Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте
Вспомогательная страница к разделу ☞ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ.
Задача. Пусть произведение двух матриц дает квадратную . Выразить
через миноры матриц
и
.
Теорема [Бине, Коши].
Доказательство проведем только для второй из формул, для
простоты рассуждений рассмотрев случай . Составим вспомогательный определитель порядка
:
На основании теоремы Лапласа этот определитель
С другой стороны, действуя над его столбцами, добьемся, чтобы все элементы в правом нижнем углу обратились в нуль. Для этого прибавим к четвертому столбцу
первый, умноженный на , второй, умноженный на
и третий, умноженный
на
. Величина определителя от этого не изменится:
Видим, что элементы формируются по закону умножения матриц
и
:
-я строчка матрицы
умножается на первый столбец матрицы
.
Следовательно,
. Проделав аналогичные преобразования,
ведущие к обнулению оставшихся элементов матрицы
, получим в
результате:
Снова применяем теорему Лапласа, теперь уже для миноров последних трех строк
(т.е. ):
Сравнивая два представления одного и того же определителя, получаем справедливость
формулы .
♦
Теорема. Для любой вещественной матрицы выполнено неравенство:
при этом неравенство будет строгим тогда и только тогда, когда ранг матрицы совпадает с числом ее строк:
.
Доказательство проиллюстрируем на примере матрицы, содержащей строки:
Имеем:
С другой стороны, на основании теоремы Бине-Коши, получаем
(здесь ). Таким образом, получаем неравенство Коши-Буняковского:
Равенство здесь возможно тогда и только тогда, когда все определители
обратятся в нуль. Но это равносильно тому, что
или, что то же, строки
и
пропорциональны:
♦