УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ


Матрица Якоби и якобиан

Определение и основные свойства

Матрицей Якоби системы из m_{} функций \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_{1},\dots,x_n)\} по переменным x_{1},\dots,x_n называется матрица, составленная из всевозможных частных производных:

\mathbf J = \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j=1,\dots,m, \atop k=1,\dots,n} = \left( \begin{array}{cccc} {\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\ {\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial f_m}/{\partial x_1} & {\partial f_m}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_m}/{\partial x_n} \end{array} \right) .

В частном случае m_{}=1 матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор в \mathbb R_{}^{n} или \mathbb C^{n} называется градиентом функции f_{} (в точке (x_1,\dots,x_{n})):

\operatorname{grad} (f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \ .
П

Пример. Для линейных функций

f_1=a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n - b_1,\dots, f_m=a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n - b_m

матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:

\mathbf J = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \dots & && \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array} \right) .

§

Откуда возникает матрица Якоби? – Фактически оттуда же, откуда возникает обычная производная: из необходимости исследовать поведение произвольной нелинейной функции. Что делают при исследовании функции одной переменной y=f_{}(x)? — Для нее выписывают формулу Тейлора и в этой формуле

f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dots

оставляют только два первых слагаемых, чтобы нелинейную функцию подменить линейной. Геометрически: график произвольной функции заменяют на график его касательной, и считают, что эти два графика ведут себя почти одинаково — по крайней мере, локально — в окрестности точки x_{0}. То же самое делается и при исследовании функций нескольких переменных. Пусть, например, задано отображение

x=f_1(u,v),\ y=f_2(u,v), z=f_3(u,v)

некоторой области пространства \mathbb{R}^{2} в пространство \mathbb{R}^{3}. Это отображение можно геометрически интерпретировать, как задание некоторой поверхности в \mathbb{R}^{3} параметрически (задание параметров u_{} и v_{} однозначно определяет точку (x_{},y,z) поверхности). Если функции f_{j} нелинейные, то исследовать поведение такого отображения начинают с его линейного приближения: выписывают для этих функций формулы Тейлора

f_j(u,v)=f_j(u_0,v_0) + \frac{\partial f}{\partial u} (u-u_0) + \frac{\partial f}{\partial v} (v-v_0)+\dots

(частные производные вычисляются в точке (u_{0},v_0)) и отбрасывают нелинейные по u_{} и v_{} слагаемые. Получаем отображение пространства \mathbb{R}^{2} в пространство \mathbb{R}^{3}, которое по виду можно было бы назвать линейным, но в алгебре выражение линейное отображение закреплено за более узким классом отображений, а настоящее называется аффинным:

\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} \partial f_1/ \partial u & \partial f_1/ \partial v \\ \partial f_2/ \partial u & \partial f_2/ \partial v \\ \partial f_3/ \partial u & \partial f_3/ \partial v \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} u-u_0 \\ v-v_0 \end{array} \right) \quad npu \quad \left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} f_1(u_0,v_0) \\ f_2(u_0,v_0) \\ f_3(u_0,v_0) \end{array} \right) \ .

Геометрически: график параметрически заданной поверхности заменяют на график ее касательной плоскости и считают, что эти два графика ведут себя почти одинаково — по крайней мере, локально,— в окрестности точки (x_0,y_0,z_0).

В частном случае m=n_{} матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из n_{} функций \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_{n}(x_1,\dots,x_n)\} по переменным x_{1},\dots,x_n:

{\mathfrak J}=\frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}= \left| \begin{array}{cccc} {\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\ {\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial f_n}/{\partial x_1} & {\partial f_n}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_n}/{\partial x_n} \end{array} \right|= \det \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j,k=1}^n \ .

В этом же случае след матрицы Якоби называется дивергенцией вектора (f_1,f_2,\dots,f_n):

\operatorname{div} (f_1,f_2,\dots,f_n)= {\partial f_1}/{\partial x_1}+ {\partial f_2}/{\partial x_2}+\dots+ {\partial f_n}/{\partial x_n} \ .

Следующая теорема и ее следствия являются прямыми обобщениями соответствующих результатов из линейной алгебры.

Т

Теорема. Якобиан тождественно равен нулю в некоторой области \mathbb{S}_{}:

\frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)} \equiv 0 при X \in \mathbb{S}

тогда и только тогда, когда между функциями f_{1},f_2,\dots,f_n имеется функциональная зависимость в \mathbb{S}, т.е. существует функция G(y_1,y_2,\dots,y_n) \not\equiv 0 такая, что

G(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))\equiv 0 при X \in \mathbb{S} \ .

§

В частном случае, когда в качестве G(y_1,y_2,\dots,y_n) можно выбрать линейный однородный полином G(y_1,y_2,\dots,y_n)=a_1y_1+a_2y_2+\dots+a_n y_n, говорят о линейной зависимости.

П

Пример. Являются ли полиномы

f_1=x_1+x_2+x_3-1,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3-2,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2+3

функционально зависимыми?

Решение.

\frac{D(f_1,f_2,f_3)}{D(x_1,x_2,x_3)}=
= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_2+x_3 & x_1+x_3 & x_1+x_2 \\ 2x_1 & 2x_2 & 2x_3 \end{array} \right| = 2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_2+x_3 & x_1+x_3 & x_1+x_2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right|=
= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1+x_2+x_3 & x_1+x_2+x_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right|\equiv 0

(мы воспользовались здесь свойствами 4 и 5 определителя, выписанными ЗДЕСЬ ). Ответ оказывается положительным: рассматриваемые полиномы являются функционально зависимыми. В данном примере эта зависимость сравнительно просто «отлавливается» наметанным взглядом:

(f_1+1)^2-2(f_2+2)-(f_3-3) \equiv 0 \ .

!

В общем же случае установление конкретной «обнуляющей» формулы

G(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))\equiv 0

представляет собой отдельную и, как правило, непростую задачу.

=>

Если какие-то p_{} функций из f_{1}, \dots, f_n связаны в \mathbb{S} функциональным соотношением

H(f_{j_1}, \dots f_{j_p}) \equiv 0 \ ,

то любой минор порядка p_{} якобиана, выбранный из соответствующих строк, будет тождественно равен нулю в \mathbb{S}_{}.

=>

Пусть \mathfrak r_{} обозначает ранг матрицы Якоби системы из m_{} функций f_1,\dots,f_{m} по переменным x_{1},\dots,x_n. Если минор этой матрицы

\frac{D(f_1,\dots,f_{\mathfrak r})}{D(x_1,\dots,x_\mathfrak r)}

отличен от нуля в \mathbb{S}_{}, то функции f_1,\dots,f_{\mathfrak r} функционально независимы в \mathbb{S}, а все оставшиеся функции системы (при условии \mathfrak r < m) могут быть выражены в виде (сложных) функций от этих независимых:

f_{\mathfrak r+1}(x_1,\dots,x_n) \equiv G_{\mathfrak r+1}(f_1,\dots,f_{\mathfrak r}),\dots, f_{m}(x_1,\dots,x_n) \equiv G_m(f_1,\dots,f_{\mathfrak r}) \ .

Якобиан обладает свойствами, аналогичными свойствам обычной производной для функции одной переменной. Так, следующие результаты являются аналогами правил дифференцирования сложной, обратной и неявной функций.

Т

Теорема. Якобиан системы сложных функций

F_1(x_1,\dots,x_n)=f_1(y_1(x_1,\dots,x_n),\dots,y_n(x_1,\dots,x_n)),\dots,
F_n(x_1,\dots,x_n)=f_n(y_1(x_1,\dots,x_n),\dots,y_n(x_1,\dots,x_n))

вычисляется по правилу умножения:

\frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(x_1,\dots,x_n)}= \frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(y_1,\dots,y_n)}\cdot \frac{D(y_1,\dots,y_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \ .

где производные вычислены в соответствующих точках.

П

Пример [1]. Вычислить якобиан элементарных симметрических полиномов:

f_1=\sum_{1 \le j\le n} x_j = x_1+ \dots+ x_n,
f_2=\sum_{1\le j_1<j_2\le n} x_{j_1} x_{j_2}= x_1 x_2 + x_1 x_3 +\dots + x_2 x_3 + \dots+ x_{n-1}x_n,
f_3=\sum_{1\le j_1<j_2<j_3\le n} x_{j_1} x_{j_2}x_{j_3}= x_1 x_2 x_3+ x_1 x_2 x_4 + \dots+ x_{n-2} x_{n-1} x_n,
\dots
f_{n-1}=x_{1} x_{2}\times \dots \times x_{n-1} + x_{1} x_{2} \times \dots \times x_{n-2} x_n + \dots + x_{2} x_{3}\times \dots \times x_n,
f_n= x_{1} x_{2}\times \dots \times x_{n} .

Решение. Воспользуемся следствием к теореме Варинга. Составим набор новых симметрических полиномов:

\{ s_1,\dots,s_n \} \quad npu \quad s_j=x_1^j+x_2^j+\dots+x_n^j \ .

Из формул Варинга следует, что s_j выражаются через f_1,\dots,f_j по формулам

s_j\equiv \Psi(f_1,\dots,f_{j-1}) + j f_j \quad npu \quad j \in \{1,\dots,n \} \ .

Воспользуемся теоремой:

\frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \equiv \frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(f_1,\dots,f_n)}\cdot \frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \ ;

искомый якобиан определится из этой формулы если мы вычислим два других. Определитель

\frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(f_1,\dots,f_n)}

является определителем треугольной матрицы:

\frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(f_1,\dots,f_n)}= \left| \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \ast & 2 & 0 & \dots & 0 \\ \ast & \ast & 3 & \dots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ \ast & \ast & \ast & \dots & n \end{array} \right| \ ,

а определитель

\frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(x_1,\dots,x_n)}= \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2x_1 & 2x_2 & \dots & 2x_n \\ 3x_1^2 & 3x_2^2 & \dots & 3x_n^2 \\ \vdots & & & \vdots \\ nx_1^{n-1} & nx_2^{n-1} & \dots & nx_n^{n-1} \end{array} \right|= n! \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{array} \right|

вычисляется как определитель Вандермонда.

Ответ. \displaystyle \prod_{1\le j < k \le n} (x_k-x_j).

Т

Теорема. Если уравнения

y_1=f_1(x_1,\dots, x_n),\dots y_n=f_n(x_1,\dots, x_n)

однозначно разрешимы относительно переменных x_{1},\dots,x_n в некоторой области \mathbb{S}_{}:

x_1=\phi_1(y_1,\dots,y_n),\dots,x_n=\phi_n(y_1,\dots,y_n)

и существует якобиан

\frac{D(\phi_1,\dots,\phi_n)}{D(y_1,\dots,y_n)} \ ,

то справедливо равенство

\frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \cdot \frac{D(\phi_1,\dots,\phi_n)}{D(y_1,\dots,y_n)} = 1 \ ,

где производные вычислены в соответствующих точках.

Т

Теорема. Если уравнения

F_1(y_1,\dots,y_n,x_1,\dots,x_n)=0,\dots, F_n(y_1,\dots,y_n,x_1,\dots,x_n)=0

однозначно разрешимы относительно переменных y_1,\dots,y_n в некоторой области \mathbb{S}_{}:

y_1=\psi_1(x_1,\dots,x_n),\dots,y_n=\psi_n(x_1,\dots,x_n) \ ,

то справедливо равенство

\frac{D(\psi_1,\dots,\psi_n)}{D(x_1,\dots,x_n)}=(-1)^n \frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \bigg/ \frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(y_1,\dots,y_n)} \ ,

где производные вычислены в соответствующих точках.

Т

Теорема [Якоби]. Если A_{j1},\dots,A_{jn}алгебраические дополнения элементов j_{}-й строки якобиана, то

\frac{\partial A_{j1}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{j2}}{\partial x_2}+ \dots+\frac{\partial A_{jn}}{\partial x_n} \equiv 0

в области \mathbb{S}.

Геометрические приложения

Т

Теорема. Пусть на плоскости заданы две кривые уравнениями

f(x,y)=0 \quad u \quad g(x,y)=0

и они пересекаются в точке \mathbf P с координатами (x_{0},y_0). Тогда величина угла, под которым происходит это пересечение вычисляется по правилу

\operatorname{tg} (\gamma) = \pm \frac{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g} {\partial y} - \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g}{\partial y}}

где все производные в правой части вычислены в точке (x_{0},y_0).

=>

Если (x_{0},y_0) — точка пересечения кривых f(x,y)=0 и g(x,y)=0, то

  • кривые соприкасаются в этой точке, если в ней якобиан функций f_{} и g_{} обращается в нуль:
\frac{\partial f}{ \partial x} \frac{\partial g}{ \partial y} - \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{\partial g}{\partial x}= 0 \ ;
  • кривые пересекаются в этой точке под прямым углом, если в ней
\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{ \partial x} + \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{\partial g}{ \partial y} = 0 \ .

?

Показать, что если функции u_{}(x,y) и v_{}(x,y) связаны соотношениями Коши-Римана (Даламбера-Эйлера):

\frac{\partial u}{ \partial x} \equiv \frac{\partial v}{ \partial y} , \frac{\partial u}{ \partial y} \equiv - \frac{\partial v}{ \partial x}

в некоторой области \mathbb{S}_{}, то в этой области их линии уровня, то есть кривые u(x,y) = c_1 и v(x,y) = c_2 при \{c_1,c_2\} \subset \mathbb R, могут пересекаться только под прямым углом.

Замена переменных в кратном интеграле

Источники

[1]. Задача № 5256 из журнала American Mathematical Monthly, v. 73, N 1, 1966, cc. 93-94


2018/03/15 14:41 редактировал au