УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ


Элементарные свойства определителя

Формальное определение определителя:

\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},

где сумма распространяется на всевозможные перестановки (\alpha_{1},\alpha_2,\dots,\alpha_n) элементов \{ 1,2,\dots,n\}. Из него выведем несколько свойств.

Т

Теорема 1. Определитель матрицы не меняется при транспонировании:

\det A = \det A^{\top} \, .

Доказательство. Обозначим B = A^{\top}, таким образом B=\left[b_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n} при b_{jk}=a_{kj}. На основании определения определителя:

\det B = \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} b_{1\alpha_1} b_{2\alpha_2}\times \dots \times b_{n\alpha_n}=
= \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} a_{\alpha_11} a_{\alpha_22}\times \dots \times a_{\alpha_nn} \, .

Однако последняя сумма совпадает с правой частью формулы (\ref{detdef_e18}), следовательно \det B = \det A.

П

Пример. Доказать, что при \{u_{jk},v_{jk} \}_{j,k=1}^n \subset \mathbb R определитель

\det A=\left| \begin{array}{lllcl} u_{11} & u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{13}+ \mathbf i v_{13} & \dots & u_{1n}+ \mathbf i v_{1n} \\ u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}+ \mathbf i v_{23} & \dots & u_{2n}+ \mathbf i v_{2n} \\ u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{33}& \dots & u_{3n}+ \mathbf i v_{3n} \\ \quad \dots & & & & \quad \dots \\ u_{1n}- \mathbf i v_{1n}& u_{2n}- \mathbf i v_{2n} & u_{3n}- \mathbf i v_{3n} & \dots & u_{nn} \end{array} \right|

является числом вещественным.

Решение. Пусть \det A=a + \mathbf i b, где \{a,b\}\subset \mathbb R. Тогда по теореме 1 имеем: a + \mathbf i b=\det A = \det A^{\top} =

=\left|\begin{array}{lllcl} u_{11} & u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{13}- \mathbf i v_{13} & \dots & u_{1n}- \mathbf i v_{1n} \\ u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}- \mathbf i v_{23} & \dots & u_{2n}- \mathbf i v_{2n} \\ u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{33}& \dots & u_{3n}- \mathbf i v_{3n} \\ \quad \dots & & & & \quad \dots \\ u_{1n}+ \mathbf i v_{1n}& u_{2n}+ \mathbf i v_{2n} & u_{3n}+ \mathbf i v_{3n} & \dots & u_{nn} \end{array} \right| = a - \mathbf i b \, .

Например, для n=3:

\left|\begin{array}{lll} u_{11} & u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{13}- \mathbf i v_{13} \\ u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}- \mathbf i v_{23} \\ u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{23}+ \mathbf i v_{23} & u_{33} \end{array} \right|=
= u_{11}u_{22}u_{33}-u_{11}\left(u_{23}^2+ v_{23}^2 \right) -u_{22}\left(u_{13}^2+ v_{13}^2 \right) -u_{33}\left(u_{12}^2+ v_{12}^2 \right) +
+2 \left(u_{12}u_{13}u_{23} + u_{12}v_{13}v_{23}+v_{12}u_{13}v_{23} +v_{12}v_{13}u_{23} \right) \in \mathbb R \, .

Из теоремы 1 следует, что любое свойство, которое мы сможем доказать относительно строк определителя, будет иметь место и относительно его столбцов, и наоборот. Для удобства рассуждений объединим понятия строки и столбца под одним определением.


Будем называть строку или столбец матрицы (или определителя) ее рядом — соответственно горизонтальным или вертикальным.


Т

Теорема 2. Общий множитель элементов любого ряда определителя можно вынести за знак определителя:

\det \left[ A_{[1]},\dots, c\cdot A_{[j]},\dots, A_{[n]} \right]=c \cdot \det \left[ A_{[1]},\dots, A_{[j]},\dots, A_{[n]} \right] \, ,
\det \left[ \begin{array}{r} A^{[1]} \\ \vdots \quad \\ c\cdot A^{[k]} \\ \vdots \quad \\ A^{[n]} \end{array} \right] = c\cdot \det \left[ \begin{array}{l} A^{[1]} \\ \ \vdots \\ A^{[k]} \\ \ \vdots \\ A^{[n]} \end{array} \right] \, .

Доказательство справедливости второй формулы:

\sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times \left(c \cdot a_{k \alpha_k} \right)\times \dots \times a_{n\alpha_n}=
= c \cdot \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times a_{k \alpha_k} \times \dots \times a_{n\alpha_n} =c\, \det A \, .

?

Доказать, что a) \det (-A)= (-1)^n \det A ;

б) определитель кососимметричной матрицы нечетного порядка равен нулю;

в) \det \left[(-1)^{j+k}a_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n} = \det \left[a_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n}.

Следующая теорема подтверждает одну гипотезу, выдвинутую в пункте \ref{det2*2} на основе анализа определителей малых порядков.

Т

Теорема 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Доказательство. Докажем утверждение теоремы для строк. Пусть j\ne k. В разложение

\det A = \sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},

обязательно войдут по одному элементу j-й и k-й строк и это разложение можно разбить на пары слагаемых вида:

(-1)^{\operatorname{inv} (1,\dots, j, \dots , k, \dots , n) + \operatorname{inv} (\alpha_1,\dots, \alpha_j, \dots , \alpha_k, \dots , \alpha_n)} a_{1\alpha_1}\times \dots \times a_{j\alpha_j} \times \dots \times a_{k\alpha_k}\times \dots \times a_{n\alpha_n}

и

(-1)^{\operatorname{inv} (1,\dots, k, \dots , j, \dots , n) + \operatorname{inv} (\alpha_1,\dots, \alpha_j, \dots , \alpha_k, \dots , \alpha_n)} a_{1\alpha_1}\times \dots \times a_{k\alpha_j} \times \dots \times a_{j\alpha_k}\times \dots \times a_{n\alpha_n} \, ,

различающихся лишь двумя сомножителями и знаками. По теореме \ref{dd_t4} четность перестановки (1,\dots,j, \dots, k, \dots , n) противоположна четности перестановки (1,\dots,k, \dots, j, \dots , n), следовательно знаки противоположны. Если j-я и k-я строки матрицы A одинаковы:

\begin{array}{lllllll} a_{j1} & \dots & a_{jj} & \dots & a_{jk} & \dots & a_{jn} \\ \Vert & \dots & \Vert & \dots & \Vert & \dots & \Vert \\ a_{k1} & \dots & a_{kj} & \dots & a_{kk} & \dots & a_{kn} \end{array}

то указанные слагаемые дают в сумме нуль.

Т

Теорема 4. Пусть имеются три определителя: \det A_1,\, \det A_2 и \det A, имеющие все ряды, кроме одного, одинаковыми. Исключительный ряд содержит:

  • в \det A_1 — элементы {\mathfrak u}_1,\dots,{\mathfrak u}_n;
  • в \det A_2 — элементы {\mathfrak v}_1,\dots,{\mathfrak v}_n;
  • в \det A — элементы {\mathfrak u}_1+{\mathfrak v}_1,\dots,{\mathfrak u}_n +{\mathfrak v}_n.

Тогда

\det A = \det A_1 + \det A_2 \, .

Например,

\det \big[ A_{[1]},\dots, \overbrace{{\mathfrak U}+ {\mathfrak V}}^{A_{[j]}},\dots, A_{[n]}\big]=
=\det \left[ A_{[1]},\dots, {\mathfrak U},\dots, A_{[n]} \right] + \det \left[ A_{[1]},\dots, {\mathfrak V},\dots, A_{[n]} \right] \, ,

где

{\mathfrak U}=\left[\begin{array}{l} {\mathfrak u}_1 \\ {\mathfrak u}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak u}_n \end{array} \right],\ {\mathfrak V} = \left[\begin{array}{l} {\mathfrak v}_1 \\ {\mathfrak v}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak v}_n \end{array} \right] \, .

Доказательство.

\det A = \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times ({\mathfrak u}_{\alpha_j}+{\mathfrak v}_{\alpha_j})\times \dots \times a_{n\alpha_n } =
= \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times {\mathfrak u}_{\alpha_j}\times \dots \times a_{n\alpha_n } +
+ \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times {\mathfrak v}_{\alpha_j}\times \dots \times a_{n\alpha_n} = \det A_1 + \det A_2 \, .
=>

Утверждение теоремы распространимо на любое количество слагаемых рядов.

=>

Определитель не изменится, если к любому его ряду прибавить любой другой ряд, умноженный на произвольное число из \mathbb A.

Доказательство. Для конкретности рассмотрим столбцы определителя \det A:

\det \left[ \dots, A_{[j]}+c \cdot A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] =
= \det \left[ \dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] + \det \left[ \dots, c \cdot A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right]
= \det \left[ \dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] + c \cdot \det \left[ \dots, A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right]=

по теореме 3

= \det \left[ \dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] = \det A \, .

?

Верно ли равенство \det (A+B) = \det A+ \det B для любых квадратных матриц A и B?

Т

Теорема 5. При перестановке местами его рядов определитель меняет знак.

Доказательство. Для конкретности рассмотрим столбцы определителя. По теореме 3 следующий определитель с двумя одинаковыми j-м и k-м столбцами:

\det \left[ \dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots , A_{[j]}+A_{[k]},\dots \right] \, ,

равен нулю. Далее имеем цепочку равенств:

0= \det \left[ \dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots , A_{[j]}+A_{[k]},\dots \right] \ =
= \det \left[ \dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] + \det \left[\dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right]=
= \det \left[\dots, A_{[j]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] + \left[\dots, A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] +
+ \det \left[\dots, A_{[j]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] + \det \left[\dots, A_{[k]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] =

по теореме 3:

= \det \left[\dots, A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] + \det \left[\dots, A_{[j]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] \, .


Свойства определителя, выраженные теоремами 2 и 4 называются его линейными, а теоремой 5кососимметрическим свойствами относительно рядов этого определителя.

Эти свойства, вместе с равенством \det E=1, называются определяющими свойствами определителя: можно доказать, что любая функция от набора рядов матрицы A, обладающая этими свойствами, должна совпадать с \det A, вычисляемым по формуле

\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n} \, .

2017/10/28 13:09 редактировал au