УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ФУНКЦИЯ ОТ МАТРИЦЫ


Т

Теорема. Ряд \sum_{j=0}^{\infty} b_j Z^j сходится для любой матрицы A чей спектр лежит внутри круга сходимости:

|\lambda_j|<R \quad npu \quad j\in \{1,\dots,n\} ;

и расходится если хотя бы одно число оказывается за пределами этого круга:

\exists j \in \{1,\dots,n\} \quad такое, что \quad |\lambda_j|>R \, .

Доказательство. Для матрицы A найдем ЖНФ:

C^{-1} A C =A_{\mathfrak J}= \left( \begin{array}{cccc} \mathbf A_1 & \mathbb O & \dots & \mathbb O \\ \mathbb O & \mathbf A_2 & \dots & \mathbb O \\ & & \ddots & \\ \mathbb O & \mathbb O & \dots & \mathbf A_{{\mathfrak r}} \end{array} \right)

где каждая из составляющих матриц \mathbf A_j включает в себя некоторое количество клеток Жордана вида

{\mathfrak J}_k (\lambda_j) = \left( \begin{array}{cccccc} \lambda_j & & & & & \\ 1 & \lambda_j & & & \mathbb O & \\ 0 & 1 & \lambda_j & & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots& & \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda_j \end{array} \right)_{k \times k}

Если мы докажем, что существует F\left( A_{\mathfrak J}\right), то утверждение теоремы будет следовать из теоремы \ref{MATSeRt6}. Чтобы избежать громоздкости будем опускать индекс у \lambda_j. Вновь рассмотрим N-ю частичную сумму ряда F_N(z)=\sum_{j=0}^{N} b_j z^j. Вычисление матричного полинома F_N\left(A_{\mathfrak J}\right) сводится к вычислению его значения на клетке Жордана. На основании формулы (\ref{MATPoL_e3}) получаем:

F_N\left( {\mathfrak J}_k (\lambda) \right)=
= \left[ \begin{array}{ccccc} F_N(\lambda) & & & & \\ F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) & & \mathbb O & \\ \frac{F_N''(\lambda)}{2!}& F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \\ \frac{F_N^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} & \frac{F_N^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} & \dots & F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) \end{array} \right] {\operatorname{\longrightarrow} \atop {\scriptstyle N\to \infty}} \left[ \begin{array}{ccccc} F(\lambda) & & & & \\ F'(\lambda) & F(\lambda) & & \mathbb O & \\ \frac{F''(\lambda)}{2!}& F'(\lambda) & F(\lambda) & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \\ \frac{F^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} & \frac{F^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} & \dots & F'(\lambda) & F(\lambda) \end{array} \right]

при |\lambda|<R. Если же хоть одно собственное число лежит вне круга сходимости, то соответствующая последовательность \left\{ F_N\left( {\mathfrak J}_k (\lambda) \right) \right\}_{N=1}^{\infty} будет расходящейся.

Итак, при |\lambda_1|<R, \dots , |\lambda_n|<R существует

F(A)=\lim_{N\to \infty} F_N(A)=C \left( \begin{array}{cccc} F({\mathbf A}_1) & \mathbb O & \dots & \mathbb O \\ \mathbb O & F({\mathbf A}_2) & \dots & \mathbb O \\ & & \ddots & \\ \mathbb O & \mathbb O & \dots & F({\mathbf A}_{\mathfrak r}) \end{array} \right)C^{-1}

при блоках матриц F({\mathbf A}_j) определяемых с помощью (\ref{MATSeRe13}).


2019/04/22 18:39 редактировал au