algebra:dets:binet_cauchy [VF]

Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

§

Вспомогательная страница к разделу ☞ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ.

Задача. Пусть произведение двух матриц дает квадратную $C_{m\times m}^{}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times m}$ . Выразить $\det C_{}$ через миноры матриц $A_{}$ и $B_{}$ .

Т

Теорема [Бине, Коши].

$\det C=\left\{\begin{array}{ll} 0& npu\ m>n; \\ \det A \cdot \det B& npu \ m=n; \\ \displaystyle \sum_{1\le \beta_1<\dots<\beta_m \le n } A\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & \dots & m \\ \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \end{array} \right) B\left( \begin{array}{llll} \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \\ 1 & 2 & \dots & m \end{array} \right)& npu\ m<n. \end{array} \right.$

Доказательство проведем только для второй из формул, для простоты рассуждений рассмотрев случай $m=n=3$ . Составим вспомогательный определитель порядка $m+n=6$ :

${\mathfrak B}=\left| \begin{array}{cc} A & \mathbb O \\ -E & B \end{array} \right|= \left| \begin{array}{rrrrrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} & & & \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & &\mathbb O & \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & & & \\ -1 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & -1 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & -1 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array} \right|$

На основании теоремы Лапласа этот определитель

${\mathfrak B}=\det A \det B \, .$

С другой стороны, действуя над его столбцами, добьемся, чтобы все элементы в правом нижнем углу обратились в нуль. Для этого прибавим к четвертому столбцу первый, умноженный на $b_{11}$ , второй, умноженный на $b_{21}$ и третий, умноженный на $b_{31}$ . Величина определителя от этого не изменится:

${\mathfrak B}=\left| \begin{array}{rrrlll} a_{11} & a_{12} & a_{13} &d_{11} &0 &0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &d_{21} &0 &0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &d_{31} &0 &0 \\ -1 & 0 & 0 &0 & b_{12} & b_{13} \\ 0 & -1 & 0 &0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & -1 &0 & b_{32} & b_{33} \end{array} \right|, \quad$ где $\quad \left\{ \begin{array}{ccc} d_{11}&=&a_{11}b_{11}+ a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31},\\ d_{21}&=&a_{21}b_{11}+ a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31},\\ d_{31}&=&a_{31}b_{11}+ a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}. \end{array} \right.$

Видим, что элементы $d_{j1}$ формируются по закону умножения матриц $A$ и $B$ : $j$ -я строчка матрицы $A$ умножается на первый столбец матрицы $B$ . Следовательно, $d_{j1}=c_{j1}$ . Проделав аналогичные преобразования, ведущие к обнулению оставшихся элементов матрицы $B$ , получим в результате:

${\mathfrak B}=\left| \begin{array}{cc} A & C \\ -E & \mathbb O \end{array} \right|.$

Снова применяем теорему Лапласа, теперь уже для миноров последних трех строк (т.е. $\alpha_1=4,\alpha_2=5,\alpha_3=6$ ):

${\mathfrak B}=(-1)^{4+5+6+1+2+3}\det\, (-E) \cdot \det \,C =\det \, C \, .$

Сравнивая два представления одного и того же определителя, получаем справедливость формулы $\det C= \det A \cdot \det B$ . ♦

T

Теорема. Для любой вещественной матрицы $A_{}$ выполнено неравенство:

$\det (A\cdot A^{\top}) \ge 0 \ ;$

при этом неравенство будет строгим тогда и только тогда, когда ранг матрицы $A_{}$ совпадает с числом ее строк: $\operatorname{rank} (A_{m\times n})=m_{}$ .

Доказательство проиллюстрируем на примере матрицы, содержащей $m=2_{}$ строки:

$A=\left(\begin{array}{rrrr} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{array} \right) \ .$

Имеем:

$\det(A\cdot A^{\top}) =\left|\begin{array}{cc} a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2 & a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n \\ a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n & b_1^2+ b_2^2 + \dots + b_n^2 \end{array} \right| =$

$=(a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2+ b_2^2 + \dots + b_n^2)-(a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n)^2$

С другой стороны, на основании теоремы Бине-Коши, получаем

$\det(A\cdot A^{\top})= \left| \begin{array}{rr} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array} \right|^2 + \dots + \left| \begin{array}{rr} a_j & a_ k \\ b_j & b_k \end{array} \right|^2 + \dots + \left| \begin{array}{rr} a_{n-1} & a_n \\ b_{n-1} & b_n \end{array} \right|^2 \ ;$

(здесь $j < k_{}$ ). Таким образом, получаем неравенство Коши-Буняковского:

$| a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n |\le \sqrt{a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2 + \dots + b_n^2} \ .$

Равенство здесь возможно тогда и только тогда, когда все определители

$\left| \begin{array}{rr} a_j & a_ k \\ b_j & b_k \end{array} \right| \ npu \ 1\le j < k \le n$

обратятся в нуль. Но это равносильно тому, что

$\operatorname{rank} (A_{2\times n})<2$

или, что то же, строки $(a_1,a_2,\dots,a_{n})$ и $(b_1,b_2,\dots,b_{n})$ пропорциональны:

$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots = \frac{a_n}{b_n} \ .$

♦