УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ФУНКЦИЯ ОТ МАТРИЦЫ


Задачи

1. Доказать, что корень из положительно определенной матрицы A_{} второго порядка может быть вычислен по формуле

\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{\operatorname{Sp} (A) + 2 \sqrt{\det A }}}\left(A+E \sqrt{\det A } \right) \, .

2. Вычислить

a)

\sin \left( \pi \left[\begin{array}{ccc} 1& 0& 0 \\ 1& 1& 0 \\ 0& 1& 1 \end{array}\right] \right) \ ;

b)

\sin \left( \left[\begin{array}{ccc} \pi& 0& 0 \\ 1& \pi& 0 \\ 0& 1& \pi \end{array}\right] \right) \quad .

3. Найти A^A_{} для

A=\left(\begin{array}{ccc} 3&2&-3\\ 4&10&-12\\ 3&6&-7 \end{array}\right).

4. * Найти A^{B} для

A=\left(\begin{array}{ccc} 24&-11&-22\\ 20&-\ 8&-20\\ 12&-\ 6&-10 \end{array}\right) \ , \qquad B=\left(\begin{array}{ccc} 112& -55& -110 \\ 100& -48& -100 \\ 60& -30& -58 \end{array}\right)

5. Пусть все собственные числа матрицы A_{n \times n} различны. Доказать, что Если матрица B коммутирует с матрицей A: AB=BA, то существует полином g(x) степени \le n-1 такой, что B=g(A). Доказать, что для того, чтобы матрица B была обратима, необходимо и достаточно, чтобы полиномы g(x) и f(x)=\det(A- xE) были взаимно просты (или, что то же, результант этих полиномов был отличен от нуля).

6. Вычислить

\left( \begin{array}{rrrrrr} \lambda & & & & & \\ 1 & \lambda & &\mathbb O & & \\ 0& 1 & \lambda & & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & & \\ 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda & \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 &\lambda \end{array} \right)_{k\times k}^{-1}

при \lambda \ne 0.


2019/09/12 20:44 редактировал au