УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательный раздел к разделу КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА.


Т

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство. Предположим, что в результате двух подстановок квадратичная форма приведена к каноническим видам:

X^{\top}{\mathbf A}X=\left\{ \begin{array}{ll} \alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_py_p^2- \alpha_{p+1}y_{p+1}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 & npu \ Y=C_1X ;\\ \beta_1z_1^2+\dots+\beta_qz_q^2- \beta_{q+1}z_{q+1}^2-\dots-\beta_{\mathfrak r}z_{\mathfrak r}^2 & npu \ Z=C_2X . \end{array} \right. \quad \det C_j \ne 0

Здесь все \{\alpha_j,\beta_j\}_{j=1}^{\mathfrak r} положительны, но q>p. Можно подобрать вектор X=X_{*}\ne \mathbb O так, чтобы у вектора Y_{*}=C_1X_{*} первые p компонент, а у вектора Z_{*}=C_2X_{*} последние {\mathfrak r}-q компонент обращались в нуль. Действительно, число уравнений для определения n компонент нужного нам вектора равно p+{\mathfrak r}-q={\mathfrak r}-(q-p)<{\mathfrak r}\le n. Такая система всегда имеет нетривиальное решение X_{*}, при этом соответствующий ему вектор Y_{*} будет ненулевым (матрица C_1 — невырожденная). Подстановка Y_{*} и Z_{*} в соответствующие канонические виды дает:

X_{*}^{\top}{\mathbf A}X_{*}= \left\{ \begin{array}{rl} -\alpha_{p+1}y_{p+1,*}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{{\mathfrak r},*}^2 & <0 ;\\ \beta_1z_{1,*}^2+\dots+\beta_{q}z_{q,*}^2 & \ge 0 . \end{array} \right.

Противоречие доказывает ошибочность предположения q>p.


2017/06/26 12:49 редактировал au