УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ


Теорема Гамильтона-Кэли

В настоящем пункте A_{} означает квадратную матрицу порядка n_{} с элементами из \mathbb Q, \mathbb R или \mathbb C_{}, а f(\lambda) — характеристический полином этой матрицы, т.е.

f(\lambda)= \det (A-\lambda E) = a_0 \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+ a_n \quad npu \quad a_0=(-1)^n \ .
Т

Теорема. Результатом подстановки в характеристический полином \det (A_{}-\lambda E) самой матрицы A_{} будет нулевая матрица:

\det (A-\lambda E)= (-1)^n \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+ a_n \ \Rightarrow
\ \Rightarrow \ (-1)^n A^n +a_1 A^{n-1}+\dots+a_{n-1}A+ a_n E = {\mathbb O}_{n\times n} \ .

Доказательство. Рассмотрим характеристическую матрицу A-\lambda E и вычислим ей взаимную (союзную). Для n_{}=3:

B(\lambda)=\left( \begin{array}{ccc} \left|\begin{array}{cc} a_{22}-\lambda & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{22}-\lambda & a_{23} \end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{cc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}-\lambda \end{array} \right| & \left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}-\lambda \end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{13} \\ a_{21}& a_{23} \end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc} a_{21}& a_{22}-\lambda \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{array}\right| \end{array} \right) \ .

Поскольку элементами матрицы B(\lambda) являются полиномы степеней \le n-1, то B(\lambda) можно представить в виде матричного полинома

B(\lambda)=B_0 + \lambda B_1+\dots+\lambda^{n-1}B_{n-1} \ .

Так, например, для случая n_{}=3 имеем:

B(\lambda)= \left( \begin{array}{ccc} a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} & a_{32}a_{13}-a_{12}a_{33} & a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22} \\ a_{31}a_{23}-a_{21}a_{33} & a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} & a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23} \\ a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} & a_{31}a_{12}-a_{11}a_{32} & a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{array} \right) +
+\lambda \left( \begin{array}{ccc} -a_{22}-a_{33} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & -a_{11}-a_{33} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & - a_{11} - a_{22} \end{array} \right) +\lambda^2 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \ .

На основании известных свойств взаимной (союзной) матрицы имеем:

B(\lambda) (A-\lambda E) \equiv E \det (A-\lambda E)=E f(\lambda) \ , \quad (A-\lambda E) B(\lambda) \equiv E f(\lambda) \ .

Расписываем первое из этих тождеств:

B_0A+\lambda (B_1A-B_0)+\dots+\lambda^{n-1} (B_{n-1}A-B_{n-2})- \lambda^{n}B_{n-1}=
\qquad =E(a_n+a_{n-1}\lambda+\dots+a_1\lambda^{n-1}+a_0\lambda^n)

и получаем уравнения для определения неопределенных матриц B_0,B_1,\dots,B_{n-1}.

Коэффициент при домножим на
1_{} B_0A = Ea_n E_{}
\lambda_{} B_1A-B_0 = E a_{n-1} A_{}
\lambda^2 B_2A-B_1 = E a_{n-2} A^2
\vdots \dots \vdots
\lambda^{n-1} B_{n-1}A-B_{n-2} = E a_{1} A^{n-1}
\lambda^{n} -B_{n-1} = E a_{0} A^{n}

и просуммируем

\mathbb O_{n\times n} = Ea_n+Aa_{n-1}+A^2a_{n-2}+\dots+A^n a_0 \ .

=>

Если разложение характеристического полинома на линейные множители над \mathbb C_{} имеет вид:

\det (A_{}-\lambda E)=(-1)^n (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\times \dots \times (\lambda-\lambda_n)

то

(A-\lambda_1 E)(A-\lambda_2 E)\times \dots \times (A-\lambda_n E)=\mathbb O_{n\times n}

(порядок следования сомножителей несуществен).

=>

Матрицу B(\lambda) взаимную матрице A_{}-\lambda E можно представить в виде

B(\lambda) \equiv - \left[a_0A^{n-1}+(a_0\lambda+a_1)A^{n-2}+(a_0\lambda^2+a_1\lambda+a_2)A^{n-3}+\dots+ (a_0\lambda^{n-1}+a_1\lambda^{n-2}+\dots+a_{n-1})E \right] \, .

Непосредственной проверкой устанавливается справедливость тождества

B(\lambda) (A-\lambda E) \equiv E f(\lambda) \, .

Эта матрица может быть использована для поиска собственных векторов матрицы A_{}.

Источник

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.


2018/08/16 22:55 редактировал au