УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА.


Т

Теорема (Якоби). Квадратичная форма f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X с симметричной матрицей {\mathbf A}, ранг которой равен \mathfrak r_{}, а главные миноры \{\det \mathbf A_j \}_{j=1}^{\mathfrak r} отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду:

\frac{z_1^2}{1 \cdot \det \mathbf A_1} +\frac{z_2^2}{\det \mathbf A_1 \cdot \det \mathbf A_2} +\frac{z_3^2}{\det \mathbf A_2 \cdot \det \mathbf A_3} +\dots+\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{{\mathfrak r}-1} \cdot \det \mathbf A_{\mathfrak r}}

Здесь

z_1 =\frac{1}{2} \partial f / \partial x_1,\ z_2= \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ll} a_{11} & \partial f / \partial x_1 \\ a_{12} & \partial f / \partial x_2 \end{array} \right|, \ z_3= \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & \partial f / \partial x_1 \\ a_{12} & a_{22} & \partial f / \partial x_2 \\ a_{13} & a_{23} & \partial f / \partial x_3 \end{array} \right|, \ \dots \ ,
\qquad \qquad z_{\mathfrak r}= \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,\mathfrak r-1} & \partial f / \partial x_1 \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2,\mathfrak r-1} & \partial f / \partial x_2 \\ \dots & & & \dots & \dots \\ a_{1\mathfrak r } & a_{2\mathfrak r } & \dots & a_{\mathfrak r-1,\mathfrak r } & \partial f / \partial x_{\mathfrak r} \end{array} \right|

Доказательство теоремы основано на следующем результате, который приведем с использованием обозначений

\{L_j(x)=1/2\, \partial f /\partial x_j = a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots + a_{jn} x_n \}_{j=1}^n ;
\mathbf A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right)

минор матрицы \mathbf A.

Т

Теорема (Сильвестр). Если \det \mathbf A \ne 0, то

f(X)\equiv - \frac{1}{\det \mathbf A } \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_n(X) & 0 \end{array} \right| \, .

Если при некотором \mathfrak r_{} \in \{1,\dots, n-1\} имеем \det \mathbf A_{\mathfrak r} \ne 0, то

f(X)\equiv - \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}} \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0 \end{array} \right|
+ \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}} \sum_{j,k=1}^n \mathbf A \left( \begin{array}{lllll} 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\ \end{array} \right)x_j x_k \, .

Доказательство первого тождества следует из элементарных преобразований определителя

\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_n(X) & 0 \end{array} \right| \, .

Вычтем из последней его строки первую, умноженную на x_1, вторую, умноженную на x_2, и т.д., n_{}-ю, умноженную на x_n:

\equiv \left| \begin{array}{llllc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\ 0 & 0 & \dots & 0 & - 1/2 (x_1\partial f /\partial x_1 + x_2\partial f /\partial x_2+\dots+ x_n \partial f /\partial x_n) \end{array} \right| \equiv
\equiv - f(X) \det \mathbf A \, .

Для доказательства второго тождества представим сумму

\det \mathbf A_{\mathfrak r} f(X)+\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0 \end{array} \right|

в виде

\equiv \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ 0 & 0 & \dots & 0 & f(X) \end{array} \right| +\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0 \end{array} \right|
\equiv \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & f(X) \end{array} \right| =
= \left| \begin{array}{llllc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{1k}x_k \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{2k}x_k \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{\mathfrak r k}x_k \\ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j1}x_j & \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j2}x_j & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j\mathfrak r}x_j & \displaystyle \displaystyle \sum_{j,k=1}^n a_{jk}x_jx_k \end{array} \right| \, .

Применяя к последнему определителю теорему сложения, разобьем его на n^2 слагаемых, каждое из которых имеет вид

\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & a_{2k} \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & a_{\mathfrak r k} \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{j\mathfrak r} & a_{jk} \end{array} \right|x_jx_k= \mathbf A \left( \begin{array}{lllll} 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\ \end{array} \right) x_jx_k \, .

Заметим, что при \mathfrak r < n минор

\mathbf A \left( \begin{array}{lllll} 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\ \end{array} \right)

обращается в нуль если хотя бы один из индексов j,k не превосходит \mathbb r.

=>

Если \operatorname{rank} \mathbf A= \mathfrak r и \det \mathbf A_{\mathfrak r} \ne 0, то имеет место тождество Кронекера:

X^{\top} \mathbf A X \equiv - \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}} \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0 \end{array} \right| \, .

Доказательство теоремы Якоби. Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму

f_k(X)= - \frac{1}{\det \mathbf A_k} \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} & L_{k}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k}(X) & 0 \end{array} \right| \quad npu \quad k\in\{1,\dots,\mathfrak r\} \, .

Докажем формулу приведения

f_k(X) \equiv f_{k-1}(X)+\frac{z_{k-1}^2}{\det \mathbf A_{k-1} \det \mathbf A_k} \quad npu \quad k\in\{2,\dots,\mathfrak r\} \, .

Применим к определителю

B_{(k+1)\times (k+1)}=\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} & L_{k}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k}(X) & 0 \end{array} \right|

тождество Сильвестра в версии

B\left( \begin{array}{cc} k & k+1 \\ k & k+1 \end{array} \right) B = B_{kk}B_{k+1,k+1}-B_{k+1,k}^2 \, .

Имеем:

\det \mathbf A_{k-1} \left(- f_k(X) \det \mathbf A_k\right)\equiv
\equiv \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,k-1} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,k-1} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{k-1,1} & a_{k-1,2} & \dots & a_{k-1,k-1} & L_{k-1}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k-1}(X) & 0 \end{array} \right|\cdot \det \mathbf A_{k} - \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,k-1} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,k-1} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{k,k-1} & L_{k}(X) \\ \end{array} \right|^2
\equiv \left(- f_{k-1}(X) \det \mathbf A_{k-1}\right) \det \mathbf A_{k} - z_{k}^2 \, ,

откуда и следует доказываемая формула приведения. Применяя ее рекурсивно по k, получаем:

f_{\mathfrak r}(X) \equiv f_{\mathfrak r-1}(X)+\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-1} \det \mathbf A_{\mathfrak r}} \equiv f_{\mathfrak r-2}(X)+ \frac{z_{\mathfrak r-1}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-2} \det \mathbf A_{\mathfrak r-1}} +\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-1} \det \mathbf A_{\mathfrak r}} \equiv \dots

а завершит доказательство формулы Якоби применение тождества Кронекера.

Впрочем, осталась недоказанной линейная независимость линейных форм z_1,\dots,z_{\mathfrak r}.

Источник

[1]. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М. Наука. 1974.


2017/02/07 12:02 редактировал au