УказательРазделыАвторО проекте


Материалы к курсу высшей алгебры

Цели и задачи курса

Курс состоит из двух разделов:

  1. Решение уравнений и систем уравнений
  2. Линейные пространства и отображения

Традиционная методология преподавания математических дисциплин: разделы в учебном курсе ставятся примерно в том же порядке, в котором они возникали в историческом развитии этой науки. В XX веке эту методологию попытались изменить: считалось правильным сначала сформулировать максимально строгие, абстрактные и общие определения, из которых потом выводить конкретные частные результаты.

Не считая необходимым дискутировать о правильности первого или второго подхода (заметив только, что имеется принципиальная разница в восприятии математических понятий у людей с абстрактным и конкретным типами мышления; см. "О математике прикладной и чистой" и Крылов А.Н. ), я уведомляю, что являюсь убежденным сторонником первого.

Итак, прежде всего,

алгебра - это наука о решении уравнений и систем уравнений.

В первом разделе мы ограничимся именно этим определением, характерным для университетских курсов высшей алгебры, сформировавшихся к началу XX века. Основная задача раздела: выяснить какие именно уравнения изучаются в алгебре и какой смысл придается в этой науке слову «решение»1).

И

Происхождение слова «алгебра» ЗДЕСЬ. Почему, собственно, именно эта задача стала основной ЗДЕСЬ

К началу XX века в алгебре начало формироваться и другое направление исследований: классификация (установление свойств) многомерных отображений различной природы. Именно,

выявление свойств линейных отображений

составляет основную задачу второго раздела.

Общим у двух разделов алгебры является математический аппарат: теория матриц (ими линейные отображения описываются) и теория алгебраических уравнений от одной переменной (с их помощью эти отображения анализируются).

Кроме того, во втором разделе на первый план выдвигаются и прикладные аспекты алгебры: разработанные в ней алгоритмы используются в теории дифференциальных уравнений (в том числе, в механике) и в теории вероятностей.

Литература

С моей точки зрения, идеальным учебником является такой, по которому желающий может самостоятельно обучиться предмету. Исходя из этого критерия, учебники по алгебре я ранжирую так:

1. Немецкие, французские и ангийские учебники конца XIX – начала XX вв.

2. Русские учебники 30-х – 50-х годов XX века

  • Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М. Учпедгиз. 1958
  • Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. М.-Л. ОНТИ. 1937

Однако, лучшими учебниками по алгебре я считаю книги нашего соотечественника – Якова Викторовича Успенского – до 1923 года профессора С.-Петербургского (Петроградского) университета. К сожалению, его книги

  • Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948
  • Uspensky J.V., Heaslet M.A. Elementary Number Theory. New York. McGraw-Hill. 1941

написаны по-английски…

3. Кроме указанных учебников при подготовке курса использовались следующие

  • Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.Наука. 1966
  • Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М.Мир. 1971
  • Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.Мир.1980
  • Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989
  • Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука.1984
  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969
§

Более подробная библиография с краткими характеристиками и сопутствующей информацией ЗДЕСЬ.

Методология

Принципы преподавания математической дисциплины для прикладных математиков, которым я стараюсь следовать:

Цель обучения заключается не в том, чтобы завалить студента монбланом фактов, а в том, чтобы пробудить в нем интерес к самому процессу познания, – как отражением внутренней красоты науки, так и показом ее практических приложений.

Объяснения вести «от простого — к сложному» и «от частного — к общему». Наглядность идеи важнее строгости доказательства. Постановку задач сначала пояснять на примерах. Вообще, чем больше примеров — тем лучше.

  • Лучший пример — из реальной жизни. «Прикладники» имеют право на вопросы: «Зачем данная конкретная задача нужна?» и «Почему она ставится именно так?»
  • Pluralitas non est ponenda sine necessitate3)

Принцип бритвы Оккама: не вводить излишних сущностей (в том числе и обобщений), если они нигде в дальнейшем не применяются.

  • Впрочем, ради эстетического изящества отдельного результата, можно иногда и отступать от предыдущего принципа ;-)
  • Выделять магистральную, сквозную задачу для всего курса — например, для раздела I таковой является задача решения алгебраического уравнения (и систем таких уравнений). По ходу изложения курса все промежуточные задачи, ставящиеся в отдельных главах, увязывать с этой главной.
  • Не маскировать «психологических» и «идеологических» трудностей в историческом становлении науки: если к комплексным числам математики привыкали 300 лет, то зачем скрывать этот факт от студентов, ограничиваясь лишь формальным определением?
  • Самодостаточность. Что можно доказать — доказывать, что сложно (или не имеет смысла) доказывать — пояснить на примере. Это относится и к используемым результатам из смежных разделов — математического анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей.
  • Хотите получить классическое образование? – (По)читайте классиков!4)

В современном научном мире распространено опасное заблуждение, что мы умнее наших предшественников. Только этим я могу объяснить то неуважение, которые проявляют авторы многих современных учебников (и научных публикаций) к наследию, оставленному нам предыдущими поколениями – тем же XIX веком. Предисловие к учебнику

Бертран Ж. Дифференцiальное исчисленiе. «Наука и жизнь» С.Петербург. 1911

заканчивается следующими словами автора (подчеркнуто мною)

Таково краткое содержание двадцати шести глав, составляющих этот первый том; в нем есть важные пробелы и многочисленные недостатки, которые я не скрываю от себя. Сравнивая то, что я смог сделать, с предначертанным себе планом, я знаю лучше всякого другого, как далеко не достиг я желаемой цели. Я хотел бы устранить для молодых геометров при изучении ими трудов вождей науки все препятствия, проистекающие от незнания принципов, на которых эти труды покоятся; но такая программа почти беспредельна, и я должен был ограничиться, по мере своих сил и знаний, облегчением для них первых шагов. Можно, без сомнения, все это сделать гораздо лучше, но нельзя, я в том убежден, преодолеть всех трудностей. Может быть, даже было бы несправедливо сожалеть об этом; ничто не может заменить непосредственного изучения великих учителей, и помогая молодым людям слишком долго держаться от них вдали и тем облегчая их занятия, мы, пожалуй, задержали бы, и на очень, может быть, долгое время, развитие у них духа творчества.

Ни убавить, ни прибавить – жаль, что сформулировано не мною :-(. В свой курс я включил исторические очерки о математиках, стараясь при этом выделять не столько их научные достижения, сколько их мировоззрение – то, что, по моему мнению, влияло на упомянутый Бертраном «дух творчества». В подборе исторических комментариев я руководствовался исключительно личными пристрастиями.

Программа курса

Конспект

Утешев А.Ю., Калинина Е.А. Лекции по высшей алгебре. Части I и II. 2007

Утешев А.Ю. Высшая алгебра. Раздел II. СПб. «Золотое сечение». 2007. 162 c.

Вопросы к коллоквиуму (2017 г.)

Вопросы к экзамену

Обязательные к запоминанию понятия

Задания для самоконтроля

Вариант 1

1. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{rrrrr} 14x_1&+35x_2&-7x_3&-63x_4&=0,\\ -10x_1&-25x_2&+5x_3&+45x_4&=0,\\ 26x_1&+65x_2&-13x_3&-117x_4&=0. \end{array} \right.

2. Вычислить определитель

\left|\begin{array}{rrrr} 1&1&1&1\\ 1&\mathbf i&-1&-\mathbf i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-\mathbf i&-1&\mathbf i \end{array}\right|

3. Найти

\left(\begin{array}{rrrr} 1&1&1&0\\ -1&2&1&0\\ 1&4&1&0\\ 0&0&0&3 \end{array}\right)^{-1}

по методу приписывания единичной матрицы.

4. Найти ранг матрицы

\left(\begin{array}{rrrrr} -3&2&0&1&4\\ -1&5&2&3&5\\ 6&-12&3&-7&-8\\ -3&7&9&4&15 \end{array}\right)

по методу окаймляющих миноров.


Образец выполнения контрольной работы

Контрольные работы

Варианты: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Задачи разные и нестандартные

§

Задачи этого пункта постепенно перекладываются к соответствующим разделам теории.

?

Пусть матрица A_{} квадратная порядка n_{} и ее собственные числа все различны.

a) Доказать, что множество всех матриц X_{}, коммутирующих с A_{}, образует линейное подпространство.

б) Доказать, что размерность этого подпространства равна n_{}.

в) Доказать, что \{ E,A_{},\dots, A^{n-1} \} — базис этого подпространства.

?

Пусть матрица A_{} квадратная порядка n_{} и \tilde A_{} — матрица ей взаимная.

a) Доказать, что если \operatorname{rank} (A) = n-1, то \operatorname{rank} (\tilde A) = 1. Доказать, что в этом случае любой столбец матрицы \tilde A_{} является решением системы уравнений AX=\mathbb O_{n\times 1}.

б) Доказать, что любой собственный вектор матрицы A_{}, соответствующий ненулевому собственному числу, будет собственным и для \tilde A_{}.

в) В случае \operatorname{rank} (A) = n-1 построить характеристический полином матрицы \tilde A_{}.

?

Уравнение Эйлера. Рассматривается уравнение относительно x_{}:

f(x)=x^5-3\,x^4+3\,x^3-m\,(1-x)^2=0 \ ,

здесь m_{} \in \mathbb R — параметр. Найти выражение для того вещественного корня \lambda(m) уравнения, для которого \lambda(0)=0.

?

Найти ортогональную проекцию эллипсоида x^2+y^2+z^2-xy=1 на плоскость x+y+z=-5 .

?

В пространстве \mathbb P_2 полиномов по x_{} степени \le 2 линейный оператор действует по правилу:

\mathcal A(x^2+x+1)=2\,x+1,\ \mathcal A(x^2-x-1)=x-3,\ \mathcal A(1)=x \ .

Можно ли обобщить свойство линейности таким вот образом: \mathcal A(x)=x \mathcal A(1)?

1) В современной литературе по методологии науки это называется парадигмой.
2) (лат.) Примеры учат не менее, чем предписания.
3) (лат.) Без необходимости не следует утверждать многое.
4) Авторство афоризма скромно приписываю себе.

2018/01/21 13:26 редактировал au