УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ


Основываясь на определении определителя n-го порядка

\det A=\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},

выведем здесь правило сведéния его к вычислению определителей (n-1)-го порядка.

Т

Теорема 1. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, справедливы следующие формулы разложения определителя по \mathbf j-й строке (или по элементам \mathbf j-й строки):

\det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell}

и разложения определителя по k_{}-му столбцу:

\det A = a_{1k}A_{1k} + a_{2k}A_{2k}+ \dots + a_{nk}A_{nk} = \sum_{\ell=1}^n a_{\ell k} A_{\ell k}

для любых \{j,k \} \subset \{1,2,\dots,n \}.

Доказательство. I. Докажем сначала справедливость первого разложения для случая j=1, т.е. для первой строки. Эту строку можно представить в виде суммы n строк:

(a_{11},a_{12},\dots,a_{1n})=(a_{11},0,\dots,0)+(0,a_{12},\dots,0)+ \dots +(0,0,\dots,a_{1n}) \, .

На основании теоремы 5, \det A можно представить в виде суммы

\left| \begin{array}{llll} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{llll} 0 & a_{12} & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \dots + \left| \begin{array}{llll} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, .

Рассмотрим первый из этих определителей:

\left| \begin{array}{llll} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, .

На основании теоремы 3, из первой строки можно вынести множитель:

a_{11} \left| \begin{array}{llll} 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, .

Обозначим получившийся определитель через B_1 и разложим его по формуле определителя (\ref{detdef_e3}):

B_1=\sum (-1)^{\operatorname{inv} (1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} 1\cdot a_{2\alpha_2}\dots a_{n\alpha_n} \, .

Здесь суммирование идет по всем перестановкам (\alpha_2,\dots,\alpha_n) чисел \{2,\dots,n\}. Далее, на основании определения инверсии

\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=\sum_{1\le j<k\le n}\operatorname{inv}(\alpha_j,\alpha_k)

имеем

\operatorname{inv} (1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) = \operatorname{inv} (\alpha_2,\dots,\alpha_n)+ \sum_{j=2}^n \operatorname{inv} (1,\alpha_j) = \operatorname{inv} (\alpha_2,\dots,\alpha_n) \, .

Следовательно,

B_1=\sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_2,\dots,\alpha_n)} a_{2\alpha_2}\dots a_{n\alpha_n} \ ,

где суммирование идет по всем перестановкам (\alpha_2,\dots,\alpha_n) чисел \{2,\dots,n\}. Однако последняя сумма — на основании определения — представляет следующий определитель (n-1)-го порядка

\left| \begin{array}{llll} a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \dots &&& \dots \\ a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| = M_{11} \, .

Видим, что формула

\det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell}

будет справедлива для j=1 по крайней мере для определителей вида

\left| \begin{array}{llll} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, .

II. Рассмотрим теперь второй определитель в разложении

\det A= \left| \begin{array}{llll} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{llll} 0 & a_{12} & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \dots + \left| \begin{array}{llll} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, .

Переставим в нем местами первый и второй столбцы. На основании теоремы 6 получаем

\left| \begin{array}{lllll} 0 & a_{12} & 0 &\dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| =- \left| \begin{array}{lllll} a_{12} &0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{n2} & a_{n1}& a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, .

На основании доказанного в пункте I , получившийся определитель равен

=-a_{12} \left| \begin{array}{llll} a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1}& a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| =-a_{12}M_{12}=a_{12}A_{12} \, .

Теперь понятно как надо обходиться с остальными слагаемыми в формуле (\ref{MINeq0}). Переставляем столбцы так, чтобы загнать единственный элемент первой строки в левый верхний угол. Каждая такая перестановка влечет за собой изменение знака, т.е. домножение нового определителя на (-1). Следовательно, последний определитель в (\ref{MINeq0}):

\left| \begin{array}{lllll} 0 & 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{array} \right|=(-1)^{n-1} \left| \begin{array}{lllll} a_{1n} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{2n} & a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{nn} & a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n,n-1} \end{array} \right|=
=(-1)^{n-1}a_{1n} \left| \begin{array}{llll} a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n,n-1} \end{array} \right|=(-1)^{n+1}a_{1n}M_{1n}=a_{1n}A_{1n} \, .

III. Итак, разложение

\det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell}

имеет место при j=1. Если же j>1, то рассуждения будут аналогичны предыдущему случаю. Для того, чтобы преобразовать определитель

\left| \begin{array}{lllllll} a_{11} & \dots & a_{1,k-1} & a_{1k} & a_{1,k+1} & \dots & a_{1n} \\ \dots &&&&&& \dots \\ a_{j-1,1} & \dots & a_{j-1,k-1} & a_{j-1,k} & a_{j-1,k+1} & \dots & a_{j-1,n} \\ 0 & \dots & 0 & a_{jk} & 0 & \dots & 0 \\ a_{j+1,1} & \dots & a_{j+1,k-1} & a_{j+1,k} & a_{j+1,k+1} & \dots & a_{j+1,n} \\ \dots &&&&&& \dots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,k-1} & a_{nk} & a_{n,k+1} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|

к виду когда первая строка содержит не более одного ненулевого элемента, мы переставляем j-ю строку с предыдущими. Потребуется всего (j-1) перестановка, чтобы эта строка оказалась на месте первой (а порядок следования остальных строк не изменился; они, разве что, сдвинулись вниз). А этот случай уже обсуждался в пункте II : потребуется еще (k-1) перестановка, чтобы k-й столбец оказался на месте первого, и мы оказались бы в ситуации из пункта I . Минор M_{jk} домножится на (-1)^{j-1+k-1}=(-1)^{j+k}. Следовательно, формула

\det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell}

справедлива для любого j. Справедливость же второй из доказываемых формул теоремы будет тогда следовать из теоремы 2.

Т

Теорема 2. Сумма произведений элементов j-го ряда \det A на алгебраические дополнения элементов k-го ряда равна 0_{} если j\ne k и равна \det A если j= k:

\sum_{\ell=1}^n a_{\ell j}A_{\ell k}=\delta_{jk} \det A \, ,\quad \sum_{\ell=1}^n a_{j \ell}A_{k \ell}=\delta_{jk} \det A \, .

Здесь \delta_{jk}^{}символ Кронекера.

Доказательство. При j=k утверждение следует из теоремы 1. Пусть j\ne k. Для определенности, докажем теорему для строк определителя. Составим новый определитель заменой k-й строки \det A на j-ю строку того же определителя:

\det A= \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \dots & & & \dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kn} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \quad \rightarrow \quad \det \widetilde{A}=\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \dots & & & \dots \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \begin{array}{l} {\ } \\ {\ } \\ {{\scriptstyle \leftarrow j}} \\ {\ } \\ {{\scriptstyle \leftarrow k}} \\ {\ } \\ {\ } \end{array} \, .

На основании теоремы 4, \det \widetilde{A}=0. С другой стороны, разложим его по элементам k-й строки; очевидно, что алгебраические дополнения элементов этой строки будут совпадать с алгебраическими дополнениями элементов k-й строки \det A:

0 =a_{j1}A_{k1} + a_{j2} A_{k2} + \dots a_{jn} A_{kn} \ ,

т.е. мы получили вторую из доказываемых формул.


2019/02/26 12:04 редактировал au