УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательный раздел к разделу КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА.


Т

Теорема 1. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X, будет неотрицательной тогда и только тогда, когда ее отрицательный индекс инерции равен нулю:

n_{-} ({\mathbf A})=0 \qquad \iff \qquad \qquad \sigma ( {\mathbf A})=\operatorname{rank} {\mathbf A} \ .

Если это условие выполнено, то для положительной определенности формы необходимо и достаточно чтобы она была невырождена: \det {\mathbf A} \ne 0.

Доказательство. По теореме из ПУНКТА всегда найдется невырожденная замена переменных X=CY, приводящая квадратичную форму к каноническому виду:

f(X)=\alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 \ , \ {\mathfrak r}=\operatorname{rank} f \, .

Для записи обратной замены переменных Y=C^{-1}X обозначим \widetilde C = C^{-1}:

\widetilde C=\left[\widetilde c_{jk} \right]_{j,k=1}^n \, .

Достаточность. Если n_{-} ({\bf A})=0, то \alpha_1>0,\dots, \alpha_{\mathfrak r}>0, и тогда f(X)\ge 0.

Необходимость. Пусть теперь f(X)\ge 0, но n_{-} ({\bf A})>0, т.е. в каноническом виде какой-то коэффициент отрицателен: \alpha_j<0. Система линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{llll} {\widetilde c}_{11}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{1n}x_n &=0 \\ \dots & & & \dots \\ {\widetilde c}_{j-1,1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{j-1,n}x_n &=0 \\ {\widetilde c}_{j+1,1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{j+1,n}x_n &=0 \\ \dots & & & \dots \\ {\widetilde c}_{n1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{nn}x_n &=0 \end{array} \right.

является однородной и имеет нетривиальное решение X=X_{\ast} (поскольку число уравнений меньше числа переменных). Соответствующие значения переменных Y=Y_{\ast}=\widetilde CX_{\ast} обратятся в нуль:

y_{1\ast}=0,\dots,y_{j-1,\ast}=0,y_{j+1,\ast}=0,\dots, y_{n\ast}=0 \, .

Однако же y_{j,\ast} должно быть отличным от нуля. В противном случае Y_{\ast}=\mathbb O и система \widetilde CX=\mathbb O имеет нетривиальное решение X=X_{\ast}. Тогда на основании теоремы 1 из ПУНКТА должно выполняться равенство \det \widetilde C=0, что невозможно, поскольку \det C \ne 0. Поэтому f(X_{\ast})=\alpha_j y_{j,\ast}^2<0, но это противоречит предположению о неотрицательности f(X). Итак, предположение n_{-} ({\bf A})>0 ошибочно, т.е. n_{-} ({\bf A})=0.

Осталось доказать, что для положительной определенности Н. и Д., чтобы {\mathfrak r}=n, т.е. \det {\mathbf A} \ne 0. Предположив, что {\mathfrak r}<n, мы приходим к существованию X=X_{\ast \ast}\ne \mathbb O такого, что первые {\mathfrak r} соответствующих значений переменных Y=Y_{\ast \ast}=\widetilde CX_{\ast \ast} обратятся в нуль: в системе

\left\{ \begin{array}{llll} {\widetilde c}_{11}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{1n}x_n &=0, \\ \dots & & & \dots \\ {\widetilde c}_{{\mathfrak r}1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{{\mathfrak r}n}x_n &=0 \end{array} \right.

число уравнений меньше числа переменных. Это значит, что f(X_{\ast \ast})=0 при X_{\ast \ast}\ne \mathbb O, что противоречит положительной определенности. Следовательно, {\mathfrak r}=n.

Обратно, пусть {\mathfrak r}=n=n_{+}(f), т.е.

f(X)=\alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_ny_n^2\ npu \ \alpha_1>0,\dots, \alpha_n>0 \, .

Очевидно, что f(X)=0 тогда и только тогда, когда Y=\mathbb O, но это возможно только при условии X=\mathbb O поскольку X=CY при \det C \ne 0.

Т

Теорема 2 [Сильвестр]. Квадратичная форма

f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X

будет положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны:

a_{11}>0, \ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array} \right| >0, \ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right| >0, \dots, \det \mathbf A >0 \ .

Доказательство достаточности фактически следует из формулы Якоби и теоремы 1.

Необходимость. Пусть f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X положительно определена. Тогда любая форма

f_j(x_1,\dots,x_j) = f(x_1,\dots,x_j,0,\dots, 0)=X_j^{\top}{\mathbf A}_j X_j \, ,

рассматриваемая как форма относительно переменных X_j= (x_1,\dots,x_j)^{\top}, также будет положительно определенной. В самом деле, если f(X)\ge 0, то и f_j(X_j)\ge 0. Если предположить, что существует X_j=X_{j\ast}\ne \mathbb O такой, что f_j(X_j)=0, то при

X=X_{\ast}=(x_{1\ast},\dots, x_{j\ast},0,\dots,0)^{\top}

обратится в нуль и сама форма f(X). Это противоречит предположенной положительной определенности формы. Следовательно, форма f_j(X_j) является положительно определенной относительно своих переменных. Но тогда, согласно теореме 1, ее дискриминант должен быть отличным от нуля: \det {\mathbf A}_j \ne 0. Поскольку предшествующие рассуждения справедливы для любого индекса j, то получаем возможность воспользоваться формулой Якоби для вычисления индекса инерции. Теорема 1 требует, чтобы n_{+}(f)=n, но это возможно только когда все главные миноры положительны.


2017/03/07 00:54 редактировал au