Некоторые целочисленные определители

Определитель Смита

$\det [\operatorname{HOD} (j,k)]_{j,k=1}^n = \prod_{\ell=1}^n \phi(\ell) = n! \left( \frac{1}{2} \right)^{\lfloor n/2 \rfloor} \left( \frac{2}{3} \right)^{\lfloor n/3 \rfloor}\left( \frac{4}{5} \right)^{\lfloor n/5 \rfloor}\left( \frac{6}{7} \right)^{\lfloor n/7 \rfloor}\left( \frac{10}{11} \right)^{\lfloor n/11 \rfloor} \times \dots \ .$

Здесь $\operatorname{HOD}$ — наибольший общий делитель, $\phi$ — функция Эйлера, $\lfloor$ $\rfloor$ — целая часть числа, а знаменатели дробей $2,3,5,7,11,\dots$ представляют собою последовательные простые числа.

П

Пример.

$\left| \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 5 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 6 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 7 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 8 \end{array} \right|=768= 1\cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 4 \ .$

Источники.

Smith S. On the value of a certain arithmetic determinant. Proc. London Math. Soc. 7, 208-212, 1876

Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. Часть I. М.-Л., ОНТИ, 1936, сс.34-35