УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Уравнение Эйлера

Задача. Рассматривается уравнение относительно x_{}:

f(x)=x^5-3\,x^4+3\,x^3-m\,(1-x)^2=0 ,

здесь m_{} \in \mathbb R — параметр. Найти выражение для того вещественного корня x= \lambda(m) этого уравнения, для которого \lambda(0)=0.

Решение. Дискриминант

\mathcal D_x(f)=-m^2(108\,m^3-416\,m^2-2268\,m-6561)

имеет 2_{} вещественных корня: m=0 и m=m_{\ast} \approx 7.640811. При m< m_{\ast} полином f_{}(x) имеет один вещественный корень (при m=0 он будет кратным 3_{}-й кратности); при m> m_{\ast} полином имеет 3_{} вещественных корня.

Искомый корень представляется в виде ряда по дробным степеням степеням параметра m_{} (подробности построения этого ряда — в разделе ☞ РЯД ПЮИЗЁ ):

\lambda(m) = \sqrt[3]{\frac{m}{3}}- \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{m^2}{9}}- \frac{m}{27}+ \frac{4\,m}{81}\sqrt[3]{\frac{m}{3}}+ \frac{16\,m}{729}\sqrt[3]{\frac{m^2}{9}}-\frac{259\, m^2}{59049}\sqrt[3]{\frac{m}{3}}+ \dots

Оценим точность для конкретных значений:

\lambda(0.1)=0.28434_{\displaystyle 4254},\ \lambda(0.2)=0.3452_{\displaystyle 53494},\ \lambda(1)=0.51_{\displaystyle 4997863},\ \lambda(-0.1)=-0.35233_{\displaystyle 43435},\dots

Уравнение возникает в ограниченной задаче трех тел. В цитируемом источнике решение приведено с ошибкой уже в 4_{}-м члене ряда.

Источник.

Герасимов И.А. Задача двух неподвижных центров Леонарда Эйлера. Фрязино. Век 2, 2007.

2012/05/23 09:12 редактировал au