УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Матрица

Определение, обозначения

Матрица1) – прямоугольная таблица

A= \left(\begin{array}{llll} 3 & -7 & \dots & \sqrt{\pi} \\ &&& \\ C_n^1 & 101.(66) & \dots & \frac{5}{7} \\ \dots & & & \dots \\ \aleph_0 & 0 & \dots & e \end{array}\right) ,

в каждой ячейке которой располагается некоторое число (или, в общем случае, элемент из некоторого множества – лишь бы только были определены те операции, что нам потребуются ниже), называемое элементом матрицы.

Будем обозначать матрицы прописными латинскими буквами \, A_{},B,\dots, {\mathfrak A},{\mathfrak B},\dots, а – при необходимости – их элементы буквами строчными a_{},b,\dots,{\mathfrak a},{\mathfrak b},\dots Сами таблицы условимся ограничивать скобками – либо круглыми ( \quad )_{}, либо квадратными [ \quad ]_{}.

В матрице A_{} естественным образом выделяются строки и столбцы, при этом отсчет строк и столбцов уславливаются вести, начиная от левого верхнего угла матрицы. Упорядоченная пара чисел

(количество строк, количество столбцов)

матрицы называется порядком (или размерностью) матрицы. Так, если матрица имеет m_{} строк и n_{} столбцов, то о ней говорят как о матрице порядка \mathbf m_{} на \mathbf n_{}, и записывают порядок в виде m\times n_{}.

Любая m\times n_{}-матрица содержит всего \,mn_{} элементов, и каждому из этих элементов можно поставить в соответствие «координаты его местоположения» в матрице, т.е. упорядоченную пару натуральных чисел (j,k)_{}, в которой первое число отвечает за номер строки элемента, а второе — за номер его столбца.

Часто будет возникать необходимость записи матрицы общего вида, т.е. матрицы с элементами, числовые значения которых могут быть переменными. В самом общем случае — когда все элементы матрицы A_{} могут быть произвольными — будем их записывать в виде a_{jk}^{} или же, когда необходимо избежать недоразумения, в виде a_{j,k}^{}. Так, a_{11}^{} означает элемент матрицы A_{}, стоящий в ее левом верхнем углу; b_{10,3}^{} – элемент матрицы B, стоящий в 10_{}-й строке и 3_{}-м столбце; {\mathfrak c}_{m-3,2n-7}^{} – элемент матрицы {\mathfrak C}_{}, стоящий в (m-3)_{}-й строке и (2n-7)_{}-м столбце. Такая договоренность позволяет записывать компактно матрицы, для элементов которых имеется функциональная зависимость от местоположения в таблице. К примеру, совершенно произвольную m\times n_{}-матрицу мы можем записать в виде A_{}=\left [a_{jk} \right ]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n}.

П

Пример:

A=\left [\frac{1}{j+k-1} \right ]_{j=1,2,3,4 \atop k=1,2,3} = \left(\begin{array}{rrr} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ && \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ && \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ && \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \end{array}\right) .

?

Найти развернутое выражение для матриц, представленных в компактной форме
a) A_{} =\left [ \max (j,k) \right ]_{j=1,2,3,4 \atop k=1,2\quad} ;
б) B_{} =\left [ |j-k| \right ]_{j=1,2,3 \atop k=1,2,3 } ;
в) C_{}=\left [\delta_{jk} \right ]_{j=1,\dots,5 \atop k=1,2,3 }, где \delta_{jk}^{} означает символ Кронекера.

В принятых обозначениях j_{}-й строкой произвольной матрицы A_{} будет матрица

A^{[j]}=\left(a_{j1},a_{j2},\dots,a_{jn} \right) ,

а ее k_{}-м столбцом – матрица

A_{[k]}=\left( \begin{array}{c} a_{1k} \\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{mk} \end{array} \right) .

Матрицы A_{} и B_{} называются равными если равны их порядки и совпадают элементы на соответствующих местах:

A=\left[a_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \ , \ B=\left[b_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \ , \quad \Rightarrow \quad \ A=B \ \iff \ a_{jk} =b_{jk} \ \forall j\in \{1,\dots,m \},\ k\in \{1,\dots,n \} .

Матрицы разных порядков не считаются равными.

Еще одно упрощение записи – часто применяемое для матриц заранее не специфицированного порядка – заключается в том, что если некоторый участок матрицы занят равными нулю элементами, то они либо не указываются вовсе, либо вся их совокупность обозначается {\mathbb O}_{}.

Матрица, состоящая только из нулей, называется нулевой матрицей соответствующего порядка. Ее будем записывать в виде {\mathbb O}_{m\times n}^{}.

П

Пример.

\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) = {\mathbb O}_{2\times 4} \ .

Элементарные операции

умножение на число

Произведением матрицы A_{} на число (скаляр) c_{} называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A_{} на число c_{}:

A=\left[a_{jk} \right ]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \ \Rightarrow \ c\cdot A = \left [ca_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \ .
3\cdot \left(\begin{array}{rrr} 1& 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{rrr} 3& 0 & 3 \\ -3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 6 \end{array} \right) , \quad 2\cdot \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) = .

сложение

Для матриц A_{} и B_{} одного порядка их суммой называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц:

A =\left[a_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n}, \ B=\left[b_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \quad \Rightarrow \quad A+B = \left[a_{jk} + b_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} .
\left( \begin{array}{rrr} 1& -2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & \sqrt{3} \\ 0 & 1 & 7 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rrr} -1& 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & -5 \end{array} \right)=
Т

Теорема. Множество матриц фиксированного порядка m \times n_{} образует линейное пространство относительно двух этих введенных операций.

Будем обозначать это пространство \mathbb R^{m \times n} в случае, когда рассматриваются только числа (элементы матрицы и скаляры, на которые допускается их домножение) вещественные, и \mathbb C^{m \times n} если рассмптриваются и мнимые.

транспонирование

Преобразование матрицы, при котором ее строки становятся столбцами новой матрицы, называется транспонированием матрицы:

\left( \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13}& \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \dots & a_{2n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3}& \dots & a_{mn} \end{array} \right)^{\top}= \left(\begin{array}{llll} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ a_{13} & a_{23} & \dots & a_{m3} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{array} \right)

В компактном виде:

\left( \left[a_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \right)^{\top}=\left[a_{kj} \right]_{k=1,\dots,n \atop j=1,\dots,m} ,

а в схематичном:

§

В литературе для операции транспонирования используются также обозначения A^{t}= ^{t}A=A^{\prime}=A^{\ast}.

?

Показать справедливость следующих свойств операции транспонирования:
а) \left( A^{\top} \right)^{\top} = A; б) (A+B)^{\top}=A^{\top} + B^{\top}; в) (cA)^{\top}=c A^{\top}, где c_{} — число; г) (AB)^{\top}= B^{\top} A^{\top}
при условии, что все операции в левых частях равенств определены (операция умножения матриц определяется НИЖЕ ).

конкатенация

Для матриц A_{} и B_{} с одинаковым количеством строк можно определить операцию A\mid B_{} (будем также использовать обозначение [A \mid B]) конкатенации2) матриц:

A= \left(\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array}\right) \ , \ B= \left(\begin{array}{llll} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1k} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mk} \end{array}\right) \Rightarrow
\Rightarrow A\mid B= \left(\begin{array}{llllllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2k} \\ \dots & & & &&& & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mk} \end{array}\right).

Проще говоря: к матрице A_{} «приписывается» справа матрица B_{}. В этом смысле саму матрицу A_{} можно считать результатом конкатенации ее столбцов:

A= A_{[1]}\mid A_{[2]} \mid \dots \mid A_{[m]}=\left[ A_{[1]}\mid A_{[2]} \mid \dots \mid A_{[m]} \right] \ .

Можно также производить конкатенацию матриц «по вертикали», т.е. по строкам3). Одновременную конкатенацию — когда к матрице A_{m\times n}^{} приписывается столбец U_{m\times 1 } справа и строка V_{1\times (n+1)} снизу — называют окаймлением матрицы.

векторизация

матрицы4) произвольного порядка образно означает «вытягивание» ее в вектор-столбец. Так, если представить матрицу как результат конкатенации ее столбцов:

A=\left[A_{[1]} \mid A_{[2]} \mid \dots \mid A_{[n]}\right] ,

то

\operatorname{Vec}(A)=\left(\begin{array}{c} A_{[1]} \\ A_{[2]}\\ \vdots \\ A_{[n]} \end{array} \right) \, .

Так, например

\operatorname{Vec}\left(\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ b_1 \\ b_2 \\ c_1 \\ c_2 \end{array} \right)\, .

перезагрузка

Умножение матриц

Для матрицы-строки U=(u_{1},\dots,u_n) и матрицы-столбца V=\left(\begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_n \end{array}\right) определим произведение U\cdot V_{} как число

U\cdot V= u_1v_1+\dots+u_nv_n .
§

Для произвольных матриц A_{} и B_{} произведение матрицы A_{} на матрицу B_{} определяется тогда и только тогда, когда их порядки связаны ограничением:

количество столбцов матрицы A_{} = количество строк матрицы B_{}

т.е. если матрица A_{} имеет порядок m\times n_{}, то матрица B_{} может иметь порядок n\times k_{} при \forall k\in{\mathbb N}_{}. В этом случае произведение матрицы A_{} на матрицу B_{} обозначается5) A\cdot B_{} и представляет собой матрицу C_{} порядка m\times k_{}:

\begin{array}{ccccc} C&=&A&\cdot&B ,\\ {m\times k}&&{m\times n}&&{n\times k} \end{array}

элементы которой вычисляются по следующему правилу

C=[c_{j\ell}]_{_{j=1,\dots,m\atop \ell=1,\dots,k }},\quad c_{j\ell}= A^{[j]}B_{[\ell]}=a_{j1}b_{1\ell}+a_{j2}b_{2\ell}+\dots+a_{jn}b_{n\ell} .

Таким образом, элемент, стоящий в j_{}-й строке и \ell_{}-м столбце матрицы C_{}, равен произведению j_{}-й строки матрицы A_{} на \ell_{}-й столбец матрицы B_{}.

В схематичном виде:

Порядок («размеры») матрицы C_{} определяется следующим образом: высота берется от первого сомножителя, а ширина — от второго.

!

При этом произведение B \cdot A_{} может и не быть определено!

П

Пример:

A=\left(\begin{array}{rr} 1&2\\ -1&0\\ 3&7 \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{rrrr} \mathbf i&0&0&-1\\ 4&2&0&-2 \end{array}\right) \Longrightarrow A\cdot B=\left(\begin{array}{rrrr} 8+ \mathbf i&4&0&-5\\ -\mathbf i&0&0&1\\ 28+3\mathbf i&14&0&-17 \end{array}\right)

П

Пример:

A=\left( \begin{array}{rrr} 3&-1&-1\\ 2&0&1\\ 1&1&1 \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{rr} 2&1\\ -1&0\\ 0&1 \end{array}\right)\Longrightarrow A\cdot B= \left(\begin{array}{rr} 7&2\\ 4&3\\ 1&2 \end{array}\right)

П

Пример:

A=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right), B=(1,2,-1,-2) \Longrightarrow A\cdot B= \left(\begin{array}{rrrr} 1&2&-1&-2\\ 0&0&0&0\\ 1&2&-1&-2\\ 1&2&-1&-2 \end{array}\right)
B \cdot A = ( - 2 ) \ .

§

Последний пример показывает некоторую неоднозначность определения умножения матриц: что явилось результатом умножения: матрица порядка 1 \times 1_{} или ее (единственный) элемент? Обычно в математических рассуждениях эта неоднозначность не влияет на результаты и потому не принимается во внимание. Хотя с формальной точки зрения, можно, например, обсуждать следующее противоречие. Такое действие как умножение квадратичной формы f(x,y)=2\,x^2-4\,xy+3\,y^2 на матрицу произвольного порядка вполне определено. В то же время, если ту же квадратичную форму представить в матричном виде, то результат действий

(x,y) \cdot \left(\begin{array}{rr} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)

представится матрицей порядка 1\times 1. Последняя — в соответствии с формальным правилом умножения матриц — не может быть умножена ни на какую матрицу порядка m\times n_{} при m_{}>1. Кроме того, приходится учитывать неоднозначность определения операции умножения строки на столбец при программировании алгоритмов: типы объектов — число и матрица (массив) — все-таки различны.

!

Операция умножения матриц некоммутативна : даже если определены оба произведения A\cdot B_{} и B \cdot A_{}, то, как правило, A\cdot B \ne B \cdot A.

Т

Теорема. Операция умножения матриц подчиняется ассоциативному закону:

(A\cdot B) \cdot C = A\cdot (B \cdot C)

если хотя бы в одной части равенства произведение определено.

Что послужило причиной введения такой операции умножения?

– Для ответа на этот вопрос нужно сказать об изначальной области применения матричного формализма: матрицы служат удобным средством исследования систем линейных уравнений.

П

Пример: Cистему уравнений от четырех переменных

\left\{ \begin{array}{rrrrcr} 2x_1&-3x_2&+x_3 &-5x_4 &=& 1 \\ -x_1& &+4x_3 &-3x_4 &=& -2 \\ & x_2 &-3x_3 &+7x_4 &=& 5 \end{array} \right.

можно переписать в виде:

\left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)x_1 + \left( \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)x_2+ \left( \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)x_3+ \left( \begin{array}{r} -5 \\ -3 \\ 7 \end{array} \right)x_4= \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right) ,

и переформулировать задачу поиска решений этой системы в виде: найти такую линейную комбинацию столбцов

\left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right), \left( \begin{array}{r} -5 \\ -3 \\ 7 \end{array} \right) \ ,

которая будет совпадать со столбцом

\left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right) \ .

Таким образом, мы задействовали операцию сложения матриц. С другой стороны, ту же самую систему уравнений можно переписать с помощью операции умножения матриц. Так, c использованием правила умножения строки на столбец, первое из уравнений системы переписывается в виде:

(2,-3,1,-5) \cdot \left( \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) = 1 \ ;

обобщая этот результат, получаем матричную форму записи системы уравнений:

\left( \begin{array}{rrrr} 2&-3&1 &-5 \\ -1&0 &4 &-3 \\ 0& 1 &-3 &7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right) \ .

Преимущества такой формы записи по сравнению с обычной, на первый взгляд, не очевидны. Попробуем, однако, усложнить задачу. Предположим, что неизвестные x_1,x_2,x_3,x_4, в свою очередь, зависят от других неизвестных — y_1,y_2,y_3, и эта зависимость линейная:

\begin{array}{rrrrr} x_1&=&3y_1 &-2y_2&+3y_3, \\ x_2&=&-y_1 &+5y_2&-7y_3, \\ x_3&=&y_1 &-y_2&+y_3, \\ x_4&=& &2y_2&-2y_3. \end{array}

Задачей ставится нахождение значений именно неизвестных y_1,y_2,y_3. Задачу в такой постановке можно решать последовательно: сначала выразить x_1,x_2,x_3,x_4 из системы уравнений (отметим, что приведенная система имеет бесконечное множество решений), а потом подставить каждый из получившихся наборов значений x_1,x_2,x_3,x_4 в уравнения, связывающую их с y_1,y_2,y_3. И попытаться решить получившиеся системы линейных уравнений относительно новых переменных (а вот эти новые системы, в большинстве своем, решений иметь не будут).

Ту же задачу можно решать и напрямую: в исходную систему уравнений относительно x_1,x_2,x_3,x_4 подставить выражения этих переменных через y_1,y_2,y_3 и решать уже получившуюся систему — которая, очевидно, также будет линейной. Осталось только выяснить по какому правилу образуются коэффициенты этой новой системы. При подстановке в первое уравнение системы

2x_1-3x_2+x_3 -5x_4 = 1

выражений для x_1,x_2,x_3,x_4 получаем:

2(3y_1 -2y_2+3y_3)-3(-y_1 +5y_2-7y_3)+(y_1 -y_2+y_3) -5(2y_2-2y_3) = 1 \ .

Понаблюдаем каким образом генерируются коэффициенты при новых переменных:

\begin{array}{llllcl} (2\cdot 3 &+ (-3)\cdot (-1)& + 1 \cdot 1 & + (-5) \cdot 0)y_1 &+ \\ (2\cdot (-2)& + (-3)\cdot 5 & + 1 \cdot (-1)& + (-5) \cdot 2)y_2 &+ \\ (2\cdot 3 &+ (-3)\cdot (-7) &+ 1 \cdot 1 &+ (-5) \cdot (-2))y_3 &=1. \end{array}

Эти коэффициенты могут быть получены как результат перемножения матриц. Если переписать замену переменных в матричном виде:

\left( \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rrr} 3&-2 &3 \\ -1& 5 &-7 \\ 1 &-1 &1 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right) \ ,

то умножение

(2,-3,1, -5) \left( \begin{array}{rrr} 3&-2 &3 \\ -1& 5 &-7 \\ 1 &-1 &1 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right)

даст ту же левую часть уравнения относительно y_1,y_2,y_3. А результат замены переменных во всей системе может быть записан в матричном виде. Обозначим матрицу системы уравнений

A=\left( \begin{array}{rrrr} 2&-3&1 &-5 \\ -1&0 &4 &-3 \\ 0& 1 &-3 &7 \end{array} \right)

столбец правых частей системы:

{\mathcal H}= \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right)\ ,

и матрицу замены переменных

B=\left( \begin{array}{rrr} 3&-2 &3 \\ -1& 5 &-7 \\ 1 &-1 &1 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right) \ .

Имеем:

A \cdot X={\mathcal H},\ X=B \cdot Y

и замена переменных в системе уравнений производится так, как если бы это были обычные числовые равенства:

A \cdot B \cdot Y ={\mathcal H} \ \iff \ \left( \begin{array}{rrrr} 2&-3&1 &-5 \\ -1&0 &4 &-3 \\ 0& 1 &-3 &7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 3&-2 &3 \\ -1& 5 &-7 \\ 1 &-1 &1 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rrr} 10&-30 &38 \\ 1& -8 &7 \\ -4 &22 &-24 \end{array} \right)\left( \begin{array}{r} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right) \ .

Переписав теперь это уравнение в привычном виде системы уравнений:

\left\{ \begin{array}{rrrr} 10y_1 &-30y_2&+38y_3 & = 1 \\ y_1 &-8y_2&+7y_3 &=-2 \\ -4y_1 &+22y_2&-24y_3 & =5. \end{array} \right.

мы можем ее решить, последовательно выражая переменные (см. метод Гаусса):

y_1=23/10,\ y_2=1/10,\ y_3=-1/2 \ .

Вывод. Произведение матриц вводится именно так, чтобы обеспечить операцию линейной замены переменных в системе линейных уравнений. Некоторые из свойств этой операции совпадают со свойствами обычного произведения чисел — и эта аналогия упрощает формализацию ряда алгоритмов. Однако, эта аналогия не распространяется на все свойства числовых операций — из-за отсутствия хотя бы той же коммутативности умножения матриц.

?

Выполнение равенства A \cdot B = 0 для чисел A и B влечет за собой обязательное выполнение хотя бы одного из равенств A = 0 или B = 0. Справедливо ли аналогичное утверждение для матриц?

?

Какую матрицу надо умножить на матрицу A_{}, чтобы результатом стала матрица c\,A, где c_{} — произвольное фиксированное число?

§

В приложениях используются и другие определения произведения двух матриц. Например, для матриц A_{} и B_{} одинакового порядка их адамаровым произведением называется матрица того же порядка, состоящая из поэлементных произведений: C=\left[ a_{jk} b_{jk} \right]. См. также и КРОНЕКЕРОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

Квадратные матрицы

Матрица A_{} называется квадратной, если количество ее строк равно количеству ее столбцов. О квадратной n\times n_{}-матрице будем говорить как о матрице порядка \mathbf n, а записывать ее компактно в виде

A=\left[ a_{jk} \right]_{j,k=1}^n

Если матрицы A_{} и B_{} – квадратные порядка n_{}, то обе матрицы AB_{} и BA_{} являются тоже квадратными порядка n_{}. Тем не менее, и в этом случае, как правило, AB\ne BA_{}.

П

Пример:

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ,\quad B= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow AB= \begin{pmatrix} 11 & 8 \\ 23 & 18 \end{pmatrix},\ BA= \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 14 & 22 \end{pmatrix} .

Говорят, что матрицы A_{} и B_{} коммутируют (или перестановочны), если AB=BA_{}.

симметричная

Главной диагональю квадратной матрицы A_{} называется ее диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол, т.е. эта диагональ совпадает с вектором (a_{11},\dots,a_{jj},\dots,a_{nn}^{}).

Матрица A_{} называется симметричной если она удовлетворяет соотношению

A=A^{\top} .

Из определения следует, что симметричная матрица может быть только квадратной, а ее элементы должны удовлетворять соотношению:

a_{jk}=a_{kj} \quad npu \ \{j,k \} \subset \{1,\dots, n\} .

Иными словами, симметричная матрица — это такая матрица, которая симметрична относительно своей главной диагонали.

?

Сколько элементов надо задать, чтобы однозначно определить симметричную матрицу порядка n_{}?

Частным случаем симметричной матрицы является диагональная матрица:

D=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & {\mathbb O} \\ {\mathbb O} & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{array} \right) .
§

Подробнее о симметричной матрице ЗДЕСЬ.

единичная

Матрица

E_n = \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & & {\mathbb O} \\ {\mathbb O} & & \ddots & \\ & & & 1 \end{array} \right)_{n}= \left[\delta_{jk} \right]_{j,k=1}^n

называется единичной матрицей порядка n_{}.

кососимметричная

Матрица A_{} называется кососимметричной если она удовлетворяет соотношению

A=-A^{\top} .

Из определения следует, что кососимметричная матрица может быть только квадратной, а ее элементы должны удовлетворять соотношению:

a_{jk}=-a_{kj} \quad , \ \{j,k \} \subset \{1,\dots, n\} .

Отсюда вытекает, что все элементы главной диагонали кососимметричной матрицы должны быть равны 0.

П

Пример. Векторное произведение вектора X=(x_{1},x_2,x_3) на вектор Y=(y_{1},y_2,y_3) может быть задано с помощью кососимметричной матрицы:

X\times Y = \left(\begin{array}{rrr} 0 & y_3 & - y_2 \\ -y_3 & 0 & y_1 \\ y_2 & -y_1 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \ .

?

Указать все элементы кососимметричной матрицы

\left( \begin{array}{rrr} & 1 & \\ & & 3 \\ -2 & & \end{array} \right)_{3\times 3} .

?

Доказать, что при любой квадратной матрице A_{}
а) матрицы A_{}+A^{\top} и A_{}A^{\top} будут симметричными;
б) матрица A_{}-A^{\top} будет кососимметричной.

Т

Теорема. Для любой квадратной матрицы A_{} существует и единственно ее представление в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, а именно:

A = \frac{1}{2} (A+A^{\top}) + \frac{1}{2} (A-A^{\top}) \ .

§

Свойства кососимметричной матрицы ЗДЕСЬ

обратно симметричная матрица

Не очень удачный перевод на русский выражения reciprocal symmetric matrix. Формально определяется как квадратная матрица с ненулевыми элементами, удовлетворяющая соотношению

A=[a_{jk}]_{j,k=1}^n , a_{jk}=1/a_{kj} \ .

Из этого определения следует, что все элементы главной диагонали такой матрицы равны 1_{}. Обычно рассматриваются положительные обратно симметричные матрицы.

П

Пример.

\left( \begin{array}{rrr} 1 & \sqrt{2} & 3 \\ 1/\sqrt{2} & 1 & 1/4 \\ 1/3 & 4 & 1 \end{array} \right) \ .

Матрицы встречаются в теории принятия решений. Пусть имеется n_{} различных критериев C_1,C_2,\dots, C_n и человек, принимающий решения (эксперт), может оценить во сколько раз критерий C_j важнее (предпочтительней) критерия C_k; соответствующую величину a_{jk} называют интенсивностью (мощностью) предпочтения6). Особенно удачно, если эксперт оказывается достаточно квалифицированным (или самоуверенным) и в состоянии ранжировать набор критериев, придав каждому определенные веса w_1,w_2,\dots, w_n. Тогда матрица

\left[\frac{w_j}{w_k} \right]_{j,k=1}^n

представляет собой обратно симметричную матрицу, обладающую свойством

a_{jk}=a_{j\ell}a_{\ell k} \ .

В этом случае про обратно симметричную матрицу говорят, что она мощностно-транзитивная7).

треугольная

Так называется квадратная матрица, у которой все элементы выше главной диагонали или ниже ее равны нулю. Различают верхнетреугольную8)

U=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} &a_{13} & \dots & a_{1n} \\ & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ & & \ddots & & \\ & \mathbb O & & \ddots & \vdots \\ & & & & a_{nn} \end{array} \right)

и нижнетреугольную

L=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & & & & \\ a_{21} & a_{22} & & & \\ & & \ddots & \mathbb O & \\ \vdots & & & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & & a_{nn} \end{array} \right)

матрицы. Часто эти матрицы называют право- и левотреугольными соответственно и обозначают тогда R_{} и L_{}. В одной и той же книге можно встретить одновременно LU-разложение матрицы и QR-разложение матрицы; при этом вторые буквы означают именно верхнетреугольные матрицы. Так исторически сложилось: неудобно, но привычно!

ортогональная

матрица — это квадратная матрица A_{} с вещественными элементами, удовлетворяющая соотношению:

A \cdot A^{\top} = E \ ,

здесь E_{} — единичная матрица того же порядка, а {}^{\top} означает транспонирование. Иными словами, строки матрицы A_{} удовлетворяют условию

A^{[j]}\cdot \left( A^{[k]} \right)^{\top} = a_{j1}a_{k1}+a_{j2}a_{k2} + \dots + a_{jn}a_{kn}= \delta_{jk} \ ,

где \delta_{jk}^{}символ Кронекера. Если определить скалярное произведение для строк X=(x_1,x_2,\dots,x_{n}) и Y=(y_1,y_2,\dots,y_{n}) по правилу, естественно обобщающему определение скалярного произведения в двух- и трехмерном пространстве:

(X,Y)=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \ ,

то определение ортогональной матрицы оправдано тем, что ее строки оказываются взаимно ортогональными. К тому же, они все имеют «единичную длину»: сумма квадратов элементов любой строки равна 1.

§

В литературе под ортогональной матрицей иногда понимают и матрицу с комплексными элементами, удовлетворяющую соотношению A \cdot A^{\top} = E. Тогда для матрицы из приведенного выше случая используют название вещественная ортогональная матрица.

П

Пример. Матрица

\left( \begin{array}{rr} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)

— ортогональная.

Т

Теорема. Если матрица A_{}ортогональная, то и матрица A_{}^{\top}ортогональная, т.е. у ортогональной матрицы взаимно ортогональны не только строки, но и столбцы.

§

Подробнее об ортогональной матрице ЗДЕСЬ

Следующий класс матриц не относится ко множеству ортогональных, но близок к нему по смыслу.

Матрица A_{} называется матрицей Адамара9) если любой ее элемент равен либо +1_{} либо - 1_{} и ее строки взаимно ортогональны. Иными словами для матрицы Адамара порядка n_{} должно быть выполнено:

A^{\top} \cdot A = n E \ ,

где E_{} — единичная матрица того же порядка.

П

Пример. Матрицы

\left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \quad u \quad \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 &-1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{array} \right)

— матрицы Адамара. С помощью последней матрицы и следующего результата можно сконструировать матрицу Адамара порядка 2^{n}.

Т

Теорема. Если H_{}матрица Адамара порядка n_{}, то блочная матрица

\left[ \begin{array}{rr} H & H \\ H & -H \end{array} \right]

является матрицей Адамара порядка 2\,n.

Если при n> 2 матрица Адамара существует, то n_{} должно быть кратно 4_{}. Обратное утверждение составляет содержание следующей гипотезы:

Гипотеза Адамара: для любого натурального n_{} кратного 4_{} существует матрица Адамара порядка n_{}. Не доказана.10)

§

Применение матрицы Адамара КОДИРОВАНИЕ.

ганкелева

матрица — это квадратная матрица вида

\left(\begin{array}{lllll} h_0 & h_1 & h_2 & \dots & h_{n-1} \\ h_1 & h_2 & h_3 & \dots & h_n \\ h_2 & h_3 & h_4 & \dots & h_{n+1} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ h_{n-1} & h_{n} & h_{n+1} & \dots & h_{2n-2} \end{array} \right)_{n\times n}= \left[ h_{j+k}\right]_{j,k=0}^{n-1}

Симметричная матрица, на каждой диагонали которой, перпендикулярной главной, стоят одинаковые элементы. Таким образом, ганкелева11) матрица полностью определяется заданием своих крайних элементов:

h_0,h_1,\dots, h_{2n-2}

— они называются образующими ганкелевой матрицы.

§

Применения ганкелевых матриц ИНТЕРПОЛЯЦИЯ,

АППРОКСИМАЦИЯ,

ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА.

.

тёплицева

Так называется квадратная матрица вида

\left(\begin{array}{lllll} t_0 & t_{-1} & t_{-2} & \dots & t_{-n+1} \\ t_1 & t_0 & t_{-1} & \dots & t_{-n+2} \\ t_2 & t_1 & t_0 & \dots & t_{-n+3} \\ \vdots & & & & \vdots \\ t_{n-1} & t_{n-2} & t_{n-3} & \dots & t_{0} \end{array} \right)= \left[ t_{j-k}\right]_{j,k=0}^{n-1} \ .

Элементы каждой диагонали, параллельной главной, одинаковы. В отличие от ганкелевой матрицы, теплицева12) матрица не обязательно симметрична.

Частным случаем тёплицевой матрицы является циклическая матрица:

\left(\begin{array}{lllll} a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \dots & a_{n-2} \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \dots & a_1 \end{array} \right) \ ;

(иногда называется циркулянтом, хотя в отечественной литературе циркулянтом чаще называют ее определитель). Каждая строка, начиная со второй, получается сдвигом предыдущей вправо на один элемент; тот элемент, что при этом сдвиге «вываливается» за пределы матрицы, переставляется в начало строки.

§

Подробнее о циклической матрице ЗДЕСЬ

положительная

Так называется матрица A_{} все элементы которой положительны (определяется для матриц произвольного порядка — не обязательно квадратных). Обозначается A > 0 или A > \mathbb O. По аналогии определяются неотрицательная ( A \ge 0), отрицательная и неположительная матрицы.

стохастическая

Неотрицательная матрица, в которой сумма элементов каждой строки равна 1:

\left(\begin{array}{cccc} p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2n} \\ & & & \\ p_{n1} & p_{n2} & \dots & p_{nn} \end{array} \right)
\sum_{j=1}^n p_{kj}=1 \ npu \ k \in \{1,\dots,n \} .
П

Пример.

\left(\begin{array}{cccc} 1/3 & 1/2 & 1/6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0.13 & 0.35 & 0.21 & 0.31 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \end{array} \right)

Используется в теории вероятностей (цепи Маркова).

элементарных преобразований

Для квадратной матрицы A_{} умножение ее на единичную матрицу E_{} того же порядка не приводит к изменению матрицы: A \cdot E = E\cdot A=A_{}. Теперь «испортим» матрицу E_{} хотя бы в одном ее элементе и понаблюдаем за результатами аналогичных умножений.

П

Пример. а) Изменяется элемент вне главной диагонали: 0_{} меняется на какое-то число \alpha \in \mathbb A_{}.

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + \alpha a_{21} & a_{32} + \alpha a_{22} & a_{33} + \alpha a_{23} \end{array} \right) \ ;
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \alpha \\ 0 & 0& 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + \alpha a_{31} & a_{22} + \alpha a_{32} & a_{23} + \alpha a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \ .

Вывод. Умножение матрицы такого вида ( 0_{} в j_{}-й строке и k_{}-м столбце матрицы E_{} меняется на \alpha_{}) слева на матрицу A_{} эквивалентно прибавлению к j_{}-й строке матрицы A_{} ее k_{}-й строки, домноженной на \alpha_{}.

б) Изменяется элемент главной диагонали: 1_{} меняется на какое-то число \alpha \in \mathbb A_{}.

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} & \alpha a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)

Вывод. Умножение матрицы такого вида ( 1_{} в j_{}-й строке матрицы E_{} меняется на \alpha_{}) слева на матрицу A_{} эквивалентно домножению на \alpha_{} соответствующей строки матрицы A_{}.

в) Произведем еще одну «экзекуцию» с матрицей E_{}: переставим местами две ее строки. Такая матрица иногда называется матрицей перестановки (и, кстати, является ортогональной ) , что оправдано следующим ее свойством: умножим ее на A_{}:

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right)

Вывод. Умножение матрицы такого вида (переставляются j_{}-я и k_{}-я строки матрицы E_{}) слева на матрицу A_{} эквивалентно перестановке соответствующих строк матрицы A_{}.

Для общего случая матриц порядка n_{} матрицы, построенные по аналогии с предыдущим примером, называются матрицами элементарных преобразований.

?

Показать, что умножение матриц преобразований справа на матрицу A_{} эквивалентно соответствующим преобразованиям столбцов матрицы A_{}.

?

Какое действие с матрицей A_{} оказывает умножение ее на матрицу

\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{array} \right) \ ?

Последняя матрица относится к классу матриц, обобщающих класс матриц элементарных преобразований. Матрица P_{} называется матрицей перестановки если в любой ее строке и любом ее столбце в точности один элемент равен 1_{} при всех остальных равных 0_{}. Она тесно связана с понятием перестановки элементов. Пусть имеются различные числа13) \{\alpha_1,\dots, \alpha_n\}. Любое их упорядочивание называется перестановкой. Если имеются две перестановки одного и того же набора чисел, записываемые в виде векторов-строк: (x_1,\dots,x_{n}) и (y_1,\dots,y_n), то они связаны между собой посредством умножения на матрицу перестановки P_{} порядка n_{}:

(y_1,\dots,y_n) =(x_1,\dots,x_n)P \ .

Так, к примеру, если (y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_2,x_4,x_3,x_1), то

(y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_1,x_2,x_3,x_4) \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \ .

Очевидно действие матрицы перестановки при умножении на произвольную квадратную матрицу A_{}; также очевидно, что результат этого действия эквивалентен последовательным действиям матриц элементарных преобразований, т.е. любая матрица перестановки может быть представлена как произведение матриц элементарных преобразований.

§

Матрицы элементарных преобразований используются при анализе метода Гаусса решения систем линейных уравнений.

ленточная

Пронумеруем диагонали квадратной матрицы, начиная с главной — в обе стороны. Если все диагонали, начиная с некоторого их номера, будут заполнены нулевыми элементами, то такая матрица называется ленточной. Аналитически:

a_{jk}=0 \quad npu \quad |j-k| \ge L \ .

Минимальное из возможных значений L, при которых последнее будет выполнено, называется шириной ленточной матрицы: в этом случае матрица имеет не более 2L-1 диагоналей, которые могут содержать ненулевые элементы.

П

Пример. Ленточная матрица ширины 1_{} является диагональной матрицей; ленточная матрица ширины 2_{} является трехдиагональной:

\left( \begin{array}{lllllllll} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & a_{34} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{43} & a_{44} & a_{45} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & & & & \ddots & & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n,n-1} & a_{n,n} \end{array} \right).

§

Ленточные матрицы возникают в численных методах решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений; см. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ.

Часто встречающиеся ("именные") матрицы

Грама

Пусть в линейном пространстве \mathbb E определено скалярное произведение векторов, которое обозначим (X,Y).

Матрицей Грама системы векторов \{X_1,\dots,X_{m} \} называется квадратная матрица

G(X_1,\dots,X_m)=\left( \begin{array}{cccc} (X_1,X_1) & (X_1,X_2) & \dots & (X_1,X_m) \\ (X_2,X_1) & (X_2,X_2) & \dots & (X_2,X_m) \\ \dots & && \dots \\ (X_m,X_1) & (X_m,X_2) & \dots & (X_m,X_m) \end{array} \right) = \left[ (X_j,X_k) \right]_{j,k=1}^m \ .

Если векторы \{X_1,\dots,X_{n} \} составляют базис линейного пространства, то задание их матрицы Грама сведет вычисление скалярного произведения произвольных векторов пространства к действию с их координатами: если

X=x_1X_1+ \dots +x_nX_n \quad u \quad Y=y_1X_1+ \dots +y_nX_n \ ,

то

(X,Y)=(x_1,x_2,\dots,x_n)\left( \begin{array}{cccc} (X_1,X_1) & (X_1,X_2) & \dots & (X_1,X_n) \\ (X_2,X_1) & (X_2,X_2) & \dots & (X_2,X_n) \\ \dots & & & \dots \\ (X_n,X_1)& (X_n,X_2) & \dots &(X_n,X_n) \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) \ .
§

Подробнее о свойствах матрицы Грама и ее применении к задачам вычисления расстояний ЗДЕСЬ.

Вандермонда

\mathbf V(x_1,\dots,x_n)= \left[ x_j^{k-1} \right]_{j,k=1}^{n}= \left(\begin{array}{ccccc} 1 &x_1&x_1^2&\ldots&x_1^{n-1}\\ 1 &x_2&x_2^2&\ldots&x_2^{n-1}\\ \vdots& &&& \vdots\\ 1 &x_n&x_n^2&\ldots&x_n^{n-1} \end{array}\right)_{n\times n}

или ей транспонированная. Иногда рассматривают неквадратные матрицы Вандермонда.

§

Подробнее о матрице Вандермонда ЗДЕСЬ.

Частным случаем матрицы Вандермонда является матрица дискретного преобразования Фурье:

F=\left[ \varepsilon_j^{k} \right]_{j,k=0}^{n-1}= \left( \begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \varepsilon_1 & \varepsilon_1^2 & \dots & \varepsilon_1^{n-1} \\ 1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_2^2 & \dots & \varepsilon_2^{n-1} \\ 1 & \varepsilon_3 & \varepsilon_3^2 & \dots & \varepsilon_3^{n-1} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & \varepsilon_{n-1} & \varepsilon_{n-1}^{2} & \dots & \varepsilon_{n-1}^{n-1} \end{array} \right)_{n\times n} \quad npu \quad \varepsilon_j = \cos \frac{2 \pi j}{n} + {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi j}{n}

корне n-й степени из 1. Основываясь на свойстве \varepsilon_j=\varepsilon_1^j, матрицу часто записывают в эквивалентном виде

F= \left[ \varepsilon^{jk} \right]_{j,k=0}^{n-1}= \left( \begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \dots & \varepsilon^{n-1} \\ 1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \dots & \varepsilon^{2(n-1)} \\ 1 & \varepsilon^3 & \varepsilon^6 & \dots & \varepsilon^{3(n-1)} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2(n-1)} & \dots & \varepsilon^{(n-1)^2} \end{array} \right)_{n\times n} \quad npu \quad \varepsilon = \cos \frac{2 \pi}{n} + {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi}{n} \ .
§

Свойства матрицы дискретного преобразования Фурье ЗДЕСЬ; ее применение ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Фробениуса

{\mathfrak F}= \left( \begin{array}{lllllll} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots& &&&\ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & & \dots & a_2 & a_1 \end{array} \right)_{n \times n}
§

Применение матрицы Фробениуса РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ; ее характеристический полином ЗДЕСЬ

Якоби

Матрицей Якоби системы из m_{} функций \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_{m}(x_1,\dots,x_n)\} по переменным x_{1},\dots,x_n называется матрица, составленная из всевозможных частных производных:

\mathbf J = \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j=1,\dots,m, \atop k=1,\dots,n} = \left( \begin{array}{cccc} {\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\ {\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial f_m}/{\partial x_1} & {\partial f_m}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_m}/{\partial x_n} \end{array} \right)_{m\times n} .

В частном случае m=1_{} матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор в \mathbb R_{}^{n} или в \mathbb C^{n} называется градиентом функции f_{} (в точке (x_1,\dots,x_{n})):

\operatorname{grad} (f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \ .
§

Применение матрицы Якоби ЗДЕСЬ

Функции от матрицы

определитель

или детерминант14) определяется для произвольной квадратной матрицы A_{}, и представляет из себя полином от всех ее элементов. Обозначается - либо \det (A_{}), либо \det A_{}, либо - в развернутом виде -

\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|

(матрица ограничивается вертикальными чертами). Имея в виду порядок матрицы A_{}, о ее определителе говорят как об определителе порядка n_{}.

Для n=1_{}:

\det (A) = a_{11} \ ;

для n=2_{}:

\det (A) = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \ ;

для n=3_{}:

\det (A) = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| =
=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23} a_{31} + a_{21}a_{32} a_{13} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{11} a_{32} a_{23} \ ;

для n=4_{} формула становится громоздкой.

Понятие определителя вводится с целью компактной записи критерия разрешимости системы линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{n1}x_1 &+a_{n2}x_2&+ \ldots&+a_{nn}x_n &=b_n. \end{array} \right.

и представления ее решения.

Т

Теорема. Если определитель матрицы, составленной из элементов a_{jk} отличен от нуля, то система имеет единственное решение относительно неизвестных x_{1},\dots,x_n.

§

Определение, свойства и применения определителя ЗДЕСЬ

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится, но имеется понятие миноров матрицы. Если выбрана подматрица матрицы A_{} — т.е. взяты ее элементы, стоящие на пересечении строк с номерами i_1,i_2,\dots,i_{k} и столбцов с номерами j_1,\dots,j_{\ell} (номера указаны строго в порядке возрастания) и эта подматрица — квадратная, т.е. k=\ell, то ее определитель называется минором матрицы (k-го порядка). Обозначать будем

A\left( \begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \dots & i_{k} \\ j_1 & j_2 & \dots & j_{k} \end{array} \right) \ .

след

определяется для произвольной квадратной матрицы A_{} как сумма элементов ее главной диагонали; обозначается15) \operatorname{Sp}(A_{}) или \operatorname{tr}(A_{}):

\operatorname{Sp}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn} .

Свойства. Для квадратных матриц одинакового порядка имеют место равенства:
a) \operatorname{Sp}(A+B) = \operatorname{Sp}(A) + \operatorname{Sp}(B_{}); б) \operatorname{Sp}(\alpha A_{}) = \alpha \operatorname{Sp}(A) для любого числа \alpha_{}; в) \operatorname{Sp}(AB) = \operatorname{Sp}(BA_{}); г) \operatorname{Sp} (A^{\top}) = \operatorname{Sp} (A_{}).

характеристический полином

определяется для произвольной квадратной матрицы A_{} как \det (A_{}- x E), где E_{} – единичная матрица одинакового с A_{} порядка. Если порядок матрицы равен n_{}, то указанный определитель является полиномом степени n_{} по x_{}.

П

Пример. Для n=2_{}:

\det (A-x E)= \begin{vmatrix} a_{11}-x & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}-x \end{vmatrix}=x^2-(a_{11}+a_{22})x + (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}) ;

для n=3:

\det (A-x E)= \begin{vmatrix} a_{11}-x & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22}-x & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33}-x \end{vmatrix}=
=-x^3+(a_{11}+a_{22}+a_{33})x^2 - \left \{ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33} \end{vmatrix} \right \}x +\det A .

§

Структура, свойства и методы вычисления характеристического полинома ЗДЕСЬ

ранг

определяется для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы A_{} как наибольший порядок ее отличных от нуля миноров. Иначе говоря: \operatorname{rank} (A_{}) ={\mathfrak r}\in {\mathbb N} тогда и только тогда, когда существует ее минор порядка {\mathfrak r}, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю. Кроме того, полагают ранг нулевой матрицы равным нулю: \operatorname{rank} ({\mathbb O}_{m\times n}) = 0_{}.

§

Методы вычисления, свойства и применения ранга матрицы ЗДЕСЬ

норма

Функция, ставящая в соответствие произвольной квадратной матрице A_{} порядка n_{} вещественное число, называется матричной нормой если для нее выполняются следующие аксиомы:

  1. || A_{} || \geq 0 (неотрицательность);
  2. || A_{} || = 0 тогда и только тогда, когда A_{}=\mathbb{O} (положительность);
  3. || \alpha A_{} ||=|\alpha|\cdot || A || для всех \alpha_{}\in \mathbb{C} (абсолютная однородность);
  4. || A + B_{} || \le ||A||+||B|| (неравенство треугольника);
  5. ||AB||\le ||A|| \cdot ||B_{}||.
§

Норма вводится не только для квадратных матриц. Подробнее ЗДЕСЬ.

Обращение матрицы

Для квадратной матрицы A_{} матрица B_{} называется левой обратной, если BA=E_{}, где E_{}единичная матрица одинакового порядка с A_{}. Отсутствие свойства коммутативности умножения приводит к необходимости определения еще одной обратной матрицы — правой обратной, т.е. матрицы C_{} такой, что AC= E_{}. К счастью, необходимость в этом «дублировании» практически сразу пропадает:

Т

Для того, чтобы существовала левая обратная матрица для матрицы A_{} необходимо и достаточно, чтобы \det A_{} \ne 0. В этом случае, левая обратная матрица будет единственной, и будет совпадать с правой обратной.

Для обратной к матрице A_{} закреплено обозначение A_{}^{-1}, а сама процедура нахождения обратной матрицы называется обращением. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Доказательство. Необходимость условия \det A_{} \ne 0 для существования, например, левой обратной матрицы следует из условия

\det (B \cdot A)= \det E \quad \iff \quad (\det B) (\det A) =1 \ .

Покажем достаточность. Вычислим все алгебраические дополнения к элементам матрицы A_{}, составим из них новую матрицу порядка n_{} и транспонируем ее. Полученная матрица

\tilde A =\left(\left[A_{jk} \right]_{jk}^n \right)^{\top} = \left( \begin{array}{llll} A_{11} & A_{21}& \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & & & \dots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{array} \right)

называется взаимной или союзной матрице A_{}. Для любой матрицы A_{} имеет место равенство

A \cdot \tilde A = \left( \begin{array}{cccc} \det A & & & \\ & \det A & & {\mathbb O} \\ {\mathbb O} & & \ddots & \\ & & & \det A \end{array} \right) = \det A \cdot E \ .

Справедливость этого факта следует из теории определителей: сумма произведений элементов строки матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы; а на алгебраические дополнения к элементам любой другой строки — нулю (см. ЗДЕСЬ ).

При выполнении условия \det A_{} \ne 0 можем взять

A^{-1}=\frac{\tilde A }{\det A}= \left( \begin{array}{llll} \frac{A_{11}}{\det A} & \frac{A_{21}}{\det A} & \dots & \frac{A_{n1}}{\det A} \\ &&& \\ \frac{A_{12}}{\det A} & \frac{A_{22}}{\det A} & \dots & \frac{A_{n2}}{\det A} \\ &&& \\ \vdots & & & \vdots \\ \frac{A_{1n}}{\det A} & \frac{A_{2n}}{\det A} & \dots & \frac{A_{nn}}{\det A} \end{array} \right) \ .

Пока что мы получили правую обратную матрицу: доказано, что она удовлетворяет условию A C = E_{}. Проверка того, что полученная матрица будет являться и левой обратной, т.е. удовлетворяет условию C A=E, производится снова с использованием теоремы о сумме произведений элементов столбца матрицы A_{} на алгебраические дополнения к другому столбцу той же матрицы (см. ☞ЗДЕСЬ ). Теперь покажем, единственность полученной обратной матрицы. Предположим, что каким-то другим способом найдена еще одна матрица C_1 обладающая тем же самым свойством A C_1 = E. Домножим это равенство слева на матрицу C_{}:

C(AC_1) = C E \ .

Операция умножения матриц подчиняется ассоциативному закону, поэтому

(CA) C_1 = C ,

но, по доказанному ранее, CA=E_{}. И мы получили равенство C_1 = C, доказывающее единственность правой обратной матрицы. Аналогично доказывается единственность и левой обратной.

П

Пример. Вычислить

\left( \begin{array}{rrr} 4 & 8 & -5\\ -4 & 7 &-1 \\ -3 & 5 & 1 \end{array} \right)^{-1} \ .

Решение. Вычисляем определитель этой матрицы: \det A = 99 \ne 0. Обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов:

\overbrace{\left| \begin{array}{rr} 7 &-1 \\ 5 & 1 \end{array} \right|}^{A_{11}}=12, \ \overbrace{-\left| \begin{array}{rrr} -4 &-1 \\ -3 & 1 \end{array} \right|}^{A_{12}}=7, \overbrace{\left| \begin{array}{rrr} -4 & 7 \\ -3 & 5 \end{array} \right|}^{A_{13}}=1,
\overbrace{-\left| \begin{array}{rr} 8 &-5 \\ 5 & 1 \end{array} \right|}^{A_{21}}=-33,\ \overbrace{\left| \begin{array}{rr} 4 &-5 \\ -3 & 1 \end{array} \right|}^{A_{22}}=-11,\ \overbrace{-\left| \begin{array}{rr} 4 &8 \\ -3 & 5 \end{array} \right|}^{A_{23}}=-44,
\overbrace{\left| \begin{array}{rr} 8 &-5 \\ 7 & -1 \end{array} \right|}^{A_{31}}=27,\ \overbrace{-\left| \begin{array}{rr} 4 &-5 \\ -4 & -1 \end{array} \right|}^{A_{32}}=24,\ \overbrace{\left| \begin{array}{rr} 4 &8 \\ -4 & 7 \end{array} \right|}^{A_{33}}=60\ .

Cоставляем из них матрицу:

\left( \begin{array}{rrr} 12 & 7 & 1\\ -33 & -11 &-44 \\ 27 & 24 & 60 \end{array} \right)

и не забываем ее транспонировать, а также поделить на определитель!

Ответ.

\left( \begin{array}{rrr} \frac{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 33} & -\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3} & \frac{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 11} \\ && \\ \frac{\scriptstyle 7}{\scriptstyle 99} & -\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} & \frac{\scriptstyle 8}{\scriptstyle 33} \\ && \\ \frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 99} & -\frac{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 9} & \frac{\scriptstyle 20}{\scriptstyle 33} \end{array} \right) \ .
?

Показать справедливость следующих свойств операции обращения :
a) (A^{-1})^{-1}=A_{}; б) (A\cdot B)^{-1} = B^{-1}A_{}^{-1}; в) (A_{}^{\top})^{-1}=(A^{-1})^{\top}; г) \det A_{}^{-1} = (\det A)^{-1}.
Предполагается, что в левой части каждого равенства операции определены.

§

Методы вычисления, свойства и применения обратной матрицы ЗДЕСЬ

Полином от матрицы и матричный полином

Для квадратной матрицы A_{} ее k_{}-й степенью (k_{}\in \mathbb N) называют результат умножения ее на себя k_{} раз:

A^k = \underbrace{A\cdot \dots \cdot A}_k \ .

В виду ассоциативности операции умножения, скобки в этом произведении можно расставить произвольным образом. Дополнительно полагают A^{0} = E при ненулевой матрице A_{} и, в случае существования обратной матрицы, определяют и отрицательную степень:

A^{-k} = (A^{-1})^k \ .
?

Показать, что a) cтепени матрицы A_{} коммутируют: A^{k} A^{\ell}= A^{\ell} A^k; б) \det (A^k) = \left( \det A \right)^{k}.

П

Пример. Вычислить

\left( \begin{array}{rrr} -3 & 2 & -3 \\ -2 & 3 & -3 \\ 1 &-1 & 1 \end{array} \right)^9

Решение. Чтобы сэкономить на количестве матричных умножений, будем осуществлять их по схеме

\left(\left(A^2 \right)^2\right)^2 A \ .

Имеем

A^2=\left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 0 \\ -3 & 8 & -6 \\ 0 &-2 & 1 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad \left(A^2 \right)^2= \left( \begin{array}{rrr} -5 & 30 & -18 \\ -30 & 67 & -54 \\ 6 &-18 & 13 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad \left(\left(A^2 \right)^2\right)^2= \left( \begin{array}{rrr} -983 & 2184 & -1764 \\ -2184 & 4561 & -3780 \\ 588 & -1260 & 1033 \end{array} \right)

и окончательно

\left(\left(A^2 \right)^2\right)^2A= \left( \begin{array}{rrr} -3183 & 6350 & -5367 \\ -6350 & 13095 & -10911 \\ 1789 & -3637 & 3049 \end{array} \right) \ .

?

Проверить, что для матрицы из предыдущего примера, любая ее степень

B=A^n

будет подчиняться условиям: b_{12}=-b_{21}^{} и b_{23}^{}=3 b_{32}.

Обобщением возведения в степень является операция вычисления полинома от матрицы. Если g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_{m}полином по переменной x_{}, то значением этого полинома на квадратной матрице A_{} называется матрица

g(A)=b_0A^m +b_1A^{m-1}+\dots+b_m E \ ,

где E_{} — единичная матрица того же порядка, что и A_{}.

П

Пример. Вычислить g(A)_{} для

g(x)= 3\,x^4-x^3+2\,x^2-4\,x-1 \quad u \quad A=\left( \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 4 \\ 3& 1 &8 \\ -4 & -8 & 1 \end{array} \right) \ .

Решение. Можно было бы производить вычисления напрямую, но мы снова попытаемся сэкономить на количестве операций, действуя по схеме Хорнера:

g(A)=(((3A-E)A+2E)A-4E)A-E \ .
B_1 = 3A-E = \left( \begin{array}{rrr} 2 & -9 & 12 \\ 9& 2 & 24 \\ -12 & -24 & 2 \end{array} \right) ; \ B_2=B_1A+2E= \left( \begin{array}{rrr} -71 & -111 & -52 \\ -81& -215 & 76 \\ -92 & -4 & -236 \end{array} \right) ;
B_3=B_2A-4E= \left( \begin{array}{rrr} -200 & 518 & -1224 \\ -1030& -584 & -1968 \\ 840 & 2160 & -640 \end{array} \right) ; \ g(A)=B_4=B_3A-E= \left( \begin{array}{rrr} 6249 & 10910 & 2120 \\ 5090& 18249 & -10760 \\ 9880 & 4760 & 19999 \end{array} \right)

§

Более подробный анализа структуры и изложение способов вычисления полинома от матрицы ЗДЕСЬ.

!

Следующее определение сходно по звучанию с предыдущим, но не совпадает с ним по смыслу. Имеются разночтения в определении matrix polynomial — см. статьи Википедии Polynomial matrix и Matrix polynomial.

Рассмотрим квадратную матрицу, элементами которой являются полиномы над множеством \mathbb A_{} (мы ограничимся случаями, когда это множество совпадает с одним из множеств \mathbb Z_{},\mathbb Q, \mathbb R или \mathbb C_{}).

П

Пример.

A(x)=\left( \begin{array}{ccc} 3x^2+4x+1 & x^3 - \sqrt{3} & -2\,x +1 \\ x^2-1 & 7\,x^3-x+4 & 6\,x^2-3\,x+1 \\ 4\,x^3-7\,x^2+3\,x-2 & 2\,x-17 & x^2 \end{array} \right) \ .

Такую матрицу можно представить в виде полинома по x_{} с матричными коэффициентами:

A(x)= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{array} \right) x^3 + \left( \begin{array}{rcc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 6 \\ -7 & 0 & 1 \end{array} \right) x^2 + \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & 0 \end{array} \right) x + \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \sqrt{3} & 1 \\ -1 & 4 & 1 \\ -2 & -17 & 0 \end{array} \right) \ .

В общем случае полиномиальная матрица имеет вид

A(x)=A_0 x^m + A_1 x^{m-1}+\dots+A_m \ ,

где A_0,\dots,A_{m} — квадратные числовые матрицы одинакового порядка n_{}. Часто полиномиальная матрица называется матричным полиномом по x_{} (или же полиномом по x_{} с матричными коэффициентами). Если при этом A_0 \ne \mathbb O, то n_{} называют степенью полиномиальной матрицы. Если, вдобавок, матрица A_{0} невырожденная, то матричный полином называется регулярным.

Матричные уравнения

Матрица может быть определена не только явным образом, но и заданием соотношения, которому она должна удовлетворять. Так, к примеру обратная матрица для квадратной матрицы A фактически определялась как решение матричного уравнения AX= E. Отсутствие свойства коммутативности умножения порождает причудливые комбинации, не имеющие аналогов в скалярном случае.

Уравнение Ляпунова

имеет вид

A^{\top}X+XA=C

при заданной матрице A_{} и заданной симметричной матрице C_{} (обе — квадратные одинакового порядка n_{}), относительно неизвестной матрицы X_{}, которая разыскивается также во множестве симметричных матриц порядка n_{}.

Имеет важное значение в теории управления.

Уравнение является частным случаем матричного уравнения Сильвестра

AX+XB=C

при произвольных квадратных матрицах A,B,C_{}.

!

Далее идет сложный для понимания материал!

Пример. Решить матричное уравнение Сильвестра для матриц второго порядка:

A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \ , \ B=\left( \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right) \ , \ C=\left( \begin{array}{cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array} \right) \ .

Решение. Подставляя в уравнение матрицу

X=\left( \begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right) \ ,

с пока неопределенными элементами, получаем систему линейных уравнений, которую тоже запишем в матричном виде:

\left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{12} \\ x_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{12} \\ c_{22} \end{array} \right)

(матрицы X_{} и C_{} «вытянули» в строки). Матрица в левой части имеет порядок 4_{} и может быть представлена в виде суммы двух матриц:

\left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 & a_{21} & a_{22} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & 0 & b_{21} & 0 \\ 0 & b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & b_{12} & 0 & b_{22} \end{array} \right) \ .

Для формализации записи этих двух слагаемых придумана специальная операция КРОНЕКЕРОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ. Пока не останавливаясь на этом формализме, вычислим определитель: получим крайне громоздкий полином 4_{}-й степени относительно элементов матриц A_{} и B_{}. Оказывается, этот полином совпадает с результантом характеристического полинома матрицы A_{} и характеристического полинома матрицы (-B_{}):

\mathcal R (\det(A-\lambda E), \det(-B-\lambda E)) \ .

Если это выражение отличо от нуля, то матричное уравнение AX+XB=C имеет решение при любой матрице C_{}.

Квадратные уравнения

?

Уравнение x^2=-1 не имеет решения в вещественных числах. Можно ли утверждать аналогичное для уравнения матричного:

X^2=- \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ ?

Эта задача — вычисления квадратного корня из матрицы — является частью общей задачи о вычислении аналитической функции от матрицы, т.е. произвольной функции g(x), представимой в виде сходящегося ряда. Частным случаем задачи является рассмотренная выше задача вычисления полинома от матрицы. Подробнее об этой задаче ЗДЕСЬ.

Уравнение

A^{\top}X+XA-X^{\top}BX=C

называется матричным уравнением Риккати. Уравнение Ляпунова получается из него при нулевой матрице B.

Матрица квадратичной формы

рассматривается ЗДЕСЬ

Матрица преобразования координат

— это матрица, связывающая координаты произвольного вектора X_{} из n_{}—мерного линейного пространства в двух различных базисах \{X_1,\dots,X_n\} и \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\} этого пространства:

X=x_1X_1+\dots+x_nX_n={\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n \ .

Называется также матрицей перехода от базиса к базису. Подробнее ЗДЕСЬ.

Матрица линейного отображения

— это матрица, связывающая координаты произвольного вектора X_{} из линейного пространства \mathbb V_{} с координатами его образа Y_{} в линейном пространстве \mathbb W_{} при выборе некоторых фиксированных базисов этих пространств. Подробнее ЗДЕСЬ.

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

1) matrix (лат.) - праматерь, первопричина, первоисточник.
2) concatenatio (лат.) — сцепление, связь
3) Обозначения для этой операции не встречал.
4) vectorization (англ.)
5) Я также буду использовать и обозначение A\times B_{}, хотя и реже…
6) preference intensivity
7) intensity transitive
8) Upper и Lower (англ.)
9) Адамар Жак (Hadamard Jacques Salomon, 1865-1963) — французский математик. Биография ЗДЕСЬ
10) По состоянию на 2011 г.
11) Ганкель Герман (Hankel Hermann, 1839-1873) — немецкий математик. Биография ЗДЕСЬ
12) Тёплиц Отто (Toeplitz Otto, 1881-1940) — немецкий математик. Биография ЗДЕСЬ.
13) Все последующие рассуждения будут справедливы и для элементов любой природы, для которых умножение на 0_{} и 1_{} определяется как для чисел.
14) determinator (лат.) — определяющий.
15) Spur (нем.), trace (англ.) - след.

2017/07/20 22:28 редактировал au