УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ


Вещественность собственных чисел симметричной матрицы

Т

Теорема. Собственные числа вещественной симметричной матрицы все вещественны.

Доказательство I. Пусть A вещественная симметричная матрица: A= A^{^{\top}}. Если \lambda \in \mathbb C — ее собственное число, соответствующее собственному вектору {\mathfrak X} =(x_1,\dots,x_n)^{\top} \in \mathbb C^n \ ({\mathfrak X}\ne \mathbb O), то A{\mathfrak X}=\lambda {\mathfrak X}. Обозначим \overline {\mathfrak X} вектор комплексно-сопряженный {\mathfrak X}. Вычислим число a=({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X}\in \mathbb C

a=({\overline{\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X} =({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} \lambda {\mathfrak X} = \lambda ({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} {\mathfrak X}= \lambda \underbrace{(|x_1|^2+\dots+|x_n|^2)}_{\in \mathbb R}.

Если мы теперь докажем, что a \in \mathbb R, то тогда и \lambda \in \mathbb R. Имеем:

\overline{ a}=(\overline {a})^{^{\top}}=\left( \overline{(\overline {{\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X}} \right)^{^{\top}}= \left( {\mathfrak X}^{^{\top}} \overline{ A } \overline{ {\mathfrak X}} \right)^{^{\top}} =(\overline{ {\mathfrak X}})^{^{\top}} A^{^{\top}} {\mathfrak X}=(\overline{ {\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X} =a.

Но это и означает, что a \in \mathbb R.

Доказательство II [Борхардт]. Предыдущее доказательство позволило установить вещественность всех корней характеристического полинома симметричной матрицы косвенным путем. Хотя это доказательство и является достаточно компактным, неплохо было бы уставовить и более непосредственную связь результата теоремы с общими результатами по условиям вещественности всех корней произвольного полинома. Приводимое ниже доказательство основывается на одном из таких результатов, а именно теореме Якоби.

Рассмотрим евклидово пространство квадратных матриц порядка n со скалярным произведением, введенным формулой:

\langle A, B \rangle = \operatorname{Sp} \left(A \cdot B^{^{\top}} \right) \ ,

рассмотрим систему матриц \left\{E,A,A^2,\dots,A^{n-1} \right\}. Составим матрицу Грама этой системы:

G(E,A,A^2,\dots,A^{n-1})= \left( \begin{array}{cccc} \langle E,E \rangle & \langle E,A \rangle & \dots & \langle E,\, A^{n-1} \rangle \\ \langle A,E) & \langle A,A \rangle & \dots & \langle A,\, A^{n-1} \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle A^{n-1},E \rangle & \langle A^{n-1},A \rangle & \dots & \langle A^{n-1},A^{n-1} \rangle \end{array} \right) \ .

При симметричной матрице A любая ее степень также является симметричной матрицей. Тогда

\langle A^{j},A^{k} \rangle= \operatorname{Sp} (A^{j+k}) = s_{j+k} ,

где s_{j} означает jсумму Ньютона характеристического полинома матрицы A. Следовательно, сама матрица Грама G(E,A,A^2,\dots,A^{n-1}) совпадает с матрицей

S= \left( \begin{array}{llll} s_0& s_1 & \dots & s_{n-1} \\ s_1 & s_2 & \dots & s_n \\ \dots & & & \dots \\ s_{n-1} & s_n & \dots & s_{2n-2} \end{array} \right)

из теоремы Якоби.

По одному из свойств матрицы Грама все главные миноры S_j построенной матрицы должны быть неотрицательны. Следовательно, по теореме Якоби, все корни характеристического полинома матрицы A. вещественны.

Источники

Доказательство I хорошо известно и содержится, например в

[1.] Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука.1984

Доказательство II взято из

[2.] Серре И.А. Курсъ высшей алгебры., cc. 513-518
(разумеется, привожу его в «осовремененном» виде — матриц Грама там нет и в помине).


2018/02/02 10:17 редактировал au