УказательРазделыАвторО проекте


Алгебра,

собственно говоря, есть анализ уравнений; входящие в нее различные частные теории все более или менее относятся к этому главному предмету.

С этих слов начинается книга [1].

Почему именно эта задача — исследование уравнений — получила такое значение? Не в последнюю очередь это связано с личностью Рене Декарта (Descartes René, 1596-1650).

Декарт закончил колледж иезуитов в 1612 г.(когда его знаменитому современнику Д'Артаньяну был всего год от роду), не получив, по его словам, достаточных знаний. Поэтому он решил черпать их из жизни:

искать только ту науку, которую мог обрести в самом себе или же в великой книге мира…

С этой целью Декарт вступает добровольцем в войска знаменитого Морица Оранского — статхаудера (наместника короля) и главнокомандующего Нидерландов. Франция из вражды к испано-австрийской монархии поддерживала Нидерланды, и служба французских дворян в голландской армии была модной. Эта армия славилась хорошей организацией и опытными военачальниками. Цитата из [2]:

Я находился тогда в Германии, где оказался призванным в связи с войной, не кончившейся там и доныне. Когда я возвращался с коронации императора в армию, начавшаяся зима остановила меня на одной из стоянок, где, лишенный развлекающих меня собеседников и, кроме того, не тревожимый, по счастью, никакими заботами и страстями, я оставался целый день один в теплой комнате, имея полный досуг предаваться размышлениям. Среди них первым было соображение о том, что часто творение, составленное из многих частей и сделанное руками разных мастеров, не столь совершенно, как творение, над которым трудился один человек… Подобным образом, мне пришло в голову, что и науки, заключенные в книгах, по крайней мере те, которые лишены доказательств и доводы которых лишь вероятны, сложившись и мало-помалу разросшись из мнений множества разных лиц, не так близки к истине, как простые рассуждения здравомыслящего человека относительно встречающихся ему вещей…
Будучи моложе, я изучал немного из области философии — логику, а из математики — анализ геометров и алгебру — эти три искусства, или науки, которые, как мне казалось, должны были служить намеченной мною цели. Но, изучив их, я заметил, что в логике ее силлогизмы и большинство других правил служат больше для объяснения другим того, что нам известно, или, как искусство Луллия, учат тому, чтобы говорить, не задумываясь о том, чего не знаешь, вместо того, чтобы познавать это. Хотя логика в самом деле содержит немало очень верных и хороших правил, однако к ним примешано столько вредных и излишних, что отделить их от этих последних почти также трудно, как извлечь Диану или Минерву из куска необработанного мрамора. Что касается анализа древних и алгебры современников, то, кроме того, что они относятся к предметам весьма отвлеченным и кажущимся бесполезными, первый всегда так ограничен рассмотрением фигур, что не может упражнять рассудок, не утомляя сильно воображение; вторая же настолько подчинилась разным правилам и знакам, что превратилась в темное и запутанное искусство, затрудняющее наш ум, а не в науку, развивающую его. По этой причине я и решил, что следует искать другой метод, который совмещал бы достоинства этих трех и был бы свободен от их недостатков. И подобно тому как обилие законов нередко дает повод к оправданию пороков и государство лучше управляется, если законов немного, но они строго соблюдаются, так и вместо большого числа правил, составляющих логику, я заключил, что было бы достаточно четырех следующих, лишь бы только я принял твердое решение постоянно собюдать их без единого отступления.
Первое — никогда не принимать за истинное ничего, что я не признал бы таковым с очевидностью, т.е. тщательно избегать поспешности и предубеждения и включать в свои суждения только то, что представляется моему уму столь ясно и отчетливо, что никоим образом не сможет дать повод к сомнению.
Второе — делить каждую из рассматриваемых мною трудностей на столько частей, сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить.
Третье — располагать свои мысли в определенном порядке, начиная с предметов простейших и легкопознаваемых, и восходить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые в естественном ходе вещей не предшествуют друг другу.
И последнее — делать всюду перечни настолько полные и обзоры столь всеохватывающие, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Декарт считается основоположником рационализма — научного метода познания. Наблюдения, полученные из опытов, переводятся на язык математики и из них последовательными рассуждениями, основанными на конечном числе тщательно проверенных постулатов, могут быть получены все законы мира. Разум — всемогущ.

В книге [3] в главе 2 «Метод Декарта» ход рассуждений Декарта — в реализацию его идеи о математике как универсальном языке науки — «перевeден» на современный язык1).

Рене Декарт был одним из величайших умов человечества. Многие считают его отцом современной философии… Нас будет интересовать здесь … одна из его работ, а именно «Правила для руководства ума».2)
«Правила» были найдены в незаконченном виде среди бумаг Декарта после его смерти. Он предполагал написать 36 параграфов, но в действительности его работа содержит в более или менее законченном виде только 18 параграфов и резюме еще трех параграфов… В первых 12 параграфах обсуждается вопрос каким должен быть процесс умственной работы при решении задач, в следующих двенадцати разбираются корректно поставленные задачи, а последние двенадцать предполагалось отвести некорректно поставленным задачам.3)
В своих «Правилах» Декарт стремится дать универсальный метод решения задач. Вот грубый набросок схемы, которая, как ожидал Декарт, может быть применена ко всем видам задач:
Первое: задача любого вида сводится к математической задаче.

Второе: математическая задача любого вида сводится к алгебраической задаче.

Третье: любая алгебраическая задача сводится к решению одного-единственного уравнения.
В намерении, положенном в основу схемы Декарта, можно усмотреть нечто глубоко правильное. Однако претворить это намерение в жизнь оказалось очень трудно… Проект Декарта потерпел неудачу, однако это был великий проект, и, даже оставшись нереализованным, он оказал большее влияние на науку, чем тысяча малых проектов, в том числе таких, которые удалось реализовать.

1. Хорошо разобравшись в задаче, прежде всего приведите ее к нахождению некоторых неизвестных количеств. (Правила XIII-XVI).

2. Исследуйте задачу наиболее естественным путем, допуская, что она решена, и постарайтесь, в соответствующем порядке, наглядно представить все соотношения, которые, согласно условию, должны иметь место между неизвестными и данными. (Правило XVII).

3. Выделите часть условия, позволяющую выразить одно и то же количество двумя разными способами, чтобы получить таким образом уравнение, связывающее неизвестные. В конечном счете вам потребуется расчленить условие на столько частей, — и, таким образом, прийти к системе из стольких уравнений, — сколько имеется неизвестных. (Правило XIX).

4. Приведите систему уравнений к одному единственному уравнению. (Правило XXI).

Мы здесь не будем изучать условий, при которых система алгебраических уравнений сводится к одному уравнению, не будем задаваться вопросом о том, как это можно практически выполнить:… соответствующие математические теории в наше время довольно хорошо разработаны…
§

Исключение переменных в системах линейных уравнений ☞ ЗДЕСЬ, нелинейных ☞ ЗДЕСЬ.

Декарт:

Наконец, было несколько даровитейших мужей, которые в наше время попытались воскресить эту самую математику, ибо ничем другим, кажется, не является та наука, которую называют чужеземным именем "алгебра", если бы только она могла быть освобождена от множества чисел и от необъяснимых фигур, которыми она загромождена, таким образом, что не испытывала бы больше недостатка в той высшей ясности и легкости, какая должна быть, как мы предполагаем, в истинной математике.

Источники

[1]. Серре И.А. Курсъ высшей алгебры. М.-СПб. Изданiе т-ва М.О.Вольфъ. Год не указан (1896?)

[2]. Декарт Р. Рассуждение о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках. 1637 г.

[3]. Пойа Д. Математическое открытие. М.Наука. 1970.

1) Адаптирован с учетом традиционной неприязни математиков к философии.
2) Текст выложен ☞ ЗДЕСЬ.
3) Наиболее существенная черта отличающая корректно поставленные задачи от некорректно поставленных задач, заключается в том, что первые немедленно сводятся к чисто математическим задачам, вторые же не могут быть сведены к ним.

2013/02/20 23:14 редактировал au