Указатель — Разделы— Обозначения — Автор — О проекте
Вспомогательная страница к разделу ☞ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
— корне n-й степени из 1. Основываясь на свойстве , матрицу часто записывают в эквивалентном виде
Пример. При матрица ДПФ:
При
☞
ЗДЕСЬ.
♦
Матрица ДПФ является симметричной: ; она является частным случаем матрицы Вандермонда.
Теорема 1. при
— четном,
при
— нечетном.
Доказательство. С одной стороны, возведем матрицу в квадрат, результатом будет ганкелева матрица
Теперь воспользуемся результатом, полученным ☞ ЗДЕСЬ:
Таким образом,
и, на основании определения определителя, имеем
Осталось только выбрать из двух полученных чисел одно истинное. Для этого рассмотрим как определитель Вандермонда:
Положим
получим
Для рассматриваемых значений и
имеем:
и, следовательно,
. Поэтому
Для определения аргумента комплексного числа имеем соотношение
Теперь определим величину произведения
Распишем сумму из показателя
пересуммируем по столбцам:
и воспользуемся формулами суммы степеней целых чисел и суммы биномиальных коэффициентов:
Если предположить четным:
, то
и, поскольку
то получаем справедливость одной части теоремы. Вторая часть доказывается аналогично. ♦
Теорема 2. Матрица обратная к матрице ДПФ вычисляется по формуле:
Основываясь на свойстве (см.
☞
ЗДЕСЬ ), матрицу часто записывают в эквивалентном виде
Образно говоря: обращение матрицы сводится к сопряжению каждого ее элемента и делению его на порядок матрицы.
Доказательство сводится к проверке умножением:
(в следующей матрице везде суммирование идет по , и все эти суммы равны нулю (см.
☞
ЗДЕСЬ ):
♦
Пример. При :
при ☞ ЗДЕСЬ.
♦
Видим, что обращение матрицы фактически сводится к перестановке ее строк; это хорошо заметно на матрице 8-го порядка. Подозрение, что матрица
должна быть очень похожа на матрицу
следовало из первого этапа доказательства теоремы 1: фактически
уже была близка к диагональной матрице. Алгоритм перестановки строк матрицы
, приводящий к ее обращению, следует из правила
: вторая строка переставляется местами с последней, третья — с предпоследней, и т.д.
Теорема 3. Собственные числа матрицы находятся во множестве
. Кратности определяются из следующей таблицы:
Пример. Характеристический полином матрицы при
:
при ☞ ЗДЕСЬ.
♦
Статья не закончена!
С небольшими модификациями взято из:
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974