}B=\underbrace{a_{n+1,n+1}}_D-\underbrace{\left( a_{n+1,1} , \dots , a_{n+1,n} \right)}_CA^{-1} \underbrace{\left(\begin{array}{l} a_{1,n+1} \\ a_{2,n+1} \\ \vdots \\ a_{n,n+1} \end{array} \right)}_B

очевидно связано с определителем новой матрицы:

\det\left( \begin{array}{rr} A & B \\ C & D \end{array} \right)= \kappa \det A \ .

Этот метод обращения матрицы известен в литературе как метод окаймления, он подробно изложен в [1].

?

Найти обратную матрицу для матрицы Фробениуса

{\mathfrak F}= \left( \begin{array}{lllllll} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \dots& &&&\ddots & & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & & \dots & a_2 & a_1 \end{array} \right)_{n \times n}

Решение и ответ ЗДЕСЬ

Обращение "возмущенных" матриц

Довольно часто ставится задача нахождения обратной к матрице A+B_{} при условии, что известна матрица A^{-1} и доступна некоторая дополнительная информация о «возмущении» — о матрице B_{}.

Следующий результат формулируем только для случая вещественных матриц, хотя существует его обобщение для комплексных.

Теорема [Шерман, Моррисон]. [3]. Пусть матрицы

A_{n\times n},\ U_{n\times p},\ W_{p\times p},\ V_{n\times p}

таковы, что существуют A^{-1}, W^{-1} и (W^{-1}+V^{\top} A^{-1} U)^{-1}. Тогда существует (A+UWV^{\top})^{-1} и

(A+UWV^{\top})^{-1} = A^{-1}- A^{-1}UY^{-1}V^{\top} A^{-1} \quad npu \quad Y=W^{-1}+V^{\top}A^{-1}U \ .

Особенно полезен этот результат для случая возмущения матрицы A_{} посредством матриц ранга 1:

=>

Если \{u=(u_1,\dots,u_n), v=(v_1,\dots,v_n)\} \subset \mathbb R^n, то

(A+u^{\top}v)^{-1} = A^{-1}- \frac{1}{1+vA^{-1}u^{\top}} A^{-1} u^{\top} v A^{-1} \ .

П

Вычислить (A+B)^{-1} для

A=\left(\begin{array}{rrr} -7 & 22 & - 55 \\ -94 & 87 & -56 \\ 0 & -62 & 97 \end{array} \right), \ B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \ ,

если известно, что

A^{-1} = \frac{1}{154713} \left(\begin{array}{rrr} -4967 & -1276 & - 3553 \\ -9118 & 679 & -4778 \\ -5828 & 434 & -1459 \end{array} \right) \ .

Решение. Имеем: \operatorname{rank} (B) =2 и, следовательно, матрица B_{} может быть представлена в виде суммы двух матриц ранга 1_{}:

B= \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)}_{=B_1} + \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right)}_{=B_2}= {\underbrace{(1,1,0)}_{=u_1}}^{\top} \underbrace{(0,1,1)}_{=v_1} + {\underbrace{(1,0,-1)}_{=u_2}}^{\top} \underbrace{(1,0,1)}_{=v_2} \ .

Будем производить обращение матрицы A+B по схеме:

A+B = (\underbrace{(A+B_1)}_{A_1}+B_2)^{-1} \ .

На основании следствия к теореме имеем последовательно:

A_1^{-1}=(A+B_1)^{-1}=A^{-1}- \frac{1}{1+v_1A^{-1}u_1^{\top}} A^{-1} B_1 A^{-1}=\frac{1}{140880} \left(\begin{array}{rrr} -5126 & -1117 &-3487\\ -9118 & 679 & -4691\\ -5828 & 434 & -1546 \end{array} \right) \ ;
(A+B)^{-1}=(A_1+B_2)^{-1}=A_1^{-1}- \frac{1}{1+v_2A_1^{-1}u_2^{\top}} A_1^{-1} B_2 A_1^{-1}=\frac{1}{134959} \left(\begin{array}{rrr} -5038 & -1078 & -3399 \\ -9079 & 629 & -4652 \\ -5916 & 395 & -1634 \end{array} \right) \ .

§

Этот метод вычисления обратной матрицы используется в модифицированном симплекс-методе, в котором на каждом шаге требуется вычислять обратную матрицу для матрицы, которая отличается от матрицы, полученной на предыдущем шаге только в одном столбце [4], глава 7.

Псевдообратная матрица

Эта матрица определяется не только для квадратной матрицы A_{}.

Пусть сначала матрица A_{} порядка m\times n_{}вещественная и m \ge n_{} (число строк не меньше числа столбцов). Если \operatorname{rank} (A) = n (столбцы матрицы линейно независимы), то псевдообратная к матрице A_{} определяется как матрица

A^{+}=(A^{\top}A)^{-1} A^{\top} \ .

Эта матрица имеет порядок n \times m_{}. Матрица (A^{\top}A)^{-1} существует ввиду того факта, что при условии \operatorname{rank} (A) = n будет выполнено \det (A^{\top} A) > 0 (см. упражнение в пункте ТЕОРЕМА БИНЕ-КОШИ или же пункт СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ГРАМА ). Очевидно, что A^{+} \cdot A = E_{n}, т.е. псевдообратная матрица является левой обратной для матрицы A_{}. В случае m=n_{} псевдообратная матрица совпадает с обратной матрицей: A^{+}=A^{-1}.

П

Пример. Найти псевдообратную матрицу к матрице

A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \ .

Решение.

A^{\top}= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad A^{\top} \cdot A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad (A^{\top} \cdot A)^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad A^{+} = (A^{\top} \cdot A)^{-1} A^{\top} = \left( \begin{array}{rrr} 2/3 & -1/3 & 1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \end{array} \right) \ .

При этом

A^{+} \cdot A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\quad A \cdot A^{+} = \left( \begin{array}{rrr} 2/3 & -1/3 & 1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 2/3 \end{array} \right) \ ,

т.е. матрица A^{+} не будет правой обратной для матрицы A_{}.

?

Вычислить псевдообратную матрицу для

\mathbf{a)}\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \quad ; \quad \mathbf{b)}\ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \ .

Концепция псевдообратной матрицы естественным образом возникает из понятия псевдорешения системы линейных уравнений. Если A^{+} существует, то псевдорешение (как правило, переопределенной и несовместной!) системы уравнений AX=\mathcal B_{} находится по формуле X= A^{+} \mathcal B при любом столбце \mathcal B_{}. Верно и обратное: если E_{[1]}, E_{[2]},\dots, E_{[m]} – столбцы единичной матрицы E_m:

E_{[1]}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right),\ E_{[2]}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right),\dots, E_{[m]}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right),

а псевдорешение системы уравнений AX=E_{[j]} обозначить X_{j} (оно существует и единственно при условии \operatorname{rank} (A) = n), то

A^{+}=\left[X_1,X_2,\dots,X_m \right] \ .
Т

Теорема. Пусть A_{} вещественная матрица порядка m\times n_{}, m \ge n_{} и \operatorname{rank} (A) = n. Тогда псевдообратная матрица A^{+} является решением задачи минимизации

\min ||AX-E_m||^2

где минимум разыскивается по всем вещественным матрицам X_{} порядка n\times m_{}, а || \cdot || означает евклидову норму матрицы :

||[h_{jk}]_{j,k}||^2=\sum_{j,k} h_{jk}^2 \ .

При сделанных предположениях решение задачи единственно.

§

Образно говоря, если уж невозможно найти обратную матрицу для матрицы A_{m\times n}^{}, давайте найдем хотя бы такую матрицу X_{n\times m}, чтобы отклонение произведения A\cdot X от единичной матрицы E_m (вычисленное как квадрат евклидова расстояния между матрицами A\cdot X и E_m) было бы минимальным.

С учетом этого результата понятно как распространить понятие псевдообратной матрицы на случай вещественной матрицы A_{m\times n}^{}, у которой число строк меньше числа столбцов: m < n_{}. Будем искать эту матрицу как решение задачи минимизации

\min ||YA-E_n||^2

где минимум разыскивается по всем вещественным матрицам Y_{} порядка n\times m_{}. Пусть \operatorname{rank} (A) = m, т.е. строки матрицы линейно независимы. Тогда псевдообратная к матрице A_{} определяется как матрица

A^{+}= A^{\top} (A\cdot A^{\top})^{-1} \ .

Очевидно, что в этом случае A\cdot A^{+}=E_m.

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ.1960, с.187-192

[2]. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.Наука.1983, с.187-234

[3]. Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Numerical Linear Algebra and Optimization. V.1. Addison-Wesley, NY, 1991

[4]. Таха Х. Введение в исследование операций. Т.1 М.Мир. 1985

1) Йордан Вильгельм (Jordan Wilhelm,1842-1899) — немецкий геодезист. Биография ЗДЕСЬ. В отечественной литературе его принято путать с французским математиком Камиллом Жорданом (Jordan Camille, 1838-1922).
2) Он еще называется спектром матрицы.
3) Фробениус Георг (Frobenius Ferdinand Georg, 1849-1917) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Биография ЗДЕСЬ
4) Шур Исай (Schur Issai, 1875-1941) — немецкий математик, ученик Фробениуса. Родился в Могилёве. Биография ЗДЕСЬ.

2017/11/11 12:42 редактировал au