УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ, СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ


Задачи

1. Известен характеристический полином матрицы A_{}:

\det(A-\lambda E)=(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_n \ .

Найти характеристический полином матрицы A^{2}.

2. Доказать, что характеристический полином матрицы A_{} ранга \mathfrak r_{} имеет вид:

\det(A-\lambda E)=(-1)^n \lambda^n +\dots+a_{\mathfrak r} \lambda^{n-\mathfrak r} \ ,

т.е. имеет \lambda=0 корнем кратности \ge n-\mathfrak r. Можно ли последнее неравенство заменить на равенство?

3. Доказать, что любой собственный вектор матрицы A_{} является собственным вектором ее взаимной матрицы.

4. К методу Леверье. Определить асимптотику последовательности \{Y_K=AY_{K-1}\}_{K=1}^{\infty} при

A=\left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1& 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \qquad и \qquad Y_0= \left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \ .

5. Для матрицы

A=\left(\begin{array}{rrrr} -1& -2 &-3& 0\\ 0&2&4&6\\ 6&-3&1&2\\ -1&-1&1&1 \end{array} \right)

найти числа \{b_j\}_{j=0}^4, обеспечивающие выполнение соотношения

b_0E+b_1A+b_2A^2+b_3A^4+b_4A^8= \mathbb O_{4\times 4} \ .

6. Пусть H_n(\lambda) — характеристический полином матрицы

\left( \begin{array}{ccccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & \dots & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 4 & \dots & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 5 & 5 \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n+1 \\ \end{array} \right) \ .

Доказать, что

H_n(\lambda)\equiv (1-2\, \lambda)H_{n-1}(\lambda)-\lambda^2 H_{n-2}(\lambda) \ .

7. Найти хотя бы одно собственное число и соответствующий собственный вектор матрицы

Собор Sagrada Familia, архитектор А.Гауди

8. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы магического квадрата

с гравюры Дюрера «Меланхолия»

9. Найти собственные числа и собственные векторы обратно симметричной матрицы

\left[w_{j}/w_{k} \right]_{j,k=1}^n \ .

10. Доказать матричное равенство

(\lambda A - E)^{-1}=-E+\lambda (\lambda E - A)^{-1} \, .

11. Доказать, что матрица

A= \left( \begin{array}{lllllll} 1 & -1 & 1 & -1 & \dots & (-1)^{n-2} & (-1)^{n-1} \\ C_{n-1}^1 & -C_{n-2}^1 & C_{n-2}^2 & -C_{n-3}^1 & \dots & (-1)^{n-2} & 0 \\ C_{n-1}^2 & -C_{n-2}^2 & C_{n-2}^3 & -C_{n-3}^2 & \dots & 0 & 0 \\ C_{n-1}^3 & -C_{n-2}^3 & C_{n-2}^4 & -C_{n-3}^3 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ C_{n-1}^{n-2} & -1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \end{array} \right)_{n\times n}

удовлетворяет уравнению

A^{3}=(-1)^{n-1}E \, .

Найти характеристический полином матрицы A_{}.

12 [1]. Пусть B(\lambda)взаимная матрица для характеристической матрицы A-\lambda E. Доказать, что спектр матрицы B(\lambda)

\{ -f_1(\lambda),\dots, -f_n(\lambda) \} \quad npu \quad \left\{ f_j(\lambda)\equiv \frac{f(\lambda)}{\lambda-\lambda_j} \right\}_{j=1}^n \, .

Здесь f(\lambda)=\det (A-\lambda E ), а \{\lambda_1,\dots, \lambda_n\} — спектр матрицы A.

13. Найти спектр матрицы

E_{n\times n}-\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) (x_1,\dots,x_n)

при x_1^2+\dots+x_n^2=1.

Источники

[1]. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т.2. М.Наука. 1978, с.123


2019/08/05 12:56 редактировал au