УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА


Задачи

1. Доказать справедливость равенства

(X+Y)^{\top} {\mathbf A} (X-Y) = X^{\top}{\mathbf A}X - Y^{\top}{\mathbf A}Y \, .

2. Привести квадратичную форму

x_1^2+x_2^2+\dots+x_{n+1}^2-\frac{2}{n}\sum_{1\le j< k \le n+1} x_jx_k

к каноническому виду по методу Лагранжа.

3 . Доказать, что для того чтобы квадратичная форма могла быть представлена в виде произведения двух линейных форм необходимо и достаточно, чтобы ее ранг не превосходил 2_{}.

4 . Доказать, что если хотя бы один коэффициент характеристического полинома матрицы квадратичной формы равен нулю, то квадратичная форма не может быть знакоопределенной.

5 . Доказать, что при любой симметричной матрице A_{} квадратичная форма X^{\top}A^2X является неотрицательной; эта же форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда матрица A неособенная.

6 [Фробениус]. Пусть для элементов матрицы A_{n\times n} квадратичной формы выполняется условие a_{jk}=0 при j+k \le n, т.е.

A= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & 0 & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & a_{2,n-1} & \dots & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{n-1,n} & a_{nn} \end{array} \right) \, .

Определить сигнатуру квадратичной формы.

7 . Доказать, что квадратичная форма X^{\top}{\mathbf A}X переходит в себя при преобразовании

X= (E+S{\mathbf A})(E-S{\mathbf A})^{-1} Y

где S означает произвольную кососимметричную матрицу.


2016/11/27 09:34 редактировал au